第一章万物皆数/走近数学

在日常生活中，你是否会有这样的经历：仰望星空，感叹星辰宇宙的神奇变化；俯视尘粒，好奇微观世界的奇妙构造；信息时代，反观工业革命的世界变革。如果答案是肯定的，那么，你就走进了华罗庚眼中的数学世界“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学”。
数学不仅仅是一堆堆枯燥的数字或图形，它存在于生活之中，同样与文史哲有着千丝万缕的联系。让我们一起感知生活中的数学，去探索文史哲与艺术中的数学。
通过本章的学习，我们站在一个更全面，更广泛的高度，借助数学家们的视角，重新审视数学的定义，数学的特性，建立对数学的再认知。

●1.1什么是数学与数学的特点

本节主要介绍了什么是数学，引入数学的多角度定义。恩格斯曾说：“数学是现实世界中的空间形式与数量关系”。这说明数学的研究对象是“形”与“数”。数学是工具和语言，数学是一种文化和精神，数学本身更是一种创新。数学具有高度抽象性，使其海纳百川，数学具有严谨逻辑性，在思维培养不可替代，数学具有广泛的应用性，大千世界无不与其相关。并且介绍了文史哲与艺术和数学的相关性，借助数学与文学、数学与美学、数学与政治、数学与人生智慧等实例，感悟数学与各学科的交叉融通。

●1.2对数学的再认知

本节点明数学陶冶人的美感，人的心灵。并介绍了关于数学的15种说法，（哲学说、符号说、科学说、工具说、逻辑说、创新说、直觉说、集合说、结构说、模型说、活动说、精神说、审美说、艺术说、万物皆数说）。数学发展过程中各种分支或思想相互融合、各自发展，拥有一个共同相容性的基础和模型，也可看作数学文化发展的重要特点。数学极大地促进了人的思想解放，提高与丰富了人类的整个精神水平。从这个意义上讲，数学使人成为更完全、更丰富、更有力量的人。数学文化的遗传力量、符号化、文化传递、抽象、一般化、一体化、多样化等正是人类社会实践、理性思考臻于完善的重要因子。

第二章数学与文学

“大漠孤烟直，长河落日圆。”王维流传千古的诗句不仅描写了荒凉旷阔的边塞风光，同时也完美地展现了直线与圆的位置关系。数学不仅藏于优美的诗词意境，同样也在戏剧、小说、散文之中，构建起数学与文学的相通性、相联性。
通过本章的学习，了解文学与数学的关系，为进行深层次的研究学习，提供举例依据和思想启迪。

●2.1 数学与文学思想的相通性

本节主要介绍文学作品中的数学意境。首先分别简介了文学与数学。文学是以语言文字为工具，形象化地反映客观现实，表现作家心灵世界的艺术，文学包括戏剧、诗歌、小说、散文等等，文学是文化的重要表现形式，是作家内心情感的主要表现载体，而数学是科学发展的主要载体，文学与数学都来源于两种基本思维，艺术思维和科学思维。本节主要讲了文学作品中的数学意境，引用《论语》子路篇为例证，以“若…则…”式为切入点，点明数学与文学思维的相通性。

●2.2数学与文学意境的相融性

本节主要介绍了数学和中国传统文化作品的相通性。文学以感觉经验的形式，来传达人类的理性思维，也可以理解为文学是以感觉经验的形式传达理性思维的成果，而数学是以理性思维的形式，描述人类的感觉和经验，看上去毫无关联，实则两者有着千丝万缕的联系。在中国传统文化作品中这样的例子更为丰富，如文学作品写作手法中的回文和数学中的特殊数字乘法的对称结构，例如1111=121,111111=12321……，使我们了解数学当中数字在文学中的应用能够体现出别样的妙处。

●2.3谈诗词意境中的数学

本节通过举例，介绍了诗词中数字的联用对意境的烘托。本节以苏轼的《水调歌头》名句“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全。但愿人长久，千里共婵娟。”，展现对称之美；唐代诗歌当中，嵌入数字的诗有130余首，“一片冰心在玉壶”“二十四桥明月夜”“三千宠爱在一身”等等诗句以，均能体现出数字在诗词中的应用，巧妙地运用数字表达思想，使诗词的意境更加深远。同时大数在诗歌中的应用，如“万山红遍”“万类霜天竞自由”“孤帆远影碧空尽”等诗句，以大数衬托展现诗人的博大情怀，也体现了出文学中的极限思想。

●2.4文学视域中的数学概念

本节引用了《道德经》等名著，介绍了一些中国传统诗词作品中以文学角度所表现出数学当中的抽象思想。如《道德经》中“道生一，一生二，二生三，三生万物”，描绘古代思想家对自然、宇宙起源的探索和认识，从数学的观点解释也体现出极限思想。如叶绍翁的《游园不值》中“春色满园关不住，一枝红杏出墙来”也体现出数学当中无界变量的思想。这种诗词的意境使我们对数学的理解更加的直观。再如陈子昂的《登幽州台歌》“前不见古人，后不见来者。念天地之悠悠，独怆然而涕下”中，前两句表现出时间的绵长，第三句表现出空间的辽阔，以时间与空间的交融，表现诗人的情怀。

●2.5数学在文学研究中的应用

本节简述了数学在文学研究应用中的研究方法，数理语言学，主要表现在的三个方向，统计语言学、代数语言学、算法语言学，即用数学的方法研究语言，给语言定理化和形式化的描述。并举例数学在红楼梦作品研究工作中的应用。例如利用统计语言学分析《红楼梦》120回中文字的创作风格，印证对于该书创作者曹雪芹与高鹗的争议；再如复旦大学数学家李贤平教授绘制文字使用频率图，分析写作风格，对该书作者之争有了新的分析。再如《草木缘情——中国古典文学中的植物世界》作者潘福俊利用统计方法，从植物学角度分析小说或诗歌作品。由此可以发现，数学是帮助深入理解和分析文学的工具。

第三章数学家与诗词

华罗庚有诗云：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。”
历史上许多著名的数学家同时也是诗人，有着独到的诗词创造。通过本章的学习，我们将列举一些数学家的诗词，进行剖析解读，并在此基础上继续深入探讨数学与诗词的关系。

●3.1数学家的诗词创作

本节主要介绍了数学家与诗词之间的联系，数学家是数学发展的推动者，但数学家在做深入数学研究时也同时创作出很多美丽的诗篇，并且通过讲解数学家诗词的例子，从中看到数学家是如何用诗的形式表达情感，从而领略数学家的文学功底。本节以陈省身教授诗词为例，“物理几何是一家，一同携手到天涯，黑洞单极穷奥秘，纤维联络织锦霞。进化方程孤立异，曲率对偶瞬息空，筹算竟得千秋用尽在拈花一笑中”，将数学中的概念与物理中最新的概念纳入一个优美意境之中，利用反映出现代数学的发展对科学进步巨大地推动作用。

●3.2数学到最后就成了诗

本节主要介绍了数学促进了诗歌的发展。数学家熊庆来教授为曾为其学生杨乐赋诗“带来时雨是东风，成长专长春笋同。科学莫道还落后，百花将见万枝红”，表达了数学家为年青一代数学家的肯定和赞赏。再如华罗庚先生创作的名句“聪明在于勤奋，天才在于积累”“勤能补拙是良训，一分辛苦一分才”，从中看到数学家利用诗歌表达个人思想和情怀。并且通过苏步青的诗集，感受通过数学来表达诗意。

第四章数学与哲学

哲学是有严密逻辑系统的宇宙观，它所研究宇宙的性质、宇宙内万事万物演化的总规律，正好与数学在终极层面相呼应。因此通过本章的学习，我们将看到数学中的哲学思想，以及数学与哲学在一些性质上的对应。

●4.1数学与哲学思想

本节主要介绍了数学与哲学的定义，重点介绍了数学科学的哲学总结是数学哲学。哲学是自然知识与社会知识的概括和总结，是研究世界观的学问，是人类思维的结晶和提炼。哲学在发展过程中，已经形成了一系列的基本概念和范畴，构建了博大的理论体系。数学，是研究客观世界数量关系和空间形式的自然科学。它不仅提供计算的方法，而且还是思维的工具，科学的语言，更是建立辩证唯物主义哲学的科学基础之一。数学有其逻辑严密性、高度抽象性、应用广泛性等特点，与哲学有很多相近之处，因而就决定了其与哲学必然有更为密切的关系。

●4.2数学中的三大基本规律

本节主要介绍了数学中蕴含的哲学思想，主要列举了哲学中的四个观点：发展观点、实践观点、联系观点、多样性和统一性，每一种观点都蕴含深刻的数学思想；并且通过引入极限的例子说明：量变与质变转化，运动与静止的对立统一，近似与精确的对立统一，否定之否定的规律，体现了数学与哲学相互影响、相互转化的内涵。

●4.3科学命题中的哲学思想

本节进一步解释了数学中的哲学道理，具体说明数学对哲学的影响。主要通过命题来介绍数学中的哲学思想。例如毕达哥拉斯学派将“数”看作万物的本原，这体现了数学与形而上学的直接合一。再如美国数学家鲁宾逊给出的实数的非标准模型，为无限大、无限小提供了严格理论依据，为微积分增添了直观的因素，从而创建了新的微积分理论——非标准分析。非标准分析的建立为阐明质量互变规律在“无限”领域的具体表现提供了一个适宜的数学模型。在这之前，人们在讨论质量互变规律中的量时，还没有涉及到无限数量的变化发生质变的情形，因而非标准分析的创立丰富了质量互变规律的内容。

●4.4数学的相对性和绝对性

本节介绍了数学在实践问题上的抽象化，把一些具体的实践问题抽象为数学中的研究对象。在本节中，展现了哲学对数学发展的极大影响。哲学是数学发展的前进路上的方向盘，希尔伯特直言不讳说他关于无限的形式主义思想来自康德的哲学观念；哲学作为世界观，为数学发展提供指导作用，在人类的科学手段、科学方法尚未达到真切认识事物的时候，哲学往往有很强的前瞻作用，对科学的发展方向能够正确把握。哲学作为人类认识世界的先导，对科学的发展有预言性定论；哲学作为方法论，为数学提供强大的认识工具和探索工具。

第五章数学危机

公元前5世纪的一天，一个叫希伯斯的年轻人算了一下腰为1的等腰直角三角形的斜边，他不会料到，这个如今看似简单的计算，给他自己以及数学的发展带来了怎样的结果……
一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。通过本章的学习，让我们一起看一看数学中的危机，充分理解矛盾斗争是事物发展的内在动力。可以说。整个数学的发展历史就是由矛盾推动的结果。

●5.1√2引发的惨案

本节介绍了数学危机，危机指激化的，非解决不可的矛盾，从哲学角度看，矛盾是不可避免的，即便数学史一门具有确定性特点的学科，也会存在发展的危机。在数学的发展过程中一直贯穿着矛盾，矛盾的解除、危机的解决往往会给数学带来新的内容、新的思想和新的方法，推动数学产生新的进展，这也反映出矛盾是事物发展的根本动力。数学在矛盾的斗争中取得的长足的进步，巨大地发展。第一次数学危机是源于人们对无理数的不清晰认识，第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。

●5.2牛顿与无穷小

整个数学的发展历史就是一部矛盾斗争的历史，其结果数学在这种斗争当中取得了长足的进步和丰硕的结果

●5.3极限中的阿基里斯与乌龟

本节主要介绍了十八世纪初，德国最伟大的数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(1646-1716)和英国最伟大的数学家艾萨克·牛顿爵士(1642-1726)之间发生的一场激烈的战争，这场战争的主要矛盾是谁是微积分的第一发现这。微积分是数学分析的基础，为我们提供了一套测算包括几何图形、行星绕太阳运行的轨迹在内的各种曲面面积的通用方法。莱布尼茨和牛顿都说自己才是微积分真正的创始人，现在则普遍认为两人各自独立创立了微积分，都是微积分的发明人。微积分可算是自古希腊以来数学史上最大的进步，两人都为之做出了重大贡献。现代学者或许愿意共享这一巨大的荣耀，但是莱布尼茨和牛顿在发明微积分的归属权上却互不相让。

●5.4问题解决中再认识极限

本节主要介绍了实数理论的完全建立，应用严格的数学语言解除了危机，促进了微积分的进步。19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分；狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。

●5.5集合论与理发师悖论

本节主要介绍了数学的第三次危机，人们发现了集合论中无法调和的逻辑矛盾。数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托尔的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

●5.6公理体系的建立

本节主要介绍了消除悖论的两种方法，随着公理系统的建立，解答了集合论的矛盾。数学家们通过将集合的构造公理化来排除了这样的集合的存在性。例如，在策梅洛(Zermelo)和弗伦克尔(Fraenkel)等提出的ZF公理系统(也称ZFC公理系统)中，严格规定了一个集合存在的条件，简单地说，存在一个空集（空集公理）；每个集合存在幂集（幂集公理）；每个集合里所有的集合取并也形成集合（并集公理）；每个集合的满足某条件的元素构成子集（子集公理）；一个“定义域”为A的“函数”存在“值域”（替换公理）等，这样无法定义出悖论中的集合。第三次数学危机就此在一定程度上解决。

●5.7数学危机概观

本节主要总结了三次数学危机的始末。通过对三个在数学发展中产生了巨大影响的悖论(毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗紊悖论)的介绍，既能充分了解悖论对数学发展所起到的巨大作用，又能对数学中欧几里得几何、无理数、微积分、集合论等的来龙去脉获得更清晰的认识。数学中悖论和危机的历史也说明了这一点：已有的悖论和危机消除了,又产生新的悖论和危机。但是人的认识是发展的,悖论或危机迟早都能获得解决。“产生悖论和危机,然后努力解决它们,而后又产生新的悖论和危机。”这是一个无穷反复的过程,也就不断推动着数学的发展,这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。

●5.8有穷和无穷的未来

本节主要深度剖析三次数学危机之间的关系，无穷与有穷，引用了水滴石穿的道理，指出了数学发展对人生的指导意义。数学发展的历史表明对数学基础的深入研究、悖论的出现和危机的相对解决有着十分密切的关系,每一次危机的消除都会给数学带来许多新内容、新认识,甚至是革命性的变化,使数学体系达到新的和谐,数学理论得到进一步深化和发展.悖论的存在反映了数学概念、原理在一定历史阶段会存在很多矛盾,导致人们的怀疑,产生危机感,然而事物就是在不断产生矛盾和解决矛盾中逐渐发展完善起来的,旧的矛盾解决了,新的矛盾还会产生,而就是在其过程中,人们便不断积累了新的认识、新的知识,发展了新的理论.数学家对悖论的研究和解决促进了数学的繁荣和发展,数学中悖论的产生和危机的出现,不单是给数学带来麻烦和失望,更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望。

第六章数学与人生智慧

通过前面的学习，我们知道，数学既然与哲学相关联，自然也就蕴含着哲学的智慧，相对应地数学中有几类奇特的模型——莫比乌斯带、克莱因瓶、莱洛三角形等，值得我们探索其中的奥秘和人生智慧。

●6.1莫比乌斯带中的人生智慧

本节通过数学中的莫比乌斯环向我们阐释人生道理。公元1858年，德国数学家莫比乌斯(Mobius，1790~1868)和约翰·李斯丁发现：把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。这样的纸带只有一个面(即单侧曲面)，这种纸带被称为“莫比乌斯带”(也就是说，它的曲面只有一个)。莫比乌斯带还有更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决。其实就是告诉我们，看待事物应该更加全面，判断一个事物应该从多个方面思考。

●6.2克莱因瓶中的人生智慧

本节通过数学中的克莱因瓶向我们阐释人生道理。在数学领域中，克莱因瓶（Klein Bottle）是指一种无定向性的平面，克莱因瓶最初的概念是由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。克莱因瓶的结构非常简单，一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。所以说它没有内外部之分。如果莫比乌斯带能够完美的展现一个“二维空间中一维可无限扩展之空间模型”的话，克莱因瓶只能作为展现一个“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”的参考。

●6.3莱洛三角形中的人生智慧

本节通过数学中的莱洛三角形向我们阐释人生道理。莱洛三角形，也译作勒洛三角形或弧三角形、圆弧三角形，是除了圆形以外，最简单易懂的勒洛多边形，一个定宽曲线。该类三角形可用于做运输的轮子，搬东西稳定(但由于制作技术要求高，边角不耐磨等原因不常用)。莱洛三角形的画法较为简单，先画正三角，然后分别以三个顶点为圆心,边长长为半径画弧得到的三角形。这个例子告诉我们，要开拓视野，在认识事物时就会有更多的方式和方法处理所要研究的问题。

●6.4可怕的误诊

本节通过几何概率模型探讨了生活中“误诊”及患病概率的问题。在生活当中任何一项检查都不可能是百分之百精确，就存在着误诊的情况。在数学中我们可以称之为小概率事件。通过视频当中一则“误诊”的新闻，让我们看到“误诊”对一个人生活的重大影响。从而探讨利用条件概略分析误诊情况发生可能性的计算。本节课的学习提示大家，要学会理性面对突发事件，乐观对待身边的人和事。

●6.5约会中的数学

本节介绍了生活中的数学，举例约会中的数学。约会是人们生活中的一项重要的社交活动，在很多影视剧红都展现过约会的场景，很多人都期待有浪漫的约会，殊不知，约会中也有数学，如何提高成功约会的概率是一个几何概率模型。通过电视剧《我的体育老师》中马克和王小米约会的例子，引发是否能够成功约会的的思考，进而利用概率模型计算成功约会的概率。也从另个角度告诉大家，要想提高约会成功的可能性，就需要付出更多的耐心和等待。

第七章影视中的数学

最近上映的《模仿游戏》讲述了“计算机科学之父”艾伦·图灵的传奇人生。该片获得第87届奥斯卡金像奖最佳改编剧本奖、最佳影片等7项提名。
本章让我们通过《蜗居》《小麦进城》《琅琊榜》中的代表性影视情节，浅谈影视中的数学，学习影视中的数学家。

●7.1蜗居与伽罗瓦的群论

影视作品中也有数学知识、数学思想、数学故事的渗入，影视作品中也有很多数学的例子，提高了影视作品的内涵。本节主要介绍《蜗居》中的数学片段。在该片段中，主要讲了著名的数学伽罗瓦的故事。伽罗瓦是法国年轻优秀的数学家，是群伦的先驱、创造者。群和群伦的思想在数学和其他学科中都有广泛的应用。在热播剧娱乐的同时，也提供给大家较为深刻的数学知识，提倡大家从更多的角度发现和关注数学的身影。

●7.2琅琊榜中的数学

本节主要介绍《小麦进城》《琅琊榜》中的数学片段。在《小麦进城》中提到了很多数学家也同样是诗人，国外的数学家有笛卡儿、莱布尼茨、帕斯卡，国内数学家苏步青、华罗庚、蔡天新，从影视中普及了数学家的尝试，也从一定角度激发人们了解数学的兴趣。在《琅琊榜》中从某个侧面反映了数学的事实，例如在影视画面中的对称美感，利用黄金分割来完成影视构图。从某种角度也看到了数学与各个学科的交叉，从不同角度体会各个学科之间的联系，更好地为所学的专业或工作服务。

●7.3数学影片赏析

本节主要介绍了许多与数学有关的影视，包括数学家们的传记电影。这样的电影较多，例如《费马最后定理》《死亡密码》（也成为π）《博士热爱的算式》《模仿游戏》《美丽心灵》《心灵捕手》《牛津杀手》《质数的孤独》《伽利略为真理而战》等等，专门介绍数学家的故事，或利用数学知识内容改变为影视剧内容。

●7.4数学影片中的数学家

本节主要介绍一些数学影片，通过与同学们的现场交流，使我们在数学影视中有新的收获，感悟人生道理。影视剧往往会以人物传记的形式，以写实的手法把数学家一生坚忍不拔的钻研精神以及人物性格真实地展现给观众，使人们心中得到启迪和激励。大家可以在闲暇之余，欣赏更多的数学影片，从更为广阔的角度思考数学问题或生活、学习、工作中的蕴含的数学道理，将会收获更多宝贵的经验。

第八章奇妙的数学黑洞

黑洞，是现代广义相对论中，时空曲率大到光都无法从其视界逃脱的天体，放在数学中，同样对应着一种奇怪而独特的数学现象——“数学黑洞”，它是什么样的？通过本章的学习，让我们一起走进数学黑洞，一起探索“黑洞”的秘密。

●8.1吞噬万“数”的黑洞

本节主要介绍了数学黑洞的定义，举出西西弗斯数串的例子。这个名字的第一个字“黑”，表明它不会向外界发射或反射任何光线，也不会发射或反射其他形式的电磁波——无论是波长最长的无线电波还是波长最短的γ射线。因此人们无法看见它，它绝对是“黑”的。第二个字“洞”，说的是任何东西只要一进入它的边界，就休想再溜出去了，它就像一个真正的“无底洞”。西西弗斯是古希腊神话中的一个人物，传说科林斯国王西西弗斯被罚将一块巨石推到一座山上，但是无论他怎么努力，这块巨石总是在到达山顶之前不可避免地滚下来，于是他只好重新再推，永无休止。著名的西西弗斯串就是根据这个故事而得名的。

●8.2揭开黑洞的真相

本节通过分析证明，揭露了数学黑洞的真相。所谓数学黑洞，就是从给定的数字出发，在规定的运算法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去了。就像宇宙中的黑洞可以将任何物质，包括光都牢牢吸住，无法逃脱一样。这样的数字称为“黑洞数”，这样的运算叫做“重排求差”操作。任取一个数，例如35962，数出这数中的偶数个数、奇数个数及所有数字的个数，就可得到2（2个偶数）、3（3个奇数）、5（总共五位数），用这3个数组成下一个数字串235。对235重复上述程序，就会得到1、2、3，将数串123再重复进行，仍得123。对这个程序和数的“宇宙”来说，123就是一个数字黑洞。

第九章数学与美学

数学看似枯燥无味，但是，当你站在黄金比例的巴黎圣母院前时，当你无意发现大自然中的斐波那契数列时，当你注意到蜂巢中鳞次栉比的六边形时，是否感受到了一种难以言表的奇妙？通过本章的学习，将带领我们走进数学美的三个境界，欣赏数学之美！

●9.1外国学者谈数学美

本节首先由美学的概念引入，美学就是研究人与现实审美关系的学问也可以说是研究美，美感，美的创造和关于美的教育规律的学问。外国学者们对数学美的认识不尽相同，毕达哥拉斯认为数学的美来自它的和谐，提出了万物皆数的观点；英国数学家怀海德认为数学与音乐都是最原始的创造，而只有取得实践财富的少数人才能体会到数学的乐趣；数学家罗素对于数学美有着更精辟的认识，将数学的美提升到伟大的艺术层面，同时也启发我们要从精神层面感受数学美，而不应只是把数学当作工作来学习。

●9.2我国学者谈数学美

本节通过对我国学者对美的看法，进一步介绍数学美，我国数学家徐利治对数学美定义得更加详细，数学概念的简洁性，数学模型的概括性、简洁性、普通性都是数学美的体现。总结起来可以概况为数学具有简洁美、统一美、对称美、奇异美。

●9.3数学美之美观与美好

本节主要介绍了数学美的层次，并且介绍了数学美的美观与美好。表面上的数学美在生活中比比皆是，简介图形、几何体所带来的感官美，这些都属于数学美的第一个境界，美观。而数学美更深层次的境界——美好，教师以一元二次方程的求根公式举例从外在看不符合美观的要求，但是这个公式却能解出所有一元二次方程的根，从这个角度可以看到数学的“美好”境界。

●9.4数学美之美妙

本节承接上节课对数学美不同层次的分析，举出既具有外在美观又同时具备美好的例子，引出了数学美的第三境界——美妙，即在外在美观和内在美好的前提下，进一步去发现数学的奥妙。例如黄金分割线里面所蕴含的美就是一种美妙，蝴蝶效应背后的非线性效应、勾股定理以及分形都给人以一种非常奇妙的感觉，这就是数学的美妙。

●9.5数学美之完美：欧拉恒等式

通过前面的学习，暨数学美的美观、美好、美妙三个境界之后，本节讲解了数学美的最高境界——完美，这也是数学家们一直追求的境界，其中最典型的例子便是欧拉恒等式，这个公式统一了e、i、π、1、0这五个数学中十分重要的代表元素，并且十分简洁明了，可以说是达到了数学中的完美境界。

●9.6数学美之完美：圆

本节主要通过介绍圆来说明数学的完美，从数学角度分析圆会得到以下性质：圆是一条封闭的曲线；圆是一条凸曲线；圆是一条简单曲线，即圆不与自身相交；圆是有长宽的曲线；圆是有长曲率的曲线；圆有旋转对称的性质；圆有轴对称的性质；圆是一条极小曲线。这样，圆作为一个常规图形在数学中可以视为完美

●9.7数学美的四种境界

本节介绍了数学的四大意境所表达的含义，第一层境界美观不足以认识真理；只有我们乐观而一心向学，积极努力地学习所要认识的事物的本质特征才能达到美好的层次；如果我们通过学习事物的本质对数学和生活产生了新的认识，那么就如同走进了一个“新知乐园”；想要达到知识的完美境界，就需要我们不图名不图利，一心为学。那么数学美的四种境界合起来——大美天成，大道至简。最后教师与我们分享了一首小诗，更使我们体会到数学的魅力。

●9.8陈省身的数学挂历

本节主要通过探讨陈省身的数学挂历，分析挂历中每一月份中所对应的数学知识。2003年岁末，醉心驰骋在数学王国里的陈省身出资两万元，亲自构思、设计、印刷了一套题为“数学之美”的挂历。他通过奇妙的设计使深奥的数学走进人们的日常生活，用通俗的形式展示数学的深邃与美妙。每张彩页都有优美洗炼、通俗易懂的文字，介绍重要的数学定理和世界伟大数学家，并以直观、形象的图形和照片资料来解释著名数学公式的产生与应用，整个挂历几乎是一部简明数学概论和数学发展史。

●9.9数学挂历赏析

本节继续讨论数学挂历，从复数、多面体、刘辉与割圆术、祖冲之与圆周率π、高斯与非欧几何五个角度展开介绍了挂历中的部分内容。数学挂历以非常直观形象的语言为我们做了高级的数学科普。挂历中12幅彩色画页分别为：复数、正多面体、刘徵与祖冲之、圆周率的计算、高斯、圆锥曲线、双螺旋线、国际数学家大会、计算机的发展、分形、麦克斯韦方程和中国剩余定理。

第十章数学与政治

丘吉尔在自传中说：“我曾感觉把数学看透了，我看见一个量通过无穷大从正的变为负的。我明白了那是怎么发生的，明白了牵一发会如何动全身。它就像政治。”
叱咤风云的政治家们，有些却也在数学的世界留下了自己的印记，这样偶然的相遇又会碰撞出怎样的火花呢？通过本章的学习，你将知晓其中的故事。

●10.1勾股定理与总统的邂逅

本节介绍政治家与数学的关系，列举了美国第20任总统加菲尔德与数学的邂逅。1880年加菲尔德当选为第20任总统，他是美国首位具有神职人员身份的总统。就职仅4个月即遭暗枪，是美国第二位被暗杀的总统。他在数学方面的贡献主要是在勾股定理的证明方面的新成就，他也是美国历史上唯一一位数学家出身的总统。

●10.2勾股定理的总统证法

本节探讨了勾股定理的总统证法。加菲尔德贡献了毕达哥拉斯定理的原始证据，几百年来已经记录了数百个。加菲尔德对毕达哥拉斯定理的证明是基于一个a、b和高度a+b的梯形。他用两种不同的方式看图的面积：梯形的面积和三个直角三角形的面积，其中两个是相等的。

●10.3政治交流中的数学元素

本节主要阐述了文化交流中的数学，介绍了在中希交流的会议上总理温家宝谈起了数学家陈省身的故事。中国著名数学家陈省身临终前用颤抖的手写下两个字“希腊”，他对亲人们说，我要回到数学的发源地希腊去了。这个故事打动了演讲现场的每一个人，议员们对此给以长时间的掌声。

第十一章数学与绘画

在文艺复兴时期，艺术家们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何，致使数学与绘画相辅相成，创造出许多栩栩如生的画作，流传至今。那么，通过本章的学习，让我们深入探讨数学与绘画的联系。

●11.1文艺复兴前后的绘画作品比较

本节通过赏析文艺复兴前后的画作，介绍数学与绘画的联系。达芬奇在创造蒙娜丽莎时就应用了黄金分割率，使绘画作品更加赏心悦目，以及巴特农神庙的黄金矩形都是应用了0.618黄金比例。在绘画方面，中世纪的油画没有远近之分，画面平铺，笔法幼稚，而到了文艺复兴时期，诞生了射影几何，使得绘画作品有更强的立体感。

●11.2射影几何学与绘画

本节主要介绍了射影几何学发展对绘画的推动作用，射影几何中比较重要的数学家笛沙格，提出了笛沙格定理；帕斯卡提出的帕斯卡定理，即内接于二次曲线的内接六边形的三对对边的交点共线。文艺复兴时期有三位画家达芬奇、拉斐尔、米开朗基罗，他们的代表作分别是《蒙娜丽莎》《雅典学院》《创世纪》，都将射影几何应用到极致，才有令人震撼的视觉效果。

●11.3拉斐尔的雅典学院

本节介绍了数学的三大巨头，由教师引导学生具体介绍了拉斐尔的雅典学院。拉斐尔是意大利的著名画家，也是文艺复兴三杰中最年轻的一位，有作油画《拉·弗娜利娜》《爱神和三美神》《基督显容》，拉斐尔把建筑学和透视画法应用的淋漓尽致，尤其是作品《雅典学院》，庄重又不失欢愉，可以看到画中门柱的直线和人物的直线完美的结合到了一起，现出数学几何之美，画中 “群贤毕至”毕达哥拉斯，苏格拉底，欧几里得，阿基米德等等，而众星托月，柏拉图和亚里士多德被花在了中心位置。综上可见，透视学即是数学中射影几何的完美运用。

●11.4达芬奇及其绘画作品

本节主要介绍了达芬奇的画作。达芬奇，是欧洲文艺复兴象征人类智慧的意大利学者、艺术家，他的杰作有《蒙娜丽莎》《最后的晚餐》《维特鲁威人》。达芬奇对数学在绘画中的应用，尤其是有关透视法和比例研究都有他独特的见解，例如《维特鲁威》中的维特鲁定律，《最后的晚餐》中周密的构思，《蒙娜丽莎》中人物的手臂和她的头构成一个等边三角形，当然，对于达芬奇的认识还有待深入。

●11.5米开朗基罗绘画作品与数学

本节主要介绍了伟大的艺术家米开朗基罗创作的大量作品。米开朗基罗，意大利文艺复兴时期伟大的绘画家、雕刻家，建筑师和诗人，文艺复兴时期雕塑艺术最高峰的代表。他的风格几乎影响了几乎三个世纪的艺术家。代表作《创世纪》《最后的审判》。创造亚当是《创世纪》中的一部分，其中亚当与上帝手指间的缝隙正好将整幅作品按黄金比例分割。这些艺术家们所创造出的艺术遗产，有许多我们可以学习的地方。

第十二章数学与游戏

在我们生活中可能会接触到一些益智游戏，那么，我们是否可以从数学的角度去深入剖析其中的原理，又能从中得出什么结论呢？带着这样的思索，让我们一起走进数学与游戏的世界！

●12.1哥尼斯堡七桥问题

本节介绍了哥尼斯堡七桥问题，并建立了模型，哥尼斯堡七桥问题即要不重复地走完七座桥到达陆地和岛屿，我们把桥抽象成线和端点，只要经过就用弧线把端点连接起来，过一点有多少路径，应用到了数学中的分类讨论的思想，那么显然路径数为非负数，那么如果过一点有奇数条路径的话就成为奇顶点，反之成为偶顶点，不重复的走一条路也就是说一笔画完所有顶点。建立了如上一笔画模型

●12.2一笔画的秘密

本节通过对一笔画的学习进一步探讨了哥尼斯堡七桥问题，对于上节课的一笔画模型，数学家欧拉给出了答案——欧拉图，凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。事实证明七桥问题的走法根本不存在。并由此发展出新的学科——图论

●12.3数独

本节介绍了数独，包含了数独的规则，及其中的数学知识。最简单的数独，把1到9九个数字放到九宫格里，要求每一行、每一列都是1到9的数字。数独游戏的来源可以追溯到18世纪初的拉丁方阵：普鲁士的腓特烈大帝曾组成一支仪仗队，共有36名军官来自6支部队。每支部队中，上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一名，他希望这36名军官排成6x6的方阵，方阵的每一行，每一列的6名军官来自不同部队，军衔各不同，可是令他恼火的是，怎么绞尽脑汁也排不成。这个问题就可以转化为今天的数独问题，欧拉证明这是一个不可能完成的任务，20世纪人们通过计算机造出了n=10的正交拉丁方阵。逐渐演变至今的数独游戏，通过相对复杂的逻辑推理来答案。

●12.4神奇的六边形

本节通过介绍六边形，来讨论了生活中的六边形。正六边形是存在于自然中的神奇图形，生活中铅笔的横截面，龟壳上面，长颈鹿身上的花纹，足球都能看到正六边形的身影。对于镶嵌问题：都有什么样的图形可以不重叠铺满整个平面？有正方形，等边三角形，那么在正多边形中，那些可以，那些不可以呢？

●12.5六边形与镶嵌问题

本节讨论了镶嵌问题，并且主要介绍了六边形的镶嵌问题。承接上节的镶嵌问题，一种图形如果能够铺满一个平面的话，就涉及到这个图形当中每个内角的大小较好能够铺满360°的角，那么多边形的内角和公式180*（n-2），n为边数，也就是360除以那个内角应该等于一个正整数，整理得,要求k为正整数，带入计算可得n=3、4、6时，k为正整数，即正三角形，正四边形，正六边形是可以铺满整个平面的。同时，从建筑学角度讲，正六边形是最省材料的，这也正是蜂巢是正六边形的原因。

第十三章数学与音乐

本章介绍音乐与数学的关系，从不同侧面探讨音乐中包含的数学方法和思想。着重介绍乐理理论的发展过程中体现的数学方法和思想。

●13.1数学与音乐概述

介绍音乐与数学的关系概述

●13.2乐理中的数学（一）

介绍五度相生律产生和发展过程中体现的数学方法和思想

●13.3乐理中的数学（二）

介绍十二平均律产生和发展过程中体现的数学方法和思想