第一章向量代数与空间解析几何

借助于空间直角坐标系，将空间的点与有序数组对应起来，将空间图形与方程对应起来，从而可以利用代数的方法来研究几何问题。正像平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可或缺的一样，空间解析几何也是学习多元函数微积分的重要基础。本章先引进向量的概念，根据向量的线性运算建立空间坐标系，然后利用坐标讨论向量的运算，并介绍空间解析几何的有关内容。

●1.1向量及其线性运算

向量是既有大小又有方向的量，有别于数量的运算，向量之间的运算要复杂的多。本节主要介绍向量的概念及线性运算，通过引入空间直角坐标系，建立了空间点、向量与三维有序数组之间的一一对应关系。要求掌握向量的加法、减法和数乘运算，会用坐标来刻画向量的模、方向角和投影。

●1.2数量积 向量积 *混合积

本节主要介绍向量的乘法。若规定两个向量的乘积为一个数值，则称之为数量积；若规定两个向量的乘积为一个向量，则称之为向量积。若两个向量先作向量积，然后再与第三个向量作数量积，即为混合积。

●1.3平面及其方程

在空间解析几何中，任何曲面都可看作点的几何轨迹，点的坐标所满足的三元方程即为曲面的方程。本节主要介绍一类特殊的曲面即平面。要求熟练掌握平面的各种方程、平面之间的位置关系以及点到平面的距离公式。

●1.4空间直线及其方程

空间直线可以看做是两个平面的交线，由此可得直线的一般方程。过空间一点可作而
且只能作一条直线与已知非零向量平行，由此可得直线的对称式方程以及参数方程。本节要求熟练掌握直线的各种方程、两条直线的夹角、直线与平面的夹角等内容。同时掌握平面束
的有关知识。

●1.5曲面及其方程

在空间解析几何中，关于曲面的研究主要有两个基本问题：已知曲面作为点的几何轨迹，
建立这曲面的方程；已知方程，研究方程所表示曲面的形状。本节主要研究旋转曲面、柱面以及二次曲面。要求熟练掌握一些简单的曲面及其方程，这些知识对后续多元函数微积分的学习具有重要作用。

●1.6空间曲线的方程

空间曲线可以看做两个曲面的交线，由此得空间曲线的一般方程。借助于参数方程，也可以描述空间曲线。除了空间曲线的方程，本节还要求掌握空间曲线、空间曲面以及空间
立体在坐标面上的投影。

第二章多元函数微分法及其应用

本章将在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数微分法及其应用。讨论中我们以二元函数为主，因为从一元函数到二元函数会产生新的问题，而从二元函数到二元以上的函数则可以类推。。

●2.1多元函数的基本概念

本节从平面点集入手，引入了二元函数的概念，然后将其推广到一般的多元函数。多元函数的本质仍然是映射，只不过其定义域是高维空间的点集而已。除了多元函数的概念，本节还介绍了多元函数的极限和连续等重要内容。提醒读者注意，所谓函数在某点的二重极限存在，是指当定义域内的动点沿任意方式趋于该点时，函数值都无限接近于同一个确定的常数。否则，二重极限不存在。

●2.2偏导数

本节介绍偏导数的概念及其求法。多元函数的自变量不止一个，如果只将其中一个作为自变量，而将其余自变量看作常量，那么多元函数关于该自变量的变化率，就是所谓偏导数。偏导数的计算不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，其余的自变量看作固定的，所以仍旧是一元函数微分法问题。关于高阶混合偏导数，提醒大家关注求导与次序无关的条件。

●2.3全微分

本节介绍可微与全微分的概念、可微的条件以及全微分在近似计算中的应用。我们知道，一元函数在某点可导与可微是等价的。但对于多元函数来说，情况就不同了。若多元函数在某点可微，则在该点一定可偏导。反之不成立。但若偏导函数存在且连续，则一定可微。多元函数的全微分满足叠加原理，即全微分等于偏微分之和，要求读者熟练掌握全微分的计算方法。

●2.4多元复合函数的求导法则

本节将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形。要求读者熟练掌握多元函数的一阶、二阶偏导数的求法，理解一阶全微分形式的不变性。掌握多元复合函数求导法则的关键是搞清函数的复合结构，画出变量间的关系图。

●2.5隐函数的求导法

由方程或方程组所确定的函数，称为隐函数。本节学习隐函数存在定理，讨论隐函数求导的方法。隐函数求导主要有三种方法：一是利用隐函数求导公式；二是对所给方程（组）两端求导，再解出所求的导数或偏导数；三是利用一阶全微分形式的不变性。

●2.6多元函数微分学的几何应用

本节先介绍一元向量值函数及其导数，再讨论多元函数微分学的几何应用。要求读者熟练掌握向量值函数的导数及其几何意义，学会空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法。

●2.7方向导数

偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率，而方向导数则讨论函数沿任一指定方向的变化率问题。梯度是一个矢量，沿梯度方向，方向导数最大。本节要求同学们熟练掌握方向导数的定义、存在条件和计算方法，掌握梯度与方向导数之间的关系。

●2.8多元函数的极值

与一元函数类似，多元函数的极值也是一个局部概念，而最大值、最小值是整体概念。本节主要解决三个问题：第一，二元函数取得极值的条件、极值的求法；第二，二元函数最大值、最小值的计算；第三，条件极值问题。要求同学们学会利用极值的充分条件进行极值的判定，熟练掌握关于实际问题最优值的求解方法，掌握求条件极值的拉格朗日乘数法。

第三章重积分及其应用

本章和下一章是多元函数积分学的内容。我们知道，一元函数的定积分是某种确定形式的和式的极限。这种和式的极限推广到定义在区域、曲线以及曲面上的多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分以及曲面积分。本章介绍重积分的概念、计算方法以及它们的一些应用。

●3.1二重积分的概念与性质

本节从曲顶柱体的体积、平面薄片的质量等具体问题入手，引入二重积分的概念，然后讨论二重积分的性质。理解重积分的概念，要注意与定积分进行对比，了解它们的共同本质（积分和的极限）以及相异特征（积分变量的个数不同、积分域不同）。二重积分的概念与性质是整个多元函数积分学的基础，需要读者深刻领会和熟练掌握。

●3.2二重积分计算法

计算二重积分的基本方法是化为两次单积分，即两次定积分。本节主要介绍直角坐标系和极坐标系下二重积分的计算方法。当然，选取恰当的坐标系、合理的积分次序、准确的定限，都是计算二重积分所必需的。对有些特殊的二重积分，如果能使用积分的对称性，常能简化计算。

●3.3三重积分

计算三重积分的基本方法是化为三次定积分。本节主要介绍直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下三重积分的计算方法。三重积分没有几何意义，但可以借助于物理背景（空间物体的质量）来理解。

●3.4重积分的应用

本节介绍重积分在几何、物理等方面的一些应用。这些应用主要包括曲面的面积，物体的质心、转动惯量以及引力等。提醒读者注意，这里使用的基本方法是重积分的元素法。元素法在积分学中居于核心地位，是解决许多实际问题的有力工具，希望大家能够熟练掌握。

第四章曲线积分与曲面积分

上一章已经把积分概念从积分范围为数轴上的区间推广到积分范围为平面或空间闭区域的情形。本章继续把积分概念推广到积分范围为曲线弧或空间曲面的情形，这就是所谓的曲线积分与曲面积分。

●4.1对弧长的曲线积分

本节从曲线形构件的质量入手，引入对弧长的曲线积分的概念，然后讨论对弧长的曲线积分的性质与计算方法。对弧长的曲线积分，本质仍然是某种特定形式和式的极限。计算对弧长的曲线积分的基本思路是化为定积分求解，其中弧长的微元是解决问题的关键。本节还要求读者能够运用对弧长的曲线积分求解诸如物质曲线的质量、质心、转动惯量等问题。

●4.2对坐标的曲线积分

本节由变力沿曲线所作的功，引入对坐标的曲线积分的概念，然后讨论对坐标的曲线积分的性质与计算方法。计算对坐标的曲线积分，仍然是化为定积分来求解。必须强调的是，改变积分弧段的方向，积分值要变号。两类曲线积分既有区别又有联系，需要读者多加关注。

●4.3 格林公式

作为牛顿—莱布尼茨公式的推广，格林公式表达的是平面闭区域上的二重积分与区域边界线上的曲线积分之间的联系。本节首先介绍格林公式，然后利用格林公式证明积分与路径无关的条件，最后讨论二元函数的全微分求积问题。格林公式是求解封闭曲线上积分问题的重要方法，要求熟练掌握。

●4.4对面积的曲面积分

与第一类曲线积分类似，由曲面形构件的质量可以引入对面积的曲面积分。对面积的曲面积分的计算方法是化为二重积分来求解。本节还要求读者能够运用对面积的曲面积分求解诸如物质曲面的质心、转动惯量等问题。

●4.5 对坐标的曲面积分

本节由流量问题引入对坐标的曲面积分的概念，然后讨论对坐标的曲面积分的性质与计算方法。计算对坐标的曲面积分，仍然是化为二重积分来求解。必须强调的是，改变积分曲面的侧，积分值要变号。利用有向曲面元的投影，可以实现两类曲面积分之间的转化。

●4.6 高斯公式

格林公式表达的是平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。高斯公式是计算闭曲面上的曲面积分的重要工具，但要注意验证公式的条件是否满足。另外，需要读者注意场论中通量与散度等概念。

●4.7 斯托克斯公式

斯托克斯公式是格林公式的推广，它把曲面上的曲面积分与沿着曲面边界曲线的曲线积分联系起来。格林公式、高斯公式以及斯托克斯公式是多元函数积分学中三个重要公式，在许多方面具有重要应用，要求读者必须熟练掌握。本节还介绍了场论中环流量与旋度等概念。

第五章无穷级数

无穷级数是函数逼近论的重要内容，是微积分学的重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的重要工具。本章先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，着重讨论幂级数与傅里叶级数。

●5.1常数项级数的概念和性质

无穷多个数相加是否有意义？这是数学的基本问题。本节首先通过部分和数列是否存在极限定义了级数的收敛与发散概念，然后讨论了收敛级数的基本性质。提醒读者注意，通项收敛于零仅是级数收敛的必要条件，而绝非充分条件。等比级数、调和级数都是最常用的级数。

●5.2常数项级数的审敛法

如何判定级数的收敛与发散？这是研究级数的核心问题。对于正项级数，给出了比较判别法、比值判别法以及根值判别法；对于交错级数，给出了莱布尼茨判别法；对于任意项级数，讨论了绝对收敛与条件收敛问题。P-级数是又一类常用级数，需要熟知其收敛性。

●5.3幂级数

若级数的通项为函数，则得到函数项级数。收敛域与和函数是刻画函数项级数的两个基本概念。若通项为幂函数，这样的函数项级数就是幂级数。本节重点讨论幂级数的收敛性、幂级数的运算与分析性质。要求读者熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法，会利用逐项求导、逐项积分等技巧，求一些简单幂级数的和函数。提醒读者注意，幂级数最重要的理论基础是阿贝尔收敛定理。

●5.4函数展开成幂级数

与求和函数相反的问题是如何把函数展开成幂级数。若已知函数具有任意阶的导数，则该函数能够展开成泰勒级数的充要条件是泰勒公式中的余项收敛于零。幂级数的展开有两种方法，直接展开法与间接展开法。请同学们牢记几个初等函数的麦克劳林展开式，并熟练运用代换、逐项求导、逐项积分等技巧，这对幂级数展开一定大有裨益。

●5.5 函数的幂级数展开式的应用

有了幂级数展开式，就可以用它来近似计算函数值。对于某些没有初等形式的原函数的积分问题，首先将被积函数展成幂级数，然后在积分区间上逐项积分，就可以求出定积分的近似值。利用幂级数还可以求微分方程的解，并且利用复指数函数的展开式，很容易得出欧拉公式。

●5.6傅里叶级数

若级数的通项为三角函数，这样的函数项级数就是三角级数。若已知周期函数满足狄利克雷充分条件，则对应的傅里叶级数一定收敛。将周期函数展开成傅里叶级数，当然是本节的重点。若某些函数不具备周期性，则可以采用周期延拓等措施进行处理。如果函数具备奇偶性，还可以展成正余弦级数。

●5.7一般周期函数的Fourier级数

本节介绍一般周期函数的傅里叶级数收敛定理及展开方法。利用函数的傅里叶展开式，有时可以得到一些特殊级数的和。提醒读者注意，写出函数傅里叶级数展开式的同时一定要指明自变量的取值范围。