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第一章数学与科学计算绪论
数学与科学计算绪论
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●1.1数学与科学计算
数学是科学之母，科学技术离不开数学；运用数学解决问题的关键是科学计算与数学建模。
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●1.2数学建模的过程及其重要意义
数学建模与数学建模过程的概念；数学建模是现实世界与数学世界的桥梁；解析解、精确解、数值解、近似解的关系。数学建模的一般步骤；数学建模在工程技术、高新技术和新领域广泛应用。
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●1.3数值方法与算法评价
数值方法的概念，秦九韶算法及误差影响的经典算例，不同算法的计算时间、初始误差的影响不同，时效与稳定性是算法选取必须考虑的。
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●1.4误差的种类及其来源
模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差的概念及控制方法，算法稳定性和收敛性的概念。
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●1.5绝对误差和相对误差
绝对误差和绝对误差限的定义，相对误差和相对误差限，相对误差的近似计算。
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●1.6误差传播与算法稳定性分析
误差在加、减、乘、除四则运算中的传播，多元函数Taylor展式、误差传播系数（增长因子）及误差传播估计的一般公式。误差在乘方和开方运算中的传播及误差传播估计一般公式的应用，大数吃小数现象、算法稳定性的实例分析。
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第二章城市供水量的预测问题 --插值与拟合算法
城市供水量的预测模型 --插值与拟合算法
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●2.1城市供水量预测问题与插值函数的概念
城市供水量问题与函数逼近，插值函数、多项式插值的概念，插值多项式的存在唯一性定理，多项式插值的几何意义。
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●2.2求插值多项式的Lagrange法
Lagrange插值的基本思想，Lagrange插值基函数的构造、任意n次插值多项式的Lagrange插值法及其特点，两点、三点插值多项式及几何意义。
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●2.3求插值多项式的Newton法
Lagrange插值的计算不具继承性，Newton多项式及其基函数，任意n次插值多项式的Newton插值法及其特点。Newton插值多项式系数的规律，等距节点的向前差分及Newton向前插值多项式，向后差分、中心差分的概念，Newton向后插值多项式，Newton向前与向后插值多项式的比较分析。函数对任意节点的差商，差商与Newton插值多项式系数的关系及Newton基本插值多项式，差商一些重要性质介绍。
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●2.4插值多项式的误差分析
插值多项式截断误差、n次插值多项式余项，插值多项式余项公式的证明，Newton插值多项式余项的形式，事后误差估计的概念，插值多项式误差分析、数值算例及插值误差的Runge现象。
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●2.5求插值多项式的改进算法
分段低次插值思想，分段线性插值、分段二次插值，三次样条插值函数的定义，三次样条插值的三种边界条件。求三次样条插值函数的M方法，三次样条插值函数在子区间上表达式及Mi满足方程组的推导，三种边界条件下三次样条插值的M法。
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●2.6求函数近似值的拟合算法
求函数近似值的拟合算法
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●2.7城市供水量预测的简单方法与数值微分
数值微分的基本思想，插值型微分公式的构造，带余项的数值微分公式，及两点、三点数值微分公式，基于插值多项式的高阶的数值微分公式。
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第三章湘江流量估计模型 --数值积分法
城市供水量的预测模型 --插值与拟合算法
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●3.1数值积分公式的构造及代数精度
湘江水流量估计的实际意义，江水流量计算与定积分，数值求积的必要性，插值型求积公式的推导，机械积分公式，求积公式的余项，求积公式的代数精度。
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●3.2Newton-Cotes积分法
Newton-Cotes积分法
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●3.3Romberg算法
Romberg算法的思想，Romberg算法推导及算法规律，Romberg算法计算公式的简化。
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●3.4Gauss积分法与节点位置的优化
节点位置的优化与Gauss积分思想，Gauss型求积公式的定义、一般Gauss求积公式的构造，常用的Gauss型积分公式。
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第四章养老保险问题 --非线性方程的数值解法
养老保险问题 --非线性方程的数值解法
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●4.1养老保险问题与根的搜索
养老保险问题与非线性方程的求解，代数方程及公式解情况，方程单根、重根的概念，逐步搜索法、二分法及优缺点分析。
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●4.2非线性方程的迭代解法
迭代法基本思想，迭代相关概念，迭代算例，迭代收敛的几何意义，迭代全局（局部）收敛定理，收敛条件分析，误差估计式分析。收敛迭代过程的收敛速度，迭代法加速基本思想、Aitken加速法。
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●4.3Newton迭代法
Newton迭代法基本思想，Newton迭代公式的构造，Newton法的局部收敛性与Newton下山法，迭代过程收敛阶的概念，以及收敛阶的证明，Newton迭代的二阶收敛性，Newton迭代法的误差估计，Newton迭代法的误差估计。
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●4.4弦截法与抛物法
弦截法与抛物法的基本思想，弦截法迭代公式的推导、几何意义、收敛阶，弦截法与Atken加速算法的关系，抛物线法迭代公式的推导、几何意义、收敛阶，抛物线法近似解的选取方法。
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第五章小行星轨道方程计算问题 --线性方程组求解的直接法
轨道方程计算问题 --线性方程组求解的直接法
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●5.1小行星轨道计算问题与线性方程组直接解法概述
小行星轨道计算问题转化为解线性方程组的过程，解线性方程组在科学工程计算中的地位，直接解法、消去法的概念，消去法与Gauss 消的基本思想。
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●5.2Gauss 消去法
Gauss消去法算例，Gauss消去法的基本思想，Gauss消去法的消元与回代过程推导及计算公式，方程在能用Gauss消去法直接求解的条件。
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●5.3矩阵的三角分解与Gauss消去法
Gauss 消去法过程的矩阵变化分析，矩阵三角分解定理，矩阵Doolittle、Crout分解的概念，矩阵三角分解算例，Gauss 消去法计算量分析。
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●5.4Gauss主元消去法
Gauss主元消去法
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●5.5直接三角分解法
顺序主子式不为0矩阵的不选主元的三角分解法，相应方程组的直接分解法，选主元的矩阵三角分解法，及一般方程组的直接三角分解法。
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●5.6平方根法
对称矩阵的三角分解，Cholesky分解及计算，平方根法及其数值稳定性，算例。
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●5.7追赶法
三对角方程，三对角矩阵的三角分解条件及算法，追赶法及其数值稳定性，算例。
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第六章回归问题 --线性方程组求解的迭代法
回归问题 --线性方程组求解的迭代法
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●6.1线性方程组迭代解法概述
线性方程组迭代解法概述
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●6.2线性方程组迭代法的收敛性
线性方程组迭代法的收敛性与迭代矩阵的关系，迭代法收敛基本定理，迭代法收敛的充分条件，迭代法的收敛速度及表征指标。
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●6.3迭代法的构造与基本迭代法
迭代法的构造与基本迭代法
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●6.4超松弛迭代法
超松弛迭代法
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第七章常微分方程数值解法简介
常微分方程数值解法简介
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●7.1实际问题的微分方程模型及传染病模型
实际问题微分方程模型的建立，水温变化问题，传染病模型，微分方程数值解的必要性，微分方程数值解的概念。
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●7.2简单的数值方法与基本概念
一阶常微分方程的初值问题，初值问题的适定性及适定的条件，介绍幂级数展开法、数值微分法、数值积分法导出Euler法，以及Euler法的几何意义，后退Euler法、改进的Euler法、Euler中点法，显式、隐式算法的概念及预估-校正法，单步、多步法的概念。局部截断误差与算法精度的阶，误差主项及逐项系数，Euler法、后退Euler法、改进Euler法的局部截断误差推导，整体截断误差，Euler法的整体截断误差分析，Euler算法及改进Euler算法的稳定性，算例不同算法的对比。
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●7.3线性多步法
线性多步法的一般形式，构造的线性多步法的数值积分法即Adams方法的基本思想，Adams外插法、Adams内插法及系数表，Adams外插法和Adams内插法的截断误差，以及误差对比分析。构造的线性多步法的待定系数法，p阶k步法的待定系数满足的方程组，分析p阶k步法的p阶k的关系，Milne方法、Hmaming方法的推导。
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●7.4非线性高阶单步法—Runge-Kutta法
Taylor展开法的基本思想和方法，基于Taylor展开的非线性单步p阶法计算量大的分析，Runge-Kutta法的基本思想、加权组合系数及其关系推导，Runge-Kutta法的一般形式，m 级 p 阶R-K法的概念。一级R-K法、二级R-K法、三级R-K法、四级R-K法的推导及经典四级四阶R-K法，R-K法级与阶的关系，算例分析。
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●7.5一阶方程组和高阶方程的初值问题
一阶方程组初值问题的一般形式，高阶方程化为一阶方程组的方法，解方程组初值问题的数值方法的思想及线性多步法一般形式。
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●7.6常微分方程边值问题的数值解法
常微分方程边值问题的一般形式，试射法的基本思想和基本步骤，试射反算例，差分方法的思想，讲解一类典型的常微分方程边值问题的计算过程，介绍差分法的收敛性和稳定性概念。
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第八章层次分析法
层次分析法
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●8.1决策方案评价问题与层次分析法概述
人们日常生活中遇到的许多决策问题列举，决策方案的评价问题，决策的概念，层次分析法概述，层次分析法的特点，决策问题层次结构模型的建立，层次分析法要解决的问题。
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●8.2层次分析法的基本步骤
以旅游地选择的决策问题为例讲解层次分析法的层次分析结构模型建立、成对比较阵构造、一致性检验与权向量计算、组合一致性检验与组合权向量计算等基本步骤，给出旅游地选择的组合权向量与决策。
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●8.3层次分析法的广泛应用
介绍层次分析方法的应用领域、处理问题的类型、以及层次分析法的关键步骤和数量依据，详细讲解层次分析方法应用案例，分析建立一些实际问题的层次结构模型。
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●8.4层次分析法的若干问题
分析层次分析的优点和局限性，总结应用层次分析法的注意事项，正互反阵的相关性质，即层次分析的理论依据，介绍和法、根法、幂法等正互反阵最大特征和特征向量的实用算法，分析成对比较的多步累积效应，介绍不完全层次结构中组合权向量的计算法，残缺成对比较阵的处理方法，说明更复杂的层次结构。
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第九章长江水质的综合评价
长江水质的综合评价
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●9.1长江水质的综合评价问题
长江水质污染问题与综合评价概念。
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●9.2综合评价方法简介
评价指标、综合评价方法与综合评价模型。
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●9.3长江水质综合评价模型
长江水质综合评价模型与评价结果。
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●9.4长江水质综合评价模型分析与污染源确定
长江水质综合评价模型的结果分析与污染源确定。
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第十章统计预测方法及预测模型
统计预测方法及预测模型
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●10.1统计预测
统计预测的概念、作用、分类、选择、原则和步骤。
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●10.2趋势外推法
趋势模型的种类与选择。
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●10.3时间序列的确定性因素分析
确定性因素分解、趋势分析、季节效应分析与综合分析。
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●10.4回归预测法
回归预测方法、参数估计、模型检验和模型应用。
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●10.5多元线性回归模型
多元线性回归模型、假定条件、参数估计与统计检验。