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第一章多元函数微分学
人们常常说的函数y=f(x)，是因变量与一个自变量之间的关系，即因变量的值只依赖于一个自变量，称为一元函数。
但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，即因变量的值依赖于几个自变量。
例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。 -
●1.1多元函数的基本概念
平面点集；
区域；
多元函数的定义。 -
●1.2多元函数的极限与连续
二元函数的二重极限；
二元函数的累次极限；
多元函数的连续性；
闭区域上连续函数的性质；
极限与连续相关的典型题。 -
●1.3多元函数的偏导数与全微分
偏导数的定义、性质；
高阶偏导数；
全微分的定义；
微分形式不变性；
微分运算与近似计算。 -
●1.4多元复合函数微分法
多元复合函数的求导法；
多元复合函数的全微分。 -
●1.5多元隐函数的微分法
一个方程所确定的隐函数；
方程组所确定的隐函数；
隐函数的求导法则。 -
●1.6微分法在几何上的应用
向量值函数；
空间曲线的切线与法平面；
空间曲线的切平面与法线。 -
●1.7方向导数与梯度
多元函数的方向导数；
多元函数的梯度；
相关结论的总结。 -
●1.8多元函数的极值与最值
多元函数极值的介绍；
多元函数的去条件极值；
多元函数的最值；
多元函数的有条件极值。
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第二章多元函数积分学
积分学（integral calculus)数学分析的分支学科。即研究各种积分(理论、计算和应用）以及它们之间的关系的学科。
积分学也是高等数学的基础学科之一。积分学的研究对象也是函数，其研究方法是另一类极限值的计算，牵涉到曲边形面积和体积的计算，其研究任务是积分的性质、法则和应用。 -
●2.1二重积分
二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
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●2.2三重积分
三重积分就是立体的质量。
当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值。
当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。 -
●2.3曲线积分
在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重(一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积)后的黎曼和。带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。物理学中的许多简单的公式在推广之后都是以曲线积分的形式出现。曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出现的概率。
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●2.4曲面积分
数学上，曲面积分（面积分）是在曲面上的定积分（曲面可以是空间中的弯曲子集）；它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面，可以在上面对标量场（也即，返回数值的函数）进行积分，也可以对向量场（也即，返回向量值的函数）积分。
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●2.5高斯公式与斯托克斯公式
斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系。
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●2.6斯托克斯公式与场论初步
场论，物理学中把某个物理量在空间的一个区域内的分布称为场，如温度场、密度场、引力场、电场、磁场等。如果形成场的物理量只随空间位置变化，不随时间变化，这样的场称为定常场;如果不仅随空间位置变化，而且还随时间变化，这样的场称为不定常场。在实际中，一般的场都是不定常的场，但为了研究方便，可以把在一段时间内物理量变化很小的场近似地看作定常场。
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●2.7多元函数积分学的数学应用
多元函数积分学的数学应用
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●2.8多元函数积分学的物理应用
多元函数积分学的物理应用
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第三章无穷级数论
用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比较简单的函数形式，逼近比较复杂的函数，最为简单的逼近途径就是通过加法，即通过加法运算来决定逼近的程度，或者说控制逼近的过程，这就是无穷级数的思想出发点。
包括数项级数、函数项级数（又包括幂级数、Fourier级数；复变函数中的泰勒级数、Laurent(洛朗）级数）。 -
●3.1常数项级数
多项式里，不含字母的项叫常数项。
一个数学常数，是指一个数值不变的常量，与之相反的是变量。跟大多数物理常数不一样的地方是，数学常数的定义是独立于所有物理测量的。 -
●3.2常数项级数的审敛法
在数学领域，收敛性判别法是判断无穷级数收敛、条件收敛、绝对收敛、区间收敛或发散的方法。比较审敛法又称比较审敛原理，是判别级数敛散性的一种方法。
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●3.3幂级数
幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的(x-a)的n次方(n是从0开始计数的整数，a为常数)。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
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●3.4傅里叶级数
傅里叶级数
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第四章多元函数积分学
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
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●4.1微分方程的概念与一阶微分方程
数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。
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●4.2可降阶微分方程
可降阶的微分方程有以下几种形式：
1、y^(n)=f(x),直接积分就行；
2、y''=f(x,y'),式中不含y,令y'=p即可降阶；
3、y''=f(y,y'),式中不含x,令y'=p(y),则y''=p'p即可降阶。 -
●4.3常系数线性微分方程、欧拉方程
常系数线性其次微分方程；
二阶常系数线性其次微分方程；
欧拉方程；
微分方程组。 -
●4.4常系数线性齐次微分方程
本节重点简介利用特征方程的方法求常系数线性其次微分方程的同解。
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●4.5欧拉方程、简单的微分方程
本节针对欧拉方程、简单的微分方程组以及微分方程的应用展开学习。
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●4.6二阶常系数线性非齐次微分方程（上）
本节重点讲解利用其次方程的通解以及非其次方程的特解来求解常系数线性非齐次微分方程的通解。
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●4.7二阶常系数线性非齐次微分方程（下）
本节继续讲解利用其次方程的通解以及非其次方程的特解来求解常系数线性非齐次微分方程的通解。