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第一章实数集与函数
数学分析的研究对象是定义在实数集上的函数，本章主要介绍数集的确界定义，确界原理以及函数有界和确界定义，本章是学习数学分析的基础。
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●1.1绪论
本节进行了课程简介，介绍了微积分的产生，微积分的基本思想以及微积分产生的意义，让学习者对本课程有一个基本的了解，从而达到更好地学习效果。
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●1.2确界原理
确界原理是刻画实数完备性的基本定理之一，也是同学们学习到的第一个实数完备性的定理，确界原理作为整个极限理论的基础，它直观易懂，且可由它导出一系列相关的性质，如单调有界定理，柯西收敛定理等。
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●1.3函数简介
无论是初等数学还是高等数学，函数都是一个非常重要的概念。本节主要复习和简单介绍数学分析中所用到的一些函数知识以及几个重要的概念，主要内容包括函数的产生、函数的定义、特殊函数举例、函数的特性、复合函数与反函数、初等函数，让学习者对函数有一个初步的了解。
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●1.4函数的有界性
函数有界指的是函数值有界，函数的确界指的是函数值的确界，这些定义有助于理解函数的某些性质，为后边数学分析的学习奠定基础。
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●1.5知识选讲：确界原理典型例题
本节在学习确界原理和函数的有界性的基础上，对其典型例题进行讲解，帮助学习者加深对确界原理的理解，从而更好地应用确界原理解决问题。
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第二章数列极限
极限理论是数学分析的基础，也是学习数学分析的工具。数列极限是数学分析最基本的概念之一，数列极限问题作为微积分的基本概念，其建立和产生对微积分的理论有着重要的意义。
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●2.1极限的起源与发展
在学习数列极限和函数极限之前，本节从古希腊时期的欧多克索斯、战国时期的庄子、古希腊时期的阿基米德、三国时期的刘徽到19世纪的柯西等方面介绍了极限的起源，从割圆术、截杖问题、函数与数列等方面介绍了极限的发展。
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●2.2数列极限的定义
数列极限的定义是数学分析学习的一个难点，学会叙述并能够用定义证明数列极限是学习数学分析必备的入门知识，特别是利用定义证明数列极限时，存在的N如何找出是个关键点。
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●2.3收敛数列的性质
收敛数列的性质对理解数列收敛起到了一定的作用，也为求解数列极限提供了方法，特别是几个性质的证明过程可以帮助学习者掌握数学分析证明题的技巧，同时也提供了思路。
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●2.4数列与子列的关系
数列与其子列的收敛关系可以帮助理解数列的收敛，更重要的是它也提供了一种证明数列发散的有效方法。
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●2.5数列的单调有界定理
在研究数列极限问题时，首先考察的就是数列极限的存在性问题。数列的单调有界定理就是利用数列本身的性质对数列是否收敛做出判断，它也是刻画实数完备性的基本定理之一。
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●2.6数列的Cauchy收敛准则
数列的Cauchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题，它也是刻画实数完备性的基本定理之一，它反应出收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数，或者说收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起。
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●2.7Cauchy收敛准则的应用
数列的Cauchy收敛准则给出了判断数列收敛的一个充要条件，利用Cauchy收敛准则只需要判断数列是否为Cauchy列就可以方便有效地判断数列是否收敛，掌握利用Cauchy收敛准则证明数列敛散性的技巧。
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●2.8考研拓展：Stolz定理
考研拓展：Stolz定理
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●2.9知识选讲：数列极限典型例题
知识选讲：数列极限典型例题
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第三章函数极限
极限理论是数学分析的基础，也是学习数学分析的工具。函数极限是数学分析最基本的概念之一，函数极限问题作为微积分的基本概念，其建立和产生对微积分的理论有着重要的意义，导数和积分等概念都是定义在函数极限的基础上。
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●3.1函数极限的定义
函数极限的定义是数学分析学习的难点之一，学会叙述并能够用定义证明函数极限是学习数学分析必备的基础知识，特别是利用定义证明函数极限时，存在的领域如何找出是个关键点，需要掌握一些放缩技巧。
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●3.2函数极限的性质
类似与数列极限的性质，函数极限也有对应的性质，函数极限性质的证明过程可以帮助学习者掌握数学分析证明题的技巧，函数极限的迫敛性也为求解函数极限提供了简便方法。
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●3.3函数极限的运算法则
利用函数极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则可以从一些简单的函数极限出发，计算比较复杂的函数极限，注意法则的使用条件，掌握求解复杂函数极限的方法。
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●3.4归结原则
归结原则又称海涅定理，它的意义在于把函数极限问题归结为数列极限问题，可以利用归结原则和数列极限的性质得出函数极限的性质，利用该原则判断函数极限不存在时非常方便。
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●3.5函数单调有界定理
类似与数列极限的单调有界定理，函数极限也有对应的单调有界定理，只不过函数的单调有界定理包括两种形式，一种是自变量趋于无穷大时的单调有界定理，这种情况与数列极限的单调有界定理是对应的；另一种是自变量趋于某一点时，单调函数单侧极限的单调有界定理。
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●3.6函数柯西收敛准则
考虑到数列是特殊的函数，类似与数列的Cauchy收敛准则，函数的敛散性也有类似与数列Cauchy收敛准则的结论。函数的Cauchy收敛准从理论上完全解决了函数极限的存在性问题给出了判断函数收敛的充分必要条件，函数收敛当且仅当函数满足Cauchy条件。
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●3.7两个重要极限
极限是微积分中的基本概念，是学习数学分析的主要工具，导数和积分等很多概念都是由极限来定义的。极限的求解方法也是数学分析的主要研究内容，两个重要极限是具有代表性的两类极限，称为重要极限是因为在由导数概念到建立初等函数求导公式这一过程以及求函数极限中，这两个极限起到了必不可少的纽带作用。两个重要极限以及它们的一般形式在计算极限过程中起到了重要作用。
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●3.8无穷小量
无穷小量，有时简称无穷小，是数学分析中的一个基本概念，无穷小量通常以函数和序列的形式出现，是极限为零的函数或序列，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。无穷小的性质以及无穷小阶的比较在求解极限问题时起到了重要作用。
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●3.9无穷大量
无穷大量，有时简称无穷大，同无穷小量一样是数学分析中的基本概念之一，无穷大量通常以函数和序列的形式出现，是极限为无穷的函数或序列，切不可把很大的数与无穷大量混为一谈。无穷大与无穷小的关系以及无穷大的性质以在求解极限问题时起到了重要作用。
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●3.10知识拓展：MATLAB求极限
极限是数学分析中一个非常基本也是非常重要的概念，MATLAB是常用的三大数学软件之一，能够帮助学习者简单快速地求极限。本节介绍了MATLAB以及MATLAB求极限的基本命令，并给出了几个实例，帮助学习者更好地掌握。
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第四章函数的连续性
数学分析的研究对象是函数，连续性是函数最基本的性质.本章主要学习三个内容：1.函数在一点的连续性和函数在区间上的连续性;2. 函数的间断点及其分类；3. 闭区间上连续函数的性质，有最大值最小值定理(包括有界性定理)、介值性定理(包括根的存在定理)、一致连续性定理。
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●4.1函数连续性应用案例
本节的主要内容包括连续函数是实函数的杰出代表和连续函数与实际科学问题的联系。在正式将学习函数的连续性之前，帮助学习者了解连续函数的意义，知道连续函数在实际问题中的广泛应用。
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●4.2函数的连续性
本节主要学习函数在一点连续的三个等价定义以及单侧连续定义。要求通过本节的学习会判断函数在一点是否连续，会使用连续定义证明函数在某一点连续。
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●4.3间断点及其分类
本节主要学习间断点的定义以及间断点的分类，间断点根据函数在某一点左右极限是否存在以及存在左右极限时是否相等分为第一类间断点和第二类间断点，对于可去间断点可以进行连续延拓。本节要求会求间断点和会判断间断点的类型。
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●4.4最大值最小值定理
本节开始学习闭区间上连续函数的整体性质，性质之一是最大值最小值定理。先学习最大值最小值定义，再学习有界性定理作为最大值最小值定理的引理。闭区间上连续函数的有界性在许多理论证明中经常用到，最大值最小值定理是微分学中证明达布定理的基本工具。
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●4.5介值性定理
本节学习闭区间上连续函数的性质之二，介值性定理和根的存在定理，介值定理是根的存在定理的推广，这两个定理是讨论函数方程的根的重要工具，计算数学中的二分法就是根据它们的证明方法而得到的求函数方程的根的有效程序。
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●4.6一致连续性的概念
本节介绍函数一致连续性的概念，并列举相关典型例题说明如何用定义判断函数的一致连续性和非一致连续性。
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●4.7一致连续性定理
介绍闭区间上连续函数的一致连续性定理，并列举该定理的几个典型应用题和相关重要结论。
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第五章导数与微分
本章介绍导数的概念、函数的求导法则、复合函数和参变量函数的导数、高阶导数和微分的概念，并给出相关典型例题和重要结论。
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●5.1导数拓展
导数拓展
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●5.2导数的概念
本节介绍导数的背景和概念，并利用导数的定义推导基本函数和分段函数的导数。
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●5.3求导法则
本节介绍函数的四则运算的导数和反函数的求导公式，并列举相关典型例题说明求导公式的应用。
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●5.4复合函数的求导法则
本节推导复合函数的求导法则，并利用该法则求几个典型复合函数的导数。
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●5.5参变量函数的导数
本节推导参变量函数的导数公式，并列举相关例题说明参变量函数导数公式的应用。
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●5.6高阶导数
本节介绍高阶导数的背景、定义和公式，给出几个常用的基本函数的高阶导数公式，并列举相关例题。
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●5.7微分
本节介绍微分的背景、定义和结论，推导微分的计算公式，并列举例题说明如何求函数的微分。
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●5.8知识拓展：MATLAB求导数
在求导数的过程中有大量的计算，而且计算比较复杂，借助MATLAB求导数，能够减轻学习者求导数的工作量。本节介绍用MATLAB求导数的基本命令，同时给出几个实例，帮助学习者更好地掌握。
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第六章微分中值定理及其应用
数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质，而研究函数性质的重要工具之一就是微分中值定理。常用的微分中值定理包括:Rolle定理、Language定理、Cauchy定理。另外由微分中值定理所演绎出的Taylor公式、不定式的极限和导函数的性质也是应用分析学思想处理问题的重要手段。借助于微分和导数，还可以刻画和分析函数性质，如单调性、凹凸性等，这些都是函数可视化问题的基本手段。
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●6.1微分中值定理简介
微分中值定理简介
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●6.2Rolle定理
Rolle定理是微分中值定理最为基础的定理，它反映了函数在区间上的特性与其内部某点处导数之间联系。并且Rolle定理与零点定理，在许多物理问题、工程问题等方面都有较大的应用价值。
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●6.3Lagrange定理
Larange定理是基于Rolle定理所得。该定理的常见证明思路可以用于得到许多类似于中值定理的结论。这些都是学习者需要重点掌握的内容和技巧。
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●6.4Cauchy定理
Cauchy定理是Larange定理的进一步深化。是将Larange定理中的自变量和因变量演化为参数形式的函数所得。几何上反映的是值域空间中的切线方程性质。学习者通过本节学习应更加深刻理解中值定理，并能够应用到部分稍复杂涉及导数存在的分析问题上。
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●6.5泰勒公式
Taylor公式是对函数进行级数展开的基础，同时也是如插值、逼近等数值分析问题的基础。还是分析高精度计算方法的重要理论基础之一。基本初等函数的Taylor公式是本节学习者需要掌握的最低要求。
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●6.6导函数性质
导函数的性质在微分方程的研究中十分重要。导数极限定理告诉我们，导函数是不存在第一间断点的。达布定理则告诉了我们关于导函数的介值性问题。
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●6.7不定式极限
不定式的极限问题是数学分析中关于极限一类重要问题，同时也是考研试题中的常见的问题。这是学习者应该重点掌握的一套求极限的方法。
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●6.8极值的充分条件
极值是局部的最值，是反映函数在某一点的邻域内的情况。求函数的极值是优化问题重要基础，这在运筹与控制、计算数学和应用数学等许多领域中都会用到。在机器学习和人工智能等方面也是会经常碰到极值问题。
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●6.9函数的凹凸性
函数的凹凸性是函数的重要性质，本节主要介绍利用导数(高阶导数)如何分析函数的凹凸性。函数的凹凸性与上节的极值相同，都是最优化问题及与之相关的领域中重要基础。
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●6.10知识拓展：MATLAB绘制函数图像
有些函数非常复杂，难以画出图像。借助MATLAB绘制函数图像，非常形象直观。本节介绍用MATLAB绘制函数图像的基本命令，并给出了几个实例，帮助学习者更好地掌握。