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第一章引言
数值分析也称计算方法，是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其相关理论和软件实现。
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●1.1数值分析的对象与特点
数值分析研究的对象和任务就是由数学模型建立数值计算方法，再编写算法程序在计算机上算出结果，最后对结果进行分析。数值分析研究的特点：面向计算机、有可靠的理论分析、好的计算复杂性、要有数值实验。
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●1.2数值计算的误差
本节主要介绍了绝对误差、相对误差、有效数字、有效数字与相对误差以及函数的误差。
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●1.3误差定性分析与避免误差危害
本节介绍算法的稳定性和避免误差危害的方法。
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第二章非线性方程求解
科学与工程计算中的许多实际问题常常归结为求解非线性方程 f(x)=0，但其精确解的求解非常复杂，这一章将介绍求解非线性方程根的数值方法。
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●2.1非线性方程的简介
非线性方程的简介
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●2.2二分法
二分法就是把含根区间对半分，使含根区间的长度缩小到充分小求出满足精度要求的近似根。
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●2.3不动点迭代法
不动点迭代法就是先将 f(x)=0化为等价方程x=g(x)，然后构造其迭代格式
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●2.4迭代法的收敛定理
本节介绍了埃特金加速收敛方法和斯特芬森迭代法，斯特芬森迭代法就是埃特金加速和不动点的迭代结合。
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●2.5迭代收敛的加速方法
牛顿法也称切线法，收敛阶是2阶的。
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●2.6牛顿法
本节介绍了牛顿下山法、重根的牛顿法的改进、弦截法。
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●2.7牛顿法的改进
本节介绍牛顿法的改进
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第三章解线性方程组
对于方程组的系数矩阵是低阶稠密矩阵的情形，通常用直接法求解。对于方程组的系数矩阵是高阶稀疏矩阵的情形，一般用迭代法求解。
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●3.1高斯消元法
高斯消元法是通过消元，把方程组的系数矩阵约化为上三角矩阵，然后通过回代来求解线性方程组的一种方法。
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●3.2高斯选主元消去法
用高斯消元法解线性方程组时，由于计算机的截断误差，有时算得的解失真严重。为解决因截断误差引起求解失真严重的情况，引进选主元步骤，把乘数因子的模限制在1以内，这一方法就是高斯选主元消去法。
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●3.3高斯-约当消去法
用高斯消去法解方程组时，有消元和回代两个步骤。高斯-约当消去法在消元同时，把系数矩阵约化为单位矩阵，从而约化后的常数项就是方程组的解，那么求解过程不需要回代。
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●3.4三角分解法
三角分解法是把方程组的系数矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积，然后求解两个简单的三角方程组的一种求解线性方程组的方法。三角分解法是高斯消元法的矩阵形式。
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●3.5平方根法
用三角分解法求解线性方程组时，如果方程组的系数矩阵是对称正定矩阵，可以把系数矩阵分解为下三角矩阵和这个下三角矩阵转置的乘积，这样的三角分解法就是平方根法。
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●3.6追赶法
用三角分解法求解线性方程组时，如果方程组的系数矩阵是三对角矩阵，可以把系数矩阵分解为两对角的下三角矩阵和两对角的单位上三角矩阵的乘积，这样的三角分解法就是追赶法。
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●3.7向量与矩阵范数
在用迭代法解线性方程组时，需要度量近似解与精确解的靠近程度，于是提出了度量向量之间与矩阵之间靠近程度的量，即范数。范数是距离概念的推广。
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●3.8线性方程组的误差分析
在线性方程组的求解中，系数矩阵和常数项的微小扰动对最终解是有影响的。本节从理论上分析这种影响，得出条件数过大时方程是病态的。
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●3.9雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代
本节介绍解线性方程组的两种迭代法：雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代方法。
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●3.10迭代法的收敛性
迭代法的收敛性和收敛速度是迭代法面对的两个重要问题。本节介绍迭代法收敛的一些充分条件和如何提高收敛速度。
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第四章插值法
本章介绍了多项式插值，包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段低次插值和埃尔米特插值多项式的求法。
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●4.1插值多项式
插值法就是求一条曲线y=p(x)使其通过所给定的n+1个点并用它近似已知曲线y=f(x)
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●4.2拉格朗日插值
本节介绍拉格朗日插值
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●4.3牛顿插值
本节介绍牛顿差值。
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●4.4埃尔米特插值
插值多项式要求在插值节点处函数值相等，还要求在节点处导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特(Hermite)插值多项式。
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●4.5分段低次插值
高次插值会产生龙格现象，因此通常采用分段低次插值的方法，即以插值节点为分点，将[a,b]分成若干个小区间，并在每个小区间上进行低次的多项式插值。
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第五章函数逼近与最小二乘法
对于不易求出解析函数形式的观测数据，通常采用函数逼近与最小二乘法求解。
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●5.1赋范线性空间与内积空间
函数逼近中经常会用到赋范线性空间与内积空间，介绍到赋范线性空间与内积空间的基本概念和性质。
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●5.2最佳平方逼近
函数逼近或者最小二乘法中常常用到的一种逼近方法，其判断依据是使得待求函数与已知函数或观测数据的2-范数达到同类函数中最小。
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●5.3正交多项式
用普通的多项式基通过施密特正交化过程，选取不同的权函数和求解区间可以得到各类正交多项式。正交多项式作函数逼近或最小二乘法时有其独到的优点。
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●5.4正交函数作最佳平方逼近
正交函数作最佳平方逼近时得到的法方程系数矩阵是对角矩阵，便于待定函数的求解。
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●5.5曲线拟合的最小二乘法
最小二乘法可以用于求解超定方程，其不要求待求函数完全通过观测点，而只要求观测点与待求函数的偏差平方和达到最小即可。
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●5.6最佳一致逼近多项式
函数逼近中常常用到的一种逼近方法，其判断依据是使得待求函数与已知函数的1-范数达到同类函数中最小。
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第六章数值积分
在高等数学中定积分通常用牛顿莱布尼兹公式计算，但是大量被积函数f(x)的原函数不是初等函数，有时被积函数的原函数计算十分困难，还有f (x)是由测量或数值计算给出的一张数据表没有解析表达式，这些积分都无法用牛顿莱布尼兹公式来进行计算。这一章我们将介绍积分的数值方法。
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●6.1数值积分概论
介绍了数值积分的基本思想，代数精度的概念、插值型的求积公式以及求积公式的收敛性和稳定性。
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●6.2牛顿-柯特斯公式
本节介绍牛顿-柯特斯公式和牛顿-柯特斯公式的余项以及牛顿-柯特斯公式的代数精度。
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●6.3复合求积公式
把积分区间等分成若干个子区间，在每个子区间上用低阶的求积公式（如梯形积分公式、Simpson积分公式），对所有的子区间求和即得整个区间[a, b]上的积分公式，这种方法称为复合求积法。
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●6.4变步长求积
复和求积公式对提高积分精度是可行的方法，但在使用求积公式前需要给出合适的步长，步长取得太大精度难以保证，步长太小又会导致计算量大大增加，这节介绍了变步长的梯形求积公式。
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●6.5龙贝格积分
将变步长的梯形公式外推得到精度更高的复合Simpson公式，再将复合Simpson公式式外推得到精度更高的复合柯特斯公式，如此继续下去就得到龙贝格算法。
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第七章常微分方程的数值方法
本章介绍常微分方程的数值方法
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●7.1常微分方程数值解—引言
科学技术中很多问题最终归结为常微分方程问题，而高等数学中讲授的解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法。这一章我们将介绍常微分方程初值问题的数值解法。本节介绍一些基本概念和理论。
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●7.2常微分方程数值解—欧拉方法
本节介绍欧拉方法的导出，并分析欧拉方法的局部截断误差。
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●7.3后退欧拉法、梯形公式、中点公式
本节介绍后退欧拉方法、梯形公式、中点公式，并比较了这些方法的优缺点。
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●7.4改进的欧拉公式
本节介绍了改进的欧拉公式。
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●7.5龙格—库塔法
本节介绍了高精度的单步递推格式：龙格—库塔法。
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●7.6单步法的收敛性与稳定性
本节介绍了单步法的收敛性与稳定性。
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第八章矩阵特征值计算
本章介绍矩阵特征值计算
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●8.1矩阵特征值计算—基本概念
物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题，例如振动问题（桥梁的振动、机械的振动、电磁振荡、地震引起的建筑物的震动等）。这一章我们将介绍求矩阵特征值和特征向量的数值解法。本节介绍一些基本概念和理论。
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●8.2幂法
本节介绍求矩阵的按模最大特征值和特征向量的数值解法—幂法。
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●8.3反幂法
本节介绍求矩阵的按模最小特征值和特征向量的数值解法—反幂法，以及带位移的反幂法。