绪章绪论

正确的数学学习观的重要性及微积分学习的独家秘籍。

●0.1数学学习观的思考

通过对数学之困、数学之痛、数学之重、数学之答的深入分析和探讨，帮助同学们在学习微积分的过程中， 树立正确的学习观，喜欢数学，爱上数学。

●0.2微积分大神学习秘籍

通过中国功夫形体规范，形神兼备，又兼具精神传意、内外合一的整体观引入微积分学习的方法，给出了微积分学习的四大秘籍，通过对秘籍的详细解释，为学生的微积分学习提供思路，解决微积分学习中普遍存在的困惑问题。

第一章包罗万象的奥妙函数

各具特色的函数家族。

●1.1函数的前世今生

在现代函数完善的定义形成之前，函数的发展历史经历了漫长的过程。函数的出现相对于没有函数的时代是一个非常巨大的进步,它代表着思维方式,思考角度的改变,是一个新的数学时代的到来.函数概念的发展大致经历了四个阶段，分别是几何观念下的函数；代数观念下的函数；对应关系下的函数及集合关系下的函数。函数概念的定义历经三百多年的发展、变革及完善，形成了函数的现代定义，随着科学技术发展，函数的概念将会在应用中继续向前发展。

●1.2奥妙无穷的函数

幂函数是一类重要的基本初等函数，是函数构成的基础，学习幂函数的定义，幂函数的定义域，幂函数的性质（奇偶性，单调性）以及幂函数在实际生活中的应用。在学习的过程中体会数学的价值、数学的美以及数学的重要性。通过飞蛾扑火的故事引入指数函数，让数学更贴近生活。主要介绍指数函数的定义，解析式，指数函数的性质（单调性，奇偶性）以及指数函数常用的公式；最后以细胞分裂，存款利率等生活实例展示指数函数在生活中的重要应用。以有趣的例子引入三角函数，介绍三角函数的发展史，六类三角函数的解析式，定义域以及三角函数在生产生活中的重要应用。具体讲解了反三角函数的来由，定义域以及值域。通过故事引入了奇妙的无理数e，介绍了无理数e的由来、与无理数有关的两类函数、对数函数的解析式、指数函数的性质、双曲余弦函数及悬链线的由来以及在生活中的应用。通过生活实例引入分段函数的定义，鉴于复合函数复杂的特点，在此将由两个函数复合而成的复合函数比喻成两个加工厂，以形象的实例来解释复杂的数学定义。

第二章对立统一的极限思想

极限思想的萌芽、争论、发展、完善。

●2.1揭开极限的神秘面纱

介绍古今中外的各种不同的极限思想，让学生了解极限思想的萌芽，发展及成熟等阶段，深刻理解极限的本质。微积分将用这个万能的工具开辟出一番惊天地、泣鬼神的事业。通过具体实例的讲解及无穷数列通项的变化趋势，让学生掌握数列极限的定义。随着n无限增大，通项an与极限值的距离可以任意小；但有多小与项数n的大小有关，与数列中某一项或前有限项没有关系，任意改变数列的有限项不影响极限值。通过对数列极限定义的精确性讲解，让学生掌握数列极限的定义。学习数列极限的ε--N定义及几何直观，进一步理解了数列极限的本质。

●2.2西游记趣说数列性质

掌握收敛数列的四条性质，惟一性、有界性、保号性、保不等式性，对数列极限的定义有了更深层次的理解。介绍单调有界定理及子列的性质，并运用它们解决了一类极限的题目。

第三章博大精深的函数极限

函数极限的定义、函数极限的性质及运算技巧。

●3.1函数极限的盛世美颜

本节主要通过数列极限的定义引入函数极限的一种自变量趋于无穷时的极限，并通过生活实例引入自变量趋于一个常数时的极限过程，通过各种不同类型的例子加深理论理解。本节一共学习三个内容：函数极限的几何直观描述；函数极限存在的唯一性；函数极限的局部有界性，注意区分和数列极限性质的差别。本节只通过直观描述学习了函数极限的保号性和保不等式性。

●3.2又练又说真把式

讲述四则运算的由来，给出函数极限四则运算的法则，并通过例题灵活运用四则运算。学习夹逼定理，掌握利用夹逼定理求解函数极限的关键是：寻找两边放缩的函数，并判断两边函数的极限相等。学习两类特殊函数以及由此推导的几个公式，用公式计算的几个例题，把握公式各自使用的范围。学习无穷小量的发展，无穷小量的定义、无穷大量的概念、高阶无穷小量、同阶无穷小量、等价无穷小量。掌握等价无穷小量的性质及其在求极限运算中的重要作用。

●3.3高处的风景更美丽

学习海涅定理，学会运用海涅定理判断函数极限与数列极限之间的关系。学习柯西收敛准则，学会运用准则判断函数极限的存在性。

第四章优美和谐的连续曲线

连续、间断点及介值定理。

●4.1我见青山多妩媚

介绍函数的连续性定义与函数在某一点处的连续性的判定方法。

●4.2断片记忆的节点？

介绍几类间断点，函数的不同类型间断点的判别方法，并介绍了生活中利用连续性与间断点的成功案例。

●4.3七夕鹊桥来相会

介绍零点定理与介值定理，学习了零点定理与介值定理在生活中的例子，并利用零点定理解决求方程的近似根的二分法。

第五章神奇玄秘的千古绝技（一）

导数、导数的运算及微分。

●5.1万变不离其宗

讲解两个引例，一个是物体作直线运动时求瞬时速度，另一个是求曲线在某点处的切线斜率，为导数定义的引入做前期准备。具体分析两个引例虽然来不同领域，但思想却是一样的，都用到了极限思想，研究的都是变化率问题。舍弃不同问题的实际意义，从数量关系的共性出发，抽象出了导数的定义。通过例题讲解用导数的定义如何求函数的导数，介绍了导数的几何意义。

●5.2导数百战须奇器

介绍求导的四则运算，并通过例题展示如何用四则运算结合基本求导公式求导。复合函数求导较难理解，借助剥洋葱理论帮助理解复合函数求导，使难以理解的数学问题得以简单清晰化，便于更好地理解和掌握。介绍复合函数求导法则，即链式法则。通过例题进一步讲解如何利用链式法则结合四则运算求复杂函数的导数。通过物理学中求运动物体的瞬时速度，加速度和急动速等问题，引入高阶导，介绍高阶导的定义，以及如何求函数的高阶导。分析求高阶导的作用是为了研究函数的近似计算。让学习者知道微分的定义。

●5.3微分传奇

介绍的是微积分学中一个重要的概念——微分。有了微分的定义，那么导数可以看作是两个微分的商，所以导数也叫微商，讲解微分的几何意义，以及利用微分求函数的近似值。

第六章千古绝技的生活应用

导数的应用。

●6.1由表及里，追本溯源

介绍罗尔中值定理的内容，并通过罗尔中值定理解决了根的存在性问题。介绍拉格朗日中值定理的内容，以及拉格朗日中值定理的几何意义，通过这个定理，我们可以用它来解释生活中的很多问题。

●6.2计算极限之超级秒招

介绍求极限的神器洛比达法则，主要解决了零比零型和无穷比无穷型的不定式求极限的问题。介绍了几种类型的不定式，解决方法就是将其化为基本形式，最后利用洛必达求解最终的极限。

●6.3导数应用的大小之辩

主要介绍函数极值的概念及判别函数极值的两个充分条件，并简单介绍了函数的最值。

第七章神奇玄秘的千古绝技（二）

不定积分定义及其运算。

●7.1牵绊千年，难舍彼此

介绍原函数与不定积分的概念，基本积分表。利用逆运算学习一般的不定积分的求解方法。利用归类整理的思想介绍了不定积分的性质。利用不定积分性质可以求解一般的不定积分。

●7.2以我之力，达你之事（1）

介绍第一类换元积分法及几种典型的凑微分方法；并用宝箱、锁和钥匙的关系形象描述了被积函数中复合函数、其内层函数与内层函数的导数之间的关系。介绍几种利用第一类换元积分法求解的积分；演练了用宝箱、锁和钥匙的关系形象描述了被积函数中复合函数、其内层函数与内层函数的导数之间的关系。

●7.3以我之力，达你之事（2）

介绍第二类换元积分法，并用宝箱与机关的关系形象描述了被积函数与换元函数之间的关系。介绍几种利用第二类换元积分法求解的不定积分；并演练用宝箱与机关的关系形象描述了被积函数与换元函数之间的关系对求解不定积分计算题的作用。

●7.4变换之间，得偿所愿

介绍分部积分法，用围魏救赵的故事形象地描述分部积分法中函数乘积的各积分之间的关系。举例介绍利用分部积分法求解不定积分。

第八章无所不能的定积分

不定积分的定义及其在几何、物理上的应用。

●8.1分合之道中道

计算曲边梯形面积的方法，利用积分四部曲，得出了定积分的概念。介绍一个非常重要的函数，积分上限函数，并且由原函数存在定理掌握连续函数f(x)的原函数一定存在的结论。介绍微积分学中最为重要的公式：牛顿---莱布尼兹公式，并通过几个例题展示了牛顿---莱布尼兹公式的强大之处。

●8.2别具匠心的完美工具

介绍利用微元法求直角坐标系下不规则图形的面积、利用参数方程求解曲线所围成图形的面积、极坐标系下求曲线围成的图形的面积问题、曲线弧长的定义及如何去求曲线弧长，分别给出了三种不同形式的弧长计算公式。通过这些公式我们可以计算出不同坐标系下曲线的弧长。介绍平行截面面积已知的立体图形的体积如何求解，重点讲解平面曲线绕着X轴旋转与绕着Y轴旋转所得旋转体的体积公式。

●8.3数学统治着宇宙

主要介绍利用微元法解决了变力沿直线做功的问题。介绍用万能的定积分求质点与非质点即一个细棒之间的引力问题。