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第一章复数与复变函数
复数与复变函数
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●1.1复数及其几何表示
该知识点讲解了复数的几何表示方法：点表示法和向量表示法。进一步给出了
复数的三角表示式和指数表示式，并给出了辐角和辐角主值的概念。 -
●1.2复变函数
该知识点讲解了邻域、内点、开集、区域、闭域等概念，并介绍了几个有关平面曲线的概念，以及多连通域和单连通域的定义。
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第二章解析函数
K.魏尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函数称为解析函数，而区域上的解析函数是指在区域内每一小圆邻域上都能表成幂级数的和的函数。
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●2.1解析函数的导数
该知识点讲解了复变函数导数定义及求导公式和法则、复变函数解析定义及相应的运算性质
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●2.2解析函数的充要条件
该知识点讲解了C-R方程及相应推论
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●2.3初等函数
初等函数是由幂函数（power function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）、反三角函数（inverse trigonometric function）与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。
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第三章复变函数的积分
复变函数的积分
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●3.1复变函数积分的概念
该知识点讲解了积分的定义及计算公式、积分的性质
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●3.2柯西积分定理
柯西积分定理（或称柯西－古萨定理），是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。柯西积分定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。另一个等价的说法是，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0。
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●3.3柯西积分公式
柯西积分公式是一把钥匙，他开启了许多方法与定理；他刻画了解析函数的又一种定义；人们对它的研究极具意义，让解析函数论能够单独脱离于实函数。通过柯西积分公式就可以把解析函数f(z)在简单闭曲线C的内部任意一点处的值边界C上的值表示。这是解析函数的又一特征。柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法，而且给出了解析函数的一个积分表达式，从而是研究解析函数的有力工具。
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●3.4解析函数的高阶导数
该知识点讲解了解析函数的高阶导数公式，并用它来计算积分
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●3.5解析函数与调和函数的关系
该知识点介绍了调和函数及共轭调和函数的概念、已知解析函数的实部或虚部，用偏积分法及原函数法求解析函数的方法
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第四章级数
级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。
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●4.1复级数
该知识点讲解了复数序列的极限及复数项级数的概念，并给出了级数收敛的判别方法，给出了绝对收敛和条件收敛的定义。复变函数项级数、幂级数的概念、Abel定理以及求幂级数收敛半径的比值法和根值法，以及收敛圆域内的分析性质
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●4.2泰勒级数
在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。 泰勒级数在近似计算中有重要作用。
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●4.3洛朗级数
在数学中，复变函数f(z)的洛朗级数，是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。洛朗级数是由Pierre Alphonse Laurent在1843年首次发表并以他命名的。卡尔·魏尔斯特拉斯可能是更早发现这个级数的人，但他1841年的论文在他死后才发表于世。
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第五章留数
留数是复变函数中的一个重要概念，指解析函数沿着某一圆环域内包围某一孤立奇点的任一正向简单闭曲线的积分值除以2πi。留数数值上等于解析函数的洛朗展开式中负一次幂项的系数。根据孤立奇点的不同，采用不同的留数计算方法。留数常应用在某些特殊类型的实积分中，从而大大简化积分的计算过程。
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●5.1孤立奇点
若f(z)在z0不解析，但在z0的某一去心邻域0
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●5.2留数
在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。
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●5.3留数再定积分计算中的应用
这三个知识点分别讲解了三个实积分的求法
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第六章共形映射
共形映射是复变函数论的一个分支，它从几何的观点来研究复变函数，其通过一个解析函数把一个区域映射到另一个区域进行研究。这个性质可以将一些不规则或者不好用数学公式表达的区域边界映射成规则的或已成熟的区域边界。
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●6.1导数的几何意义与共形映射
该知识点讲解了曲线的切向量及导数的几何意义，并给出了共性映射的概念
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●6.2分式线性映射
知识点讲解了分式线性映射的概念，给出了平移映射，旋转与伸缩映射、反演、映射的性质；分式线性映射性质：共形性、保圆性、保对称性；分式线性映射的唯一性条件，并给出了对应点公式；上半平面与单位圆域两个典型区域之间的映射
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●6.3几个初等函数所构成的映射
该知识点讲解了幂函数这个映射的性质、指数函数这个映射的性质
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第七章傅里叶变换
傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
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●7.1傅里叶级数
法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。
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●7.2傅里叶积分与傅里叶变换
该知识点讲解了傅里叶积分公式及傅里叶变换，给出了傅氏变换的物理意义
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●7.3单位脉冲函数
该知识点讲解了 函数概念及其性质、 函数的傅氏变换、并给出了一些常用函数的傅氏变换
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●7.4傅氏变换的性质
该知识点讲解了傅氏变换的基本性质，以及用傅氏变换求解微积分方程的方法、卷积的概念以及卷积定理
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●7.5序列的傅里叶变换
该知识点讲解了序列的傅里叶变换定义及性质
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第八章拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。 [1] 拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。
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●8.1拉普拉斯变换的概念
该知识点讲解了拉普拉斯变换的定义，给出了常用函数的拉氏变换 、拉普拉斯变换存在定理
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●8.2拉氏变换的性质
该知识点讲解了拉普拉斯变换的基本性质、运用拉氏变换性质的例子及求反常积分方法、拉氏变换的定义及卷积定理
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●8.3拉普拉斯逆变换
该知识点讲解了反演积分公式及利用留数计算反演积分
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●8.4常微分方程的拉氏变换解法
该知识点讲解了常微分方程的拉氏变换解法