第一章随机事件及其概率

本章主要介绍了概率论的基础知识，有大量的基本概念和计算公式。

●1.1随机事件及其运算

本节主要介绍了随机试验、样本空间、随机事件的定义以及事件之间的关系及其运算。

●1.2排列与组合

本节主要介绍了排列组合的基本模式以及多项组合。

●1.3随机事件的概率

本节主要介绍了概率的三种赋值方法—古典概率, 几何概率, 统计概率。

●1.4概率的公理化定义及概率的性质

本节主要介绍了概率的公理化定义——概率空间以及概率的一些性质。

●1.5条件概率

本节主要介绍了条件概率的定义、性质、计算公式以及与条件概率有关的三个公式—乘法公式, 全概率公式, 贝叶斯公式。

●1.6事件的独立性

本节介绍事件的独立性。

第二章随机变量及其概率分布

上一章在讨论一些具体随机试验的基础上，建立了随机试验的数学模型——概率空间。第2章主要研究随机变量及其概率分布，随机变量实现了随机试验和随机事件的数量化。本章共分6节，结合一些常见的随机变量，阐述了如何对随机变量进行全面描述。

●2.1随机变量与分布函数的概念

本节主要介绍了随机变量的概念，强调了随机变量是从样本空间到实数集的映射特征，概率论关心的是这个映射的取值及相应的概率分布情况。本节对概率论的研究对象作了简单介绍。

●2.2离散型随机变量及其概率分布

本节首先研究了离散型随机变量的概念和概率分布的等价工具——分布列。然后介绍了一些常见的离散型随机变量及分布列，包括两点分布、二项分布、超几何分布、泊松分布、几何分布、负二项分布。

●2.3连续型随机变量及其概率密度函数

本节首先研究了连续型随机变量的概念和概率分布的等价工具——概率密度函数。然后介绍了一些常见的连续型随机变量及概率密度函数，包括均匀分布、指数分布、正态分布、伽玛分布、贝塔分布、柯西分布。

●2.4多维随机变量及其分布

本节首先介绍了二维随机变量的概念及其联合分布函数和边际分布函数的概念。然后分别介绍了二维离散型随机变量及其联合分布列、边际分布列和二维连续型随机变量及其联合概率密度函数、边际密度函数。最后介绍了一般的n维随机变量及其联合分布。

●2.5一个随机变量函数的分布

本节介绍一个随机变量函数的分布。

第三章随机变量的数字特征

在上一章，结合一些常见的随机变量，阐述了如何对随机变量进行全面描述。第3章主要研究随机变量的特征描述——数字特征。

●3.1随机变量的数学期望

本节首先介绍了离散型随机变量的数学期望、连续型随机变量的数学期望、一般随机变量的数学期望。然后给出了随机变量函数的数学期望的计算公式，并研究了数学期望的一些基本性质，包括等式性质和不等式性质。

●3.2随机变量的方差

作为随机变量的函数的数学期望定义了随机变量的方差，并给出了方差的等式性质和不等式性质——切比雪夫分不等式。

●3.3常用离散型随机变量的期望和方差

对于常见的离散型和连续型随机变量分别计算了数学期望和方差。包括两点分布、二项分布、超几何分布、泊松分布、几何分布、负二项分布、均匀分布、指数分布、正态分布、伽玛分布、贝塔分布、柯西分布、卡方分布、t分布、F分布。

●3.4多维随机变量的数字特征

本节主要介绍了两个随机变量的协方差和相关系数，通过研究其性质反映了协方差和相关系数的意义。然后介绍了多维随机变量的数学期望、协方差矩阵、相关系数矩阵。

●3.5其他常用数字特征

本节主要介绍了随机变量的其他6个其他常用数字特征，分别是矩、变异系数、偏态系数、峰态系数、分位数、中位数。

●3.6条件数学期望

本节主要从条件分布（条件分布列和条件密度函数）出发，介绍了条件数学期望的概念和意义。给出了条件数学的性质，特别是双重期望公式。

第四章大数定律与中心极限定理

本章共分为四节内容，核心为大数定律与中心极限定理，前两节是必要的知识准备，讲述特征函数的概念与性质、随机变量序列的两种收敛性。在教学设计阶段，团队成员经过多次讨论、反复琢磨后，制定出本章基本的教学思路.
首先对整章的知识系统进行概述，使学生在对知识结构有一个预先认识的基础上，展开教与学的过程。特征函数是一种研究随机变量分布特征的工具，教学中应力求使学生对概念有正确的理解，突出特征函数作为工具的使用手段。依概率收敛和依分布收敛是随机变量序列的两种收敛性，它们分别是描述大数定律和中心极限定理所需要的工具。依概率收敛定义抽象，理解起来较为困难，讲解时可以将概念进行分解，力求突出其本质，即它是一系列随机事件概率所构成数列的收敛性问题.学生对数列的收敛性是比较熟悉的，这样会大大降低理解的难度，在此基础上,再进一步解释对应的一系列随机事件其含义所在。依分布收敛理解起来相对容易，但是需强调它与数学分析中函数列逐点收敛之间的区别，以及与特征函数列收敛性之间的关系。具备了前两节的知识之后，便可以顺理成章地进入本章的核心部分，大数定律与中心极限定理。大数定律描述了随机变量序列中前n个变量其算术平均，当n取自然数时所构成的新的随机变量序列，与一个常数列对应项之差的绝对值依概率收敛于零这样的现象。教学中注意强调是新的随机变量序列依概率收敛时，称原随机变量序列是服从大数定律的。除了概念，更应该侧重讲解的是大数定律在现实中的体现，解释实际中用频率代替概率、用平均值作为测量结果等现象背后的科学道理。最后，再用模拟图形展示出大数定律的直观规律，帮助学生进一步理解所学知识。中心极限定理描述的是随机变量序列中前n个变量的和，当n取自然数时所构成的新的随机变量序列，经标准化后依分布收敛于标准正态分布这样的现象。教学中同样需要强调，新的随机变量序列依分布收敛时，称原随机变量序列服从中心极限定理。侧重解释现实中这一定理所对应的现象，如由大量独立的、微小的随机因素之和所构成的“误差”之类的变量近似服从正态分布，再如很多自然群体的经验频率呈现钟形曲线等，同时，课堂中采用随机模拟图来加深印象。学生对上述原理有了深刻理解之后，便可以得心应手地利用正态分布计算独立随机变量和事件的近似概率。本章内容在概率论这门课程中是相对比较抽象难懂的部分，教学中应注重循序渐进，由浅入深，在实际教学中还应针对具体教学对象适当调整教学设计，以求达到尽可能好的教学效果。

●4.1大数定律

大数定律描述了随机变量序列在满足一定条件时，其前n个变量的算术平均所构成的新序列，当n无限增大时，与一个常数列在概率意义下无限接近的现象。需要研究的问题是，随机变量序列满足什么样的条件时，就服从大数定律。

●4.2中心极限定理

中心极限定理描述的是独立随机变量序列，在满足一定条件时，其前n个变量的和，当n取自然数时所构成的新序列，经标准化后依分布收敛于标准正态分布这样的现象。主要研究的问题是，随机变量序列满足什么样的条件时，服从中心极限定理。主要的应用是，当n充分大时，用正态分布去近似独立随机变量之和的分布。