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绪章感受微积分
以微积分为核心内容的高等数学是打开科学大门、认识缤纷世界的金钥匙。本章带领大家探索数学的奥秘，感受逻辑推理的独特魅力，体会数学发现、发明和发觉的莫大愉悦！
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●0.1不规则平面图形面积的近似计算
定积分在科学研究与实际生活中都有非常广泛的应用。本节介绍定积分近似计算的一种方法--辛普森法。辛普森法是用抛物线拟合函数曲线，是定积分近似计算的一种有效方法。
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第一章函数与极限
函数是反应变量之间相互依赖关系的数学模型，是高等数学的主要研究对象，而极限则是研究变量的基本工具。本章介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念以及它们的一些性质。
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●1.1映射与函数
映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是一种特殊的映射。本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算。要求掌握反函数和复合函数的概念，熟悉基本初等函数的性质及图形，能列出简单实际问题中的函数关系。
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●1.2数列的极限
本节从观察一些具体数列的变化趋势入手，通过量化的方法引入数列极限的精确定义，讨论了收敛数列的性质，给出了利用定义证明数列极限的方法。
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●1.3函数的极限
数列是一种特殊的函数，将数列极限的定义推广，引出了函数极限的一般概念。对于自变量的不同变化过程，得到了不同类型函数极限的定义，包括单侧极限。函数极限的性质与数列极限有些类似，但也有明显的不同，这里一般只能满足局部性质。
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●1.4无穷小与无穷大
无穷小是极限理论的核心概念。本节主要介绍无穷小与无穷大的概念、无穷小的性质，
以及无穷小与函数极限的关系、无穷小与无穷大之间的关系。 -
●1.5极限运算法则
本节讨论极限的求法，主要是建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则，
利用这些法则，可以求某些函数的极限。 -
●1.6极限存在准则 两个重要极限
本节介绍判定极限存在的两个准则：夹逼准则和单调有界收敛准则。利用这两个准则，
可以证明在极限理论中有重要应用的两个重要极限。提醒读者注意，在利用两个重要极限求
极限时，务必验证是否满足重要极限的特征。 -
●1.7无穷小的比较
两个无穷小的和、差及乘积仍旧是无穷小，但两个无穷小的商会出现各种不同的情况。
本节根据两个无穷小之比的极限，给出了无穷小阶的概念：主要包括高阶无穷小、低阶无穷
小、同阶无穷小以及等价无穷小等定义。运用等价无穷小替换，可以大大简化极限的计算。 -
●1.8函数的连续性与间断点
本节主要学习函数连续的概念，间断点及其分类。
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●1.9连续函数的运算与初等函数的连续性
本节主要介绍连续函数的四则运算性质、反函数与复合函数的连续性。知道基本初等
函数在其定义域内是连续的，初等函数在其定义区间内是连续的。 -
●1.10闭区间上连续函数的性质
闭区间上连续的函数有几条重要性质：闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能
取得它的最大值和最小值，一定满足零点定理和介值定理。提醒读者注意，“闭区间”和“连
续”的条件缺一不可，否则可能导致结论错误。
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第二章导数与微分
微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分。本章主要讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法。
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●2.1导数概念
本节从瞬时速度和切线问题出发，引入了导数的概念。导数也称变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。要求读者了解导数的几何意义及函数可导性与连续性之间的关系，能用导数描述一些物理量、几何量等。
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●2.2函数的求导法则
本节介绍求导数的几个基本法则：函数和、差、积、商的求导法则，反函数的求导法则以及复合函数的求导法则。借助于这些法则和基本初等函数的求导公式，就能比较方便地求出常见的初等函数的导数。
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●2.3高阶导数
本节介绍高阶导数的定义及求法。要求读者掌握常见函数的高阶导数公式、两个函数乘积的莱布尼兹求导公式。
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●2.4隐函数及由参数方程所确定的导数 相关变化率
由二元方程所确定的函数，称为隐函数，隐函数是表示函数关系的有力工具。同样，参数方程也是表达函数关系的重要方法。本节首先介绍隐函数求导的方法。然后借助于反函数与复合函数的求导法则，推出了由参数方程所确定的函数的求导公式。要求读者熟练掌握隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的求法。
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●2.5函数的微分
本节学习微分的概念，讨论可微与可导之间的关系。从几何的角度来看，微分就是切线纵坐标的增量，请读者体会“以直代曲”的思想。对应求导公式与求导法则，微分也有相应的微分公式与微分法则。提醒同学们注意一阶微分形式的不变性，掌握利用微分进行近似计算的方法。
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第三章微分中值定理与导数的应用
本章以微分中值定理作为理论基础，应用导数研究函数以及曲线的某些形态。导数还是解决许多实际问题的有力工具，例如最大值最小值问题。
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●3.1微分中值定理
微分中值定理在微积分理论中占有重要地位，它提供了导数应用的基本理论依据。本节先讲罗尔定理，然后根据它推出拉格朗日中值定理和柯西中值定理。由拉格朗日中值定理得出的有限增量公式，是函数增量的准确表达式。利用微分中值定理可以证明某些不等式与等式，还可以判定方程根的存在范围。
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●3.2洛必达法则
本节根据柯西中值定理推出求未定式极限的一种重要方法，称为洛必达法则。这种方法是将函数之比的极限转化为它们导数之比的极限来处理，但要注意验证是否满足洛必达法则的条件。如果能将洛必达法则与其它求极限的方法结合使用，常能简化计算。
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●3.3泰勒公式
本节介绍泰勒中值定理以及将函数展开成泰勒公式的方法。泰勒公式是多项式逼近的重要工具。请同学们牢记几个初等函数的麦克劳林展开式，它们不仅是泰勒展开的基础，而且对未来学习幂级数大有帮助。
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●3.4函数的单调性与曲线的凹凸性
由微分中值定理，很容易推出函数单调性与曲线凹凸性的判定定理。这里利用一阶导数判定函数的单调性，利用二阶导数判定曲线的凹凸性。
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●3.5函数的极值与最大值最小值
费马引理告诉我们，可导函数的极值点一定是驻点，但反过来不一定成立。本节给出了极值的第一充分条件和第二充分条件，介绍了求极值的方法。另外，要求读者掌握求实际问题最大（小）值的方法。
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●3.6函数图形的描绘
本节主要学习微分作图的方法与步骤。
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●3.7曲率
曲线的凹凸性描述了曲线弯曲的方向，而曲率则是定量研究曲线弯曲程度的工具。本节给出了曲率定义及曲率计算公式，讨论了曲率圆与曲率半径的求法。
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●3.8方程的近似解
许多数学问题及实际问题都涉及求方程的根，但求方程根的精确值往往比较困难。因此常考虑求方程的近似根。本节介绍了二分法、切线法与割线法等三种求近似解的方法。借助于简单的计算机程序，就可以求出足够精确的近似解。
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第四章不定积分
如何寻求一个可导函数，使它的导函数等于已知函数。这是求导的逆运算，也是积分学的基本问题之一。本章介绍原函数与不定积分的概念，讨论不定积分的计算方法。
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●4.1不定积分的概念与性质
本节学习原函数与不定积分的概念，运用基本积分公式和不定积分的性质，可以求一些简单函数的不定积分。要求读者知道原函数存在定理，掌握同一函数的原函数仅差一个常数这一事实。
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●4.2换元积分法
本节介绍计算不定积分的最基本也是最重要的方法：换元积分法。换元积分法的基本思想是：利用变量代换，使得被积函数表达式变形为基本积分表中所列积分的形式，从而计算不定积分。换元积分法主要包括第一类换元法和第二类换元法。
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●4.3分部积分法
前一节在复合函数求导法则的基础上，得到了换元积分法。本节利用两个函数乘积的求导法则，得到了分部积分法。
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●4.4有理函数的积分
有理函数又称分式。本节学习有理函数的积分以及可化为有理函数的积分。
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●4.5积分表的使用
本节学习查表求不定积分的方法。
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第五章定积分
本章讨论积分学的另一个基本问题—定积分问题。首先从几何与力学问题出发引入定积分的概念，然后讨论它的性质与计算方法。联系定积分与不定积分的桥梁当属牛顿—莱布尼茨公式，该公式也是计算定积分的最重要基础。
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●5.1定积分的概念与性质
本节首先通过曲边梯形的面积与变速直线运动的路程，引入了定积分的概念，定积分本质上就是一个和式的极限。然后讨论了可积条件与定积分的性质，还介绍了定积分的几何意义与近似计算方法。
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●5.2微积分基本公式
定积分的计算是微积分学的核心问题，受到变速直线运动的路程与速度函数之间关系的启发，定积分能否通过原函数也就是不定积分来表达？这是本节需要解决的基本问题。首先通过构造积分上限的函数，论证原函数的存在性，以此为基础，证明了微积分基本定理，也就是牛顿—莱布尼茨公式，彻底解决了定积分的计算问题。
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●5.3定积分的换元法和分部积分法
本节介绍求定积分的主要方法：定积分的换元法，定积分的分部积分法。提醒同学们注意，使用换元法求定积分时，换元一定要换积分限。
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●5.4反常积分
在一些实际问题中，常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分，它们已经不是正常的定积分了。这两类积分就是本节要学习的反常积分。本节主要介绍无穷限的反常积分与无界函数的反常积分的收敛与发散概念，要求会利用定义判断一些简单反常积分的收敛性。
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第六章定积分的应用
本章应用定积分理论来分析和解决一些几何、物理量的计算问题，解决问题的主要方法是元素法。要求会用元素法求平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和平行截面面积为已知的立体体积，会用元素法求变力沿直线所作的功、水压力、引力。
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●6.1定积分的元素法
在定积分的应用中，经常采用所谓元素法。本节介绍元素法适用的条件和应用元素法解决问题的基本步骤。
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●6.2定积分在几何学上的应用
本节介绍元素法在几何学上的应用，主要学习平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、平面曲线的弧长等几何量的求法。
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●6.3定积分在物理学上的应用
本节介绍元素法在物理学上的应用，主要学习变力沿直线所作的功、水压力、引力等物理量的求法。
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第七章微分方程
在许多实际问题中，往往不能直接找到函数关系，但根据问题的条件可以列出含有未知函数及其导数的关系式，这样的关系式就是微分方程。本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法。
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●7.1微分方程的基本概念
本节通过几何、力学及物理学中的几个具体问题，给出了微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。
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●7.2可分离变量的微分方程
本节学习可分离变量的微分方程的解法，讨论运用微分方程解决实际问题的方法。
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●7.3齐次方程
本节介绍齐次方程以及可化为齐次的微分方程的解法，要求会用简单的变量代换求解某些微分方程。
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●7.4一阶线性微分方程
本节介绍一阶线性微分方程、伯努利方程的解法，要求掌握常数变易法。
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●7.5可降价的高阶微分方程
本节讨论二阶及二阶以上的微分方程，即所谓高阶微分方程。对于有些高阶微分方程，我们可以通过代换将它化为较低阶的方程来求解。这里主要介绍三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法。
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●7.6高阶线性微分方程
本节由弹簧振子的振动问题引入高阶线性微分方程的概念，介绍了线性微分方程解的性质及解的结构，给出了叠加原理。
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●7.7常系数齐次线性微分方程
学习二阶常系数齐次线性微分方程、高阶常系数齐次线性微分方程的解法。
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●7.8常系数非齐次线性微分方程
讨论自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。
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●7.9欧拉方程
欧拉方程是一种变系数的线性微分方程，本节通过变量代换将其化为常系数的线性微分方程来求解。