第一章函数、极限与连续

“极限”是数学中的分支——（高等数学）的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。极限思想是高等数学的基本思想，是高等数学中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“高等数学是一门什么学科?”那么可以概括地说：“高等数学就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想象，因此可以忽略不计。本章将从复习函数基础知识开始，学习极限的概念及计算方法，引入连续性的定义，让我们一起开始高等数学的学习之路吧。

●1.1函数

数学是一门研究数量关系与空间形式的科学，现实世界是处于永恒的变化之中的.当我们从量的方面来描述事物的变化以及他们之间的内在联系时，就形成了函数的概念，函数描述了客观世界中量与量之间的依赖关系，这是高等数学的主要研究对象。

●1.2函数极限的概念

极限概念是由于某些实际问题的精确解答而产生的．我国古代数学家刘徽提出利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，刘徽叙述这种作法时说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这就是极限思想在几何上的应用．极限是高等数学的重要概念之一，导数、积分等概念都是基于极限而定义的．因此，学习和掌握极限的方法和思想是十分重要的。

●1.3极限的运算

极限的运算贯穿了整个高等数学课程，是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯，掌握求极限的方法与技巧是学好高等数学课程的基础，这一部分将介绍极限的四则运算法则、两个重要极限和无穷小在极限中的应用三种主要的极限计算方法。

●1.4函数的连续性

函数的连续性是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。我们将学习函数在某点连续、在区间连续、单侧连续以及函数间断点的定义，进而得到初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。要求同学们掌握函数连续的两个定义，会判断函数的连续性，并利用连续函数的性质解决相关问题。

第二章导数与微分

导数与微分是微分学中的两个重要的基本概念.导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分反映当自变量有微小变化时，函数的变化幅度大小.本章我们主要讨论导数与微分的概念以及它们的计算方法，本章教学基本要求是,理解导数和微分的概念；了解导数与微分的几何意义及高阶导数的概念，知道函数的可导性与连续性的关系；知道函数可导与可微的关系；熟练掌握导数的基本公式及运算法则，会用法则求复合函数的导数及高阶导数；会用定义和公式、法则熟练求函数的微分。

●2.1导数的概念

导数（Derivative），也叫导函数，又名微商，是微积分中的重要基础概念。导数知识是学习高等数学的基础，它是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时又促进了生产技术和自然科学的发展，它不仅在天文、物理、工程领域有着广泛的应用，而且在工农业生产及实际生活中，也经常会遇到如何才能使“选址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等优化问题。我们将学习导数的定义、几何意义和基本求导公式，需要同学们熟练掌握并结合后续运算法则求函数的导数。

●2.2导数的四则运算法则

在上一节中学习了导数的定义，以及用定义的办法求函数的导数，如果对每个函数都用定义求函数的导数，将会很麻烦，甚至很困难，在本节中将会介绍函数的基本求导法则，通过这些法则，就能比较方便地求出常见函数的导数。在本节课中将会依次介绍函数代数和的导数，函数乘法的导数，函数除法的导数，以及两个比较常见的推论。学会这些法则再配合基本初等函数的求导数公式计算函数的导数就比较容易了。

●2.3复合函数的求导法则

本节课的名称为复合函数求导数法则，在前面我们可以应用导数的四则运算法则和一些基本初等函数的导数公式求出一些比较复杂的初等函数的导数，但是产生初等函数的方法除了四则运算外，还有函数的复合，本节课就是在上节课的基础之上进一步学习复合函数的求导方法，即复合函数的求导法则，本节课将依次介绍什么是复合函数，复合函数的复合过程，复合函数的求导法则，以及复合函数求导法则的应用，通过大量的练习题巩固求导法则的应用，并领会求导数的本质。

●2.4高阶导数

本节课题目是高阶导数，高阶导数是指二阶或二阶以上的导数，在本节课不需要增加新的方法，只要逐阶求导，直到所要求的阶数即可，所以本节课仍然可用前面学过的求导方法。本节课将学习二阶及二阶以上函数的求导方法，高阶导数的书写方法，对于求n阶导数一定要先求出前几阶导数，学会总结规律。

●2.5函数的微分

本节课的题目为函数的微分，函数的微分是高等数学的重要概念，本次课将通过函数的微小变化引入微分的定义，并且要求学习者会用微分的定义求函数的微分，对于微分的几何意义本次课不作为重点，作为了解内容，以微分的计算作为本节课的重点，主要学习基本初等函数的微分公式与微分的计算法则，复合函数的微分法则（一阶微分形式的不变性），为下一章不定积分的学习打好基础。

第三章不定积分

本章我们将讨论已知函数的导数，求这个函数的问题——即原函数的问题。我们会发现一个函数如果存在原函数，则它有无穷多个原函数，但这无穷多个原函数之间有联系，它们之间只差一个常数，而这些原函数的全体就是不定积分。本章的内容围绕求一个函数的不定积分展开，引入四种求不定积分的方法：直接积分法、第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法。

●3.1不定积分的概念与性质

本节给出了原函数的概念，原函数存在的问题，原函数族定理，给出了不定积分的概念，并总结了一些基本初等函数的积分公式。

●3.2直接积分法

不定积分的基本积分公式和不定积分的运算法则是求不定积分的基本工具。各种求不定积分的方法的基本思想是把被积表达式转化为基本积分公式中被积表达式的形式.利用不定积分的基本公式、运算法则求不定积分的方法称为不定积分的直接积分法。

●3.3换元积分法

利用不定积分的直接积分法，所能计算的不定积分是非常有限的。本节我们介绍不定积分的换元积分法，换元积分法又分为第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法（去根号法）,下面首先介绍第一类换元法（凑微分法）。

●3.4分部积分法

解决了两类不同函数之积为被积函数的不定积分问题，这些类型的不定积分都需要不定积分的另一种积分法——分部积分法来计算。

第四章定积分

在科学技术与经济领域中，定积分有广泛的应用。比如这样的一些问题：建筑一座大桥，在设计方案中必须算出水下桥墩部分所受到的水压力，这个水压力应如何计算？为了确定草场的畜牧量，需要先估算草场的面积，那么草场的面积该如何计算？成功发射一颗人造卫星，使其进入预定轨道，它需要克服地球引力做多少功？上述问题的解决需要应用定积分来实现。远在上古时代，伟大的数学家阿基米德曾用“穷竭法”成功地计算过圆、抛物线弓形和其他一些图形的面积，经过了漫长岁月的演变，“穷竭法”已成为今天用来定义更为普遍的概念——定积分的指导思想，在现代的自然科学和社会实践中，有许多实际问题最后都可以用定积分的思想方法去解决。本章将介绍定积分的概念、性质和计算方法及其应用。

●4.1定积分的概念和性质

远在上古时代，伟大的数学家阿基米德曾用“穷竭法”成功地计算过圆、抛物线弓形和其他一些图形的面积，经过了漫长岁月的演变，“穷竭法”已成为今天用来定义更为普遍的概念——定积分的指导思想，在现代的自然科学和社会实践中，有许多实际问题最后都可以用定积分的思想方法去解决.本章将介绍定积分的概念、性质和计算方法及其应用。

●4.2牛顿——莱布尼兹公式

定积分是一种和式的极限.如果直接用定义计算定积分的值，即使被积函数很简单，也是一件比较困难的事.为了克服这个困难，本节介绍由牛顿——莱布尼兹（Newton-Leibniz）所总结的微积分的基本公式。这个微积分基本公式揭示了定积分与不定积分的内在联系，把定积分的计算转化为求被积函数的原函数，从而解决了定积分运算的难题。

●4.3定积分的积分法

与不定积分的基本积分方法相对应，定积分也有换元法和分部积分法。这两个方法可以简化定积分的计算，最终的计算总是离不开牛顿——莱布尼兹公式。

●4.4定积分的应用举例

定积分在几何、物理、经济等许多领域都有广泛的应用，利用定积分不但可以求平面图形的面积，还可以求旋转体的体积；不但可以求变力所作的功，还可以求液体的压力等。本节将介绍建立在定积分概念基础上的微元分析法（微元法），然后运用这一方法，解决几何、物理中提出的一些问题。

第五章数学文化

数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。还包含数学家，数学史，数学美，数学教育，数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。本章课程主要针对数学家的生平，轶事，成就等介绍，挖掘这些数学家的宝贵精神品质，进行思想政治教育，目的是激发学生的数学兴趣，培养理性思维，培养学生严谨的素质，追求创新精神，培养爱国主义，进行三观教育。

●5.1数学家毕达哥拉斯

毕达哥拉斯是古希腊哲学家、数学家和音乐理论家。本节通过介绍毕达哥拉斯的生平，成就，小故事等，了解毕达哥拉斯对数学和哲学的贡献，并深刻挖掘毕达哥拉斯数学与哲学思想，理解其对世界、宇宙的态度，给人以启迪，发掘其宝贵的科学精神和态度，培养学习者积极向上的精神品质。

●5.2数学家欧拉

欧拉是瑞士数学家及自然科学家，是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家之一，平均每年写出八百多页的论文，在力学、分析学、几何学、变分法等领域都有杰出贡献。本节主要介绍欧拉的生平，著作，贡献，成就等，并列举欧拉的几个小故事，通过课程介绍，总结欧拉勤奋，好学，刻苦，顽强，孜孜不倦，品德高尚等宝贵的精神品质，发人深省，给人以启迪，为学习者提供奋发向上的正能量。

●5.3数学家祖冲之

祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。他是世界上第一个把圆周率的准确数值计算到小数点以后第7位数字的人，直到1000多年后，这个纪录才被欧洲人打破。本节通过介绍祖冲之的成就、典故，总结其治学方法和学习态度，给人以启迪，激励学习者发奋。

●5.4数学家欧几里得

欧几里得是古希腊数学家，亚历山大学派前期的三大数学家之一，被称为“几何之父”。他运用惊人的才智，成功地树立了数学演绎体系的最初典范，把数学引入一个崭新的领域，迈上一个新的台阶。本节通过介绍欧几里得的生平、成就、轶事，使学习者了解欧几里得的伟大贡献，总结欧几里得治学严谨的宝贵精神，培养学习者科学严谨的学习态度。

●5.5数学家莱布尼茨

莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位。在数学上，他和牛顿先后独立发现了微积分，而且他所使用的微积分的数学符号被更广泛的使用，莱布尼茨所发明的符号被普遍认为更综合，适用范围更加广泛。本节课程主要介绍莱布尼茨的数学钻研过程，取得的主要成就，通过几个典型事例，总结了莱布尼兹顽强的探索科学精神，执着追求真理的精神，以及大胆创新精神，这些可贵的精神品质值得我们敬畏和学习。

●5.6数学家高斯

高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家、几何学家，大地测量学家，是人类有史以来最伟大的三大数学家之一，他被誉为“数学王子”。高斯无疑是一位天才，高斯一生在诸多领域做出了重要的贡献，他的发现改变了我们处理空间、科学和几何学的方式。本课程主要简介了高斯开挂的人生，介绍了高斯一生主要的数学成就，选取了几个典型轶事，挖掘了这个科学的巨人身上闪烁着学者的光芒，使学生以他为榜样，潜心游览科技和知识的海洋，为当代大学生成才的提供无穷宝藏。

●5.7数学家笛卡尔

笛卡尔是法国著名哲学家、数学家、物理学家，现代数学的基础工具之一的坐标系就是他发明提出的。并且在几何思维还占据数学家思考统治地位时，将将几何和代数相结合，创立了解析几何学，极大地推动了数学的发展。他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者且提出了普遍怀疑的主张。

●5.8数学家柯西

柯西在数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。在数学分析中，可以说柯西比任何人的贡献都大，微积分的现代概念就是柯西建立起来的。有鉴于此，人们通常将柯西看作是近代微积分学的奠基者。