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绪章数学补充
为了帮助学生更好的理解物理概念并能进行相关运算，在正式讲授《力学》课程内容之前先补充微积分初步和矢量函数的基本概念及运算方法。
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●0.1函数的导数和积分
掌握微积分运算是学习《力学》课程的基础，本节我们将介绍函数、导数、微分与积分的相关概念及运算法则。
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●0.2矢量函数的导数和积分
力学中的很多物理量都是矢量，如力、速度、加速度等，而这些物理量的变化与矢量函数的导数有关。本节我们将介绍矢量与矢量函数导数的相关概念与运算规律。
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第一章力学简介
力学有着悠久的发展历史，本章从古代力学、经典力学、近代力学和现代力学四个阶段对力学的发展进行了介绍；物体运动的描述是相对的，为确切描述物体的位置和运动，应选择参考系和坐标系。
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●1.1力学发展史
本节从古代力学、经典力学、近代力学和现代力学四个阶段对力学的发展进行了介绍，主要介绍了力学的成就、发展趋势和有代表性的科学家。
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●1.2参考系、坐标系、质点
运动是绝对的但是运动的描述是相对的，在描述物体的运动时首先要选择参考系，参考系的选择根据研究问题的方便而定；为了定量的描述运动，建立在参考系上的坐标系是定量研究物体运动的数学工具；为了研究问题的方便在一定条件下可以把物体抽象为质点。
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第二章质点运动学
运动学的任务是描述随时间的推移物体空间位置的变动，本章以质点为研究对象，主要从位置、位移、瞬时速度、瞬时加速度四个方面描述了质点的运动，最后引入相对运动问题。
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●2.1位置矢量位移和路程
位置矢量是描述质点位置的物理量，是矢量，具有相对性和瞬时性；位移是描述质点位置变化的物理量；位移和路程的有区别也有联系。
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●2.2瞬时速度和加速度
平均速度只能粗略描述质点运动的快慢，瞬时速度可以描述任意时刻或任意位置质点运动的快慢；瞬时加速度是速度的一阶导数，可以描述速度在任意时刻变化的快慢。
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●2.3自然坐标系的建立
描述一般的平面曲线运动（尤其是轨道已知的运动）一般选用自然坐标系，自然坐标系中质点的位置用轨迹长度S表示，单位矢量为切向单位矢量和法向单位矢量。
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●2.4自然坐标系下速度和加速度
在自然坐标系中质点的速度等于运动方程对时间的一阶导数，只有切向分量，加速度在切线和法线方向上有两个分量。
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●2.5相对运动问题
给出了基本参考系和运动参考系的定义，分析了绝对速度、相对速度和牵连速度三者的关系。
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第三章牛顿运动定律·动量
动力学主要研究为什么动和如何动的问题。牛顿运动定律是经典力学动力学核心定律，其中牛顿第二定律是质点动力学的核心方程。本章首先学习牛顿运动定律，然后再此基础上学习非惯性参考系动力学以及重要物理量——动量，以及动量变化的原因及守恒条件。
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●3.1牛顿运动定律
牛顿运动定律是动力学的核心定律，第一定律是定性的分析力与运动的关系，第二定律是定量的分析力和加速度的关系，第三定律分析了物体之间相互作用力的特点；牛顿运动定律是有适用范围的。
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●3.2非惯性参考系
非惯性参考系是相对惯性参考系变速运动的参考系，在该参考系中牛顿第二定律不再成立。
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●3.3非惯性参考系动力学方程
根据加速度的变换关系得出了非惯性参考系中的动力学方程，通过分析发现质点在非惯性参考系中除了受相互作用的力外还受惯性力，惯性力的大小和方向和非惯性参考系的运动关系密切。
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●3.4质点的动量定理
质点所受力的冲量等于质点动量的变化，由此可得出质点受力不为零是质点动量变化的原因。
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●3.5质点系和质心
两个或两个以上相互作用的质点组成的系统称为质点系，质点系的质量中心称为质心，质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
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●3.6质心运动定理
质点系质量与质心加速度的乘积等于质点系所受一切外力的矢量和，质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
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●3.7质点系动量定理及动量守恒定律
质点系动量的增量等于外力对质点系的冲量，由此可见只有外力对体系的总动量变化有贡献，内力对体系的总动量变化没有贡献，若外力为零，质点系的动量守恒。
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第四章动能和势能
从变力做功开始学习动能和势能，然后讨论动能、势能、机械能及它们之间的转化和守恒等问题。
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●4.1变力做功
通过取微元把变力变为恒力，把曲线变为直线，利用功是力与位移的标积来求变力做功。
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●4.2质点的动能定理
动能定理是动力学基本定理之一，表明作用在质点上的合力做功等于质点动能的增量；如果已知质点的初速度，可利用动能定理求任一时刻的速度的大小；如果已知质点的初末速度，可求该过程中力的功。
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●4.3质点系的动能定理
质点系动能的增量在数值上等于一切外力做功和一切内力做功的代数和，该定理表明内力做功、外力做功都对质点系动能的变化有贡献。
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●4.4保守力和非保守力
相互作用力的内力的功之和，只与系统的初态和末态的相对位置有关，而与做功路径无关，或者说沿闭合路径做功为零，这种性质的一对内力称为保守力；而做功与路径有关或沿闭合路径做功不为零的内力称为非保守力或耗散力。
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●4.5质点系的势能
势能函数是由一对保守内力的功引入的，势能的变化可以由保守力做功的负值来表示；如果要计算某一位置处的势能值，就必须先规定势能函数的零点，一旦势能函数零点确定，就可以确定系统某种状态的势能函数的值。
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●4.6质点系的功能原理和机械能守恒定律
质点系机械能的增量等于外力与非保守内力做功之和，如果外力做功及非保守内力做功为0，则机械能的增量为0，即机械能守恒。
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●4.7对心碰撞
对心碰撞又称为正碰，指的是碰撞前速度矢量沿两球的连心线，碰撞后速度矢量也沿两球的连心线；可以由恢复系数的取值把碰撞分为3类；e=1时为完全弹性碰撞，e=0时为完全非弹性碰撞，e大于0小于1时为非完全弹性碰撞。
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第五章角动量
角动量是描述物体转动状态的物理量，是除动量和能量之外的另一个重要的力学量；角动量的变化与力矩密切相关；角动量不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理论中角动量在表征状态方面也是不可缺少的。
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●5.1质点对参考点的角动量和力矩
质点对参考点的角动量是位置矢量和动量的矢积，具有相对性和瞬时性；质点对参考点的力矩是位置矢量和力的矢积，具有相对性和瞬时性。
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●5.2质点对参考点的角动量定理
质点角动量定理的内容是力矩对时间的积分等于质点参考点角动量的变化；如果作用在质点上的外力对参考点的力矩为零，则质点对该参考点的角动量在运动过程中保持不变即质点对参考点的角动量守恒。
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●5.3质点系对参考点的角动量定理
质点系对给定参考点的角动量的时间变化率等于作用在体系上所有外力对该点力矩的矢量和，内力矩不改变质点系对给定参考点的角动量；若质点系对参考点的外力矩为零，质点系对参考点的角动量守恒。
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第六章万有引力定律
任何两物体间均存在万有引力，万有引力定律是牛顿力学体系的组成部分；根据万用引力的性质可以求出宇宙速度。
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●6.1万有引力定律
任何两物体间均存在相互吸引力，若物体可视作质点，则二质点的相互引力沿二质点的连线，与二质点的质量成正比，与它们之间的距离成反比，这个力就是万有引力，它是保守力。
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●6.2宇宙速度
人造卫星之所以能围绕地球运行是因为有恰当的速度，如果速度不够大，就会落回地面；如果速度过大，则会脱离地球引力场或太阳引力场。所以需要知道从地球表面向宇宙空间发射人造地球卫星、行星际和恒星际飞行器的最小发射速度。万有引力是保守力，利用机械能守恒可计算出三个宇宙速度。
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第七章刚体力学
刚体是特殊的质点系，是一个理想模型；刚体定轴转动是刚体的一个非常重要的运动形式，第七章主要介绍刚体定轴转动的运动学和动力学知识。
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●7.1刚体定轴转动的描述
刚体是一个特殊质点系，质元之间的相对距离不发生变化，定轴转动是刚体的重要运动形式，该运动中刚体上的所有质元都做圆周运动，具有相同的角量，描述刚体定轴转动的角量有角坐标、角位移、角速度和角加速度，已知角量就可以求出刚体上任意一点做圆周运动的线速度、切向加速度和法向加速度。角量可以充分地描述了刚体绕定轴的转动状态。
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●7.2刚体定轴转动的转动惯量
刚体定轴转动对轴的转动惯量是刚体定轴转动的重要物理量；本节重点介绍了定轴转动刚体对轴的转动惯量的计算方法以及转动惯量与质量的区别与联系。
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●7.3刚体定轴转动的力矩 转动定理
通过讨论刚体上任意质元对轴的力矩得到了刚体对轴的力矩；利用牛顿第二定律推导出刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积等于外力对此轴的合力矩，即刚体定轴转动的转动定理，该定理是刚体定轴转动的动力学方程；根据转动定理可以求出任一时刻的角加速度，由角加速度一方面可以求出角速度与时间t的关系，还可以求出某一时刻刚体质心的切向加速度，进而求出刚体切线方向上的外力。
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●7.4刚体定轴转动的角动量定理及守恒律
通过讨论刚体上任意质元对轴的角动量得到了刚体对轴的角动量，刚体对轴的角动量等于刚体对轴的转动惯量与角速度的乘积，角动量对时间的变化率等于刚体对轴的外力矩，此规律称为刚体定轴转动的角动量定理；当外力矩为0或内力矩远远大于外力矩时可认为刚体对定轴的角动量守恒。
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●7.5刚体定轴转动的功能关系
根据力的功的表达式推导出力矩做功的表达式；将刚体视为一质点系，由质点的动能推导出刚体定轴转动时的转动动能；给出刚体定轴转动的动能定理。由质点的重力势能推导出刚体的重力势能的表达式，给出刚体的机械能守恒定律。
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第八章振动
振动是一个物理量在某一定值附近的往复变化过程，分为简谐振动、阻尼振动及受迫振动。本章重点学习简谐振动的微分方程、运动学和几何描述，简谐振动的合成；同时了解阻尼振动和受迫振动的运动特点。
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●8.1振动的基本概念
给出振动的定义和分类；从动力学角度定义了简谐振动；讨论了研究振动的意义。
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●8.2简谐振动的动力学特征
分析弹簧振子、单摆做简谐振动时的动力学特征，概括出简谐振动的动力学特征；给出简谐振动的普遍定义。
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●8.3简谐振动的运动学方程
利用积分的方法求解简谐振动的动力学方程，对方程进行分析得出质点做简谐振动的过程中，位移、速度、加速度均随时间在一定范围内按正弦规律或余弦规律周期性变化，变化的快慢由系统的性质决定；通过对运动学方程求导还可以得到质点做简谐振动的速度和加速度。
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●8.4描述简谐振动的特征量
描述了简谐振动的特征量：周期、频率、圆频率、振幅、相位、初相位和相位差以及这些特征量的关系。
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●8.5简谐振动的图像表示法和矢量表示法
给出简谐振动的x-t曲线，由曲线分析其运动特征；给出简谐振动的矢量表示法，并分析该方法的优势。
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●8.6简谐振动的能量转换
简谐振动总能量与振幅的平方成正比；在一个周期内，弹簧振子的平均动能和平均势能相等，且等于总机械能的一半，动能和势能相位反向。
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●8.7同方向同频率简谐振动的合成
用解析的方法分析同方向同频率的两个简谐振动合成以后的振动规律，讨论在不同相位差时合振动的振动特点。
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●8.8同方向不同频率简谐振动的合成
用解析的方法分析同方向不同频率的两个简谐振动合成以后的振动规律和特点，给出拍的定义。
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●8.9相互垂直的简谐振动的合成
解出同频率相互垂直的两个简谐振动的合振动的轨道方程，讨论在不同相位差时合振动的振动特点和运动轨迹。一般情况下，同频率相互垂直两个简谐振动合振动的轨迹没有固定的图样，但是，当两分振动的频率比为整数之比时，合振动的轨迹有固定的图样，称为李萨如图形。
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●8.10阻尼振动
简单介绍阻尼振动的动力学特征，分析欠阻尼、临界阻尼、过阻尼的运动学特征。
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●8.11受迫振动
分析受迫振动的动力学特征和运动学特征，给出位移共振的条件，分析受迫振动的能量转换关系。
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第九章波动和声
质点或质点系的运动传递能量，波动则是另一种传递能量和动量的过程。本章重点讨论平面间谐波的运动学方程、波的叠加和干涉以及多普勒效应。
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●9.1平面简谐波波方程的推导
平面波传播时，若介质中各体元均按余弦（或正弦）规律运动，叫平面简谐波；以一列平面简谐横波在无吸收的、均匀的、各向同性的、无限大的、弹性介质中传播时为例，根据定义推导出平面简谐波的波方程。
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●9.2平面简谐波的运动特征
分析了平面简谐波的运动学特征，发现波具有时间和空间上的周期性，时间上的周期性用周期描述，空间上的周期性用波长描述。给出了波长、周期、波速等物理量的定义；给出了平面简谐波方程的其他形式。
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●9.3波动方程与波速
以在均匀的各向同性的弹性介质中传播的平面简谐横波为例，应用胡克定律和牛顿第二定律推导出弹性介质中横波的波动方程；用类比的方法给出平面纵波和张紧的柔软细绳上横波的波动方程；结合波动方程和波方程给出弹性波波速的表达式，分析弹性波波速的影响因素，给出色散的定义。
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●9.4波的叠加和干涉
给出波的叠加原理，证明波的叠加原理并指明其成立条件；定义波的干涉现象，给出干涉条件并证明其充分性；分析干涉时干涉相消和干涉相长的分布情况。
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●9.5驻波
驻波是振幅相等传播方向相反的两列相干波叠加形成的特殊振动状态，形成驻波时，各体元均有确定的振幅，有些点振幅最大，有些点振幅为零；相邻波节间体元相位相同，波节两侧体元相位相反；没有能量的定向传播，是一种特殊的振动状态。
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●9.6多普勒效应
多普勒效应是由于波源和观测者的相对运动，造成观测频率与波源频率不同的现象；主要分析了波源静止观察者运动，观察者静止波源运动，波源和观察者都运动时的观测频率和波源频率间的关系。
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第十章流体力学
流体力学的主要研究在各种力的作用下，流体本身的静止状态和运动状态时的相互作用和流动规律。本章主要研究静止流体内的压强和流动的流体的伯努利方程。
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●10.1静止流体内的压强
过静止流体一点各不同方位无穷小面元上的压强大小都相等，等于过此点任意一假想面元上正压力大小与面元面积之比当面元面积趋于零时的极限。
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●10.2静止流体内的压强分布
分析静止流体内不同空间点压强分布的影响因素，得到与体积力垂直的曲面上各点压强相等，静止流体内不同空间点压强的分布与体积力有关，压强梯度与体积力成正比的结论。
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●10.3流体运动学的基本概念
介绍描述流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法；给出流线、流管、流迹的概念；定义定常流动并分析其特点；给出流量的定义，以不可压缩流体的定常流动为例推导出不可压缩流体的连续性方程。
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●10.4流动流体内的压强
讨论了无黏性流动流体，内部任一点处的压强沿各不同方位无穷小面元上的压强大小相等，等于过此点任意一假想面元上正压力大小与面元面积之比当面元面积趋于零时的极限。
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●10.5伯努利方程
分析流动流体中一点的压强与方向的关系；应用功能原理分析理想流体在惯性系中在重力场中作定常流动时同一流线上（或同一细流管中）不同点的压强之间的关系，得到伯努利方程。