第一章多项式

第一章 多项式
（1）、掌握数域F上一元多项式的概念、运算及多项式和与积的次数；（2）、正确理解多项式的整除概念和性质、掌握带余除法；（3）、掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质；（4）、理解不可约多项式的概念，掌握多项式唯一因式分解定理；（5）、掌握多项式函数及多项式根的概念，重根的重数判断以及求法；（6）、掌握实数域上多项式因式分解定理；（7）、掌握有理系数多项式的有理根的求法，理解本原多项式的性质及定义。

●1.1数域

1.1.1高等代数简介
本节主要介绍高等代数的主要内容、特点、地位，以及学习高等代数的方法。此外还介绍了我们这门可视化高等代数课程的特点：可视化、具体化、形象化。
1.1.2 数域
首先通过丰富的数学史材料，再现了人类这么多年以来认识数的历史。从有理数、实数、复数抽象出数域的定义，验证了一个很经典的数集就是数域。

●1.2一元多项式的定义及运算

1.2.1 一元多项式的定义及运算
本节课介绍了多项式的定义，通过非常多的例子让大家认识什么是多项式。此外作为初中的一种推广，学习了多项式的加法、减法、乘法，以及加减法、乘法之后的次数公式。

●1.3带余除法及整除

1.3.1 带余除法及整除
通过回顾小学的带余除数法，很自然的推广到两个多项式也可以类似的做。通过观察4个例子，找出共性，很自然的得到带余除法定理。仍然通过两个多项式做带余除法的启发，我们很容易给出带余除法定理证明的思路。有了带余除法定理，自然的可以给出整除的定义以及整除的一些性质。

●1.4最大公因式

1.4.1 最大公因式
通过回顾小学最大公因式的求法和性质，很自然的给出这节课的两个要点：最大公因式存在吗？若存在，可以写成多项式组合的形式吗？通过观察例子，自然给出最大公因式的定义以及性质，根据一个引理给出最大公因式的求法，并且如何写成多项式组合的形式。

●1.5因式分解定理

1.5.1 不可约多项式
通过第一次数学危机，通过物理、化学、数学中的分解，启发学生思考多项式如何分解？通过整数中素数的定义，通过解方程中的因式分解，启发学生思考，启发学生自己给出不可约多项式的定义。然后通过观察一系列例子，让学生观察发现多项式的性质，然后一起来证明所发现的性质。

●1.6多项式函数

1.6.1 多项式函数上
通过欣赏一系列优美的正多边形，讲高斯正十七边形的故事，吸引学生。然后给出多项式函数的定义。根据一系列例子，观察得出一次因式与根的关系，重根与重因式的关系，以及多项式与其微商的重根有何关系。

1.6.2 多项式函数下
本节课通过观察例子，得到了重根重数的判定方法，以及找重根的方法。最后讲述了高斯如何用尺规做正十边形的故事。高斯完成这个伟大发现的时候才19岁。少年强青年强则中国强。

●1.7复系数与实系数多项式的因式分解

1.7.1 实数域上不可约多项式上
通过现实世界中的一些分解现象，启发同学思考实数域上多项式实数域上多项式能怎样分解？通过数形结合，启发大家自己找出所有的一次、二次实数域上不可约多项式。然后讲述虚数的相关历史故事。
1.7.2 实数域上不可约多项式下
利用数形结合以及数学分析结果，很容易解决实数域上奇数次多项式都是可约的。研究4次的时候遇到了困难，我们回到最简单的偶数次2次，仔细观察分析，发现复根成对出现。有了这个发现，就很容易解决偶数次实数域上多项式的可约问题了。

●1.8有理系数多项式

1.8.1 有理系数多项式
首先根据一个简单的问题：一个整系数三次方程在有理数域上是否有根？激发兴趣。然后通过观察例子，分析共性，自然给出本原多项式的定义以及性质，给出了整系数多项式有理根的范围。

●1.9多项式复习

1.9.1 多项式复习
首先回顾本章最重要的六块知识点：①整除 ②最大公因式 ③互素 ④不可约 ⑤因式分解 ⑥根理论，哪些不因数域扩大而改变？哪些会因数域扩大而改变。解决这个问题之后，用两种观点审视解决同一道题，大家会发现高代中对同一个东西的看法很重要。不同的看法有不同的解决方法。

第二章行列式

第二章：行列式
行列式起源于求解线性方程组，在17世纪末就有行列式的概念，19世纪德国数学家Gauss等建立了行列式的系统理论。由于行列式在理论推导中的主要作用，行列式的理论早已越出求解线性方程组的范围而广泛应用于力学、工程数学及其他科学领域。
本章主要内容有：n阶行列式的定义；n阶行列式的性质；行列式依行（列）展开；行列式的计算；Cramer法则。

●2.1 n级行列式

2.1.1 n级行列式的定义上
首先介绍一个数学史上的有名的问题：欧拉提出的一个问题作为引入。根据解二元一次方程组和三元一次方程组的公式，仔细观察总结，很自然的给出了行列式的定义。然后用行列式定义去计算几个特殊行列式的值。
2.1.2 n级行列式的定义下
本节课继续用行列式定义计算一个行列式的值，然后引导学生思考：用定义去计算行列式，计算量太大。接下来，我们的重心放在行列式定义的几何意义上面，通过具体形象的几何例子来解释行列式的几何意义，让大家去体会行列式背后的数学本质。最后用行列式相关知识给出了欧拉问题的解答。

●2.2n级行列式的计算

2.2.1 n级行列式的计算
先给出一个实际问题：用定义去求一个5级行列式，计算量很大。接下来讲一下数值计算的注解，让大家知道算法在计算数学、在人工智能很关键。然后介绍行列式的几条性质，然后通过几个例题来巩固这些性质。

●2.3行列式按一行（列）展开

2.3.1 行列式按一行（列）展开
通过复习解析几何中计算三级行列式的一个方法，仔细观察，找出共性，可以很自然的得到余子式、代数余子式的定义，通过几个例子的训练让大家能熟练找出余子式、代数余子式。最后给出行列式按一行（列）展开的定理，顺理成章的利用定理计算几个行列式的值。

●2.4克拉默法则

2.4.1 克拉默法则
从最简单的一元二次方程组的根式解出发，自然的看看线性方程组是否可能有类似的用系数表示解。通过用高代语言重新审视初中某些二元一次方程组的求根公式，自然得到克拉默法则。进一步，通过几个例题给出克拉默法则的应用。最后讲一下伽罗瓦的故事：大于等于5次代数方程什么时候会有根式解，让大家体会一下什么是好的数学。

第三章线性方程组

第三章 线性方程组
线性方程组理论是线性代数的重要基础，由于研究它需要建立向量和矩阵的概念，它们与行列式一样，也是研究线性代数其他部分的重要工具。本章主要内容有：线性方程组的矩阵解法；n维向量空间；线性相关性；矩阵的秩；线性方程组有解的判别定理；线性方程组解的结构。

●3.1高斯消元法

3.1.1 高斯消元法
首先讲一点数学史故事，介绍一下数学王子高斯，以及高斯消元法这种解线性方程组的消元法最早出现在中国古代数学著作《九章算术》中。通过一系列例子观察，发现方程组通过初等变换都可以化成三种形式。最后通过几种特殊情形的讨论，这几种情形都有很好的几何背景，我们得到对于方程组非常重要的定理一。

●3.2n维向量空间

3.2.1 n维向量空间上
人类的发展是就是在不断地认识世界，通过有趣的图片以及著名科学家的故事，让大家感受到认识复杂的世界需要数学工具。然后介绍伟大数学家笛卡尔的天才发明，很自然的给出了n维向量的定义。

3.2.2 n维向量空间下
通过分析解线性方程组的过程，我们发现了n维向量的两种很有意思的运算。然后回顾中学的例子，看看这些运算有哪些性质。自然的，就得到了n维向量空间的定义。最后，讲了一些n维向量空间的定义的应用，比如生活、哲学、医学等领域很有意思的应用。这一节让我们突破了维数的限制，拆掉了思维的墙。要求我们解放思想，开拓创新。

●3.3线性相关性

3.3.1 线性相关性上
通过一小段有趣的电影，里面中有人脸识别的桥段，作为引入。然后通过大量形象的几何例子分析，很自然的给出了线性相关的定义，最后通过几个例题来巩固这个定义。

3.3.2 线性相关性下
用定义去判断线性相关性不容易，在此节我们给出了线性相关的一个等价定义，自然的也给出了线性无关的定义。接下来思考平面向量、立体向量之间的线性相关与线性无关背后的几何现象是什么。最后解释线性相关性在人脸识别中的应用。
3.3.3 极大线性无关组的定义及性质上
通过有趣的生活中去繁就简的例子，引导大家思考：一些向量组能否由尽可能少的向量组线性表示？然后玩一个游戏：在3个向量中找尽可能少的线性无关的向量。通过游戏，很自然的能给出极大线性相关组的定义。最后通过两个几何例子巩固定义。

3.3.4 极大线性无关组的定义及性质下
首先欣赏一个很有趣的例子：生活中的极大线性方程组，就是牛顿分解白光的例子。然后通过观察几个例子，分析共性，提出猜想，最后一起证明猜想，就得到了极大线性无关组的几个重要性质。

●3.4矩阵的秩

3.4.1 矩阵的秩
首先举一个很有意思的应用：图像去噪。通过观察例子，找出共性，得到关于矩阵秩的定义、定理以及两种计算方法。最后讲了矩阵秩在图像去噪中的应用。

●3.5线性方程组有解判别定理

3.4.1 矩阵的秩
首先举一个很有意思的应用：图像去噪。通过观察例子，找出共性，得到关于矩阵秩的定义、定理以及两种计算方法。最后讲了矩阵秩在图像去噪中的应用。

●3.6线性方程组解的结构

3.6.1 基础解系
首先看一个城市交通流量的问题作为引入。然后通过两个齐次线性方程组的具体求解过程，观察解集，很自然可以观察得到极大线性无关组的定义。然后受此启发，我们完全类似的构造出一般的齐次线性方程组的基础解系。这个证明过程完全不同于教材，一个好处是大家在证明过程中可以很清晰的看见基础解系。

3.6.2 非齐次线性方程组解的结构
首先看一个很有意思的问题：怎么吃更加健康。通过一个很具体的二元一次方程组例子，让大家通过这个例子感受一下今天的主要学习内容以及主要结果。受此例子的启发，我们可以很自然的推广到一般的非齐次线性方程组解的结构。最后利用今天所学解决怎么吃更加健康这个问题。

第四章矩阵

第四章 矩阵
从上一章已经看到矩阵在解决线性方程组中的重要作用，实际上，矩阵的理论和方法在数学各分支以及其他学科领域也有广泛的应用，因此矩阵是线性代数一个主要的研究对象。本章主要介绍矩阵的运算及基本性质，本章主要内容有：矩阵的概念与运算；矩阵的逆；初等矩阵；矩阵的分块；分块矩阵的应用。

●4.1矩阵的运算

4.1.1 矩阵的运算上
首先看一个很酷炫的应用：虚拟现实中的分子模型，作为引入。通过回顾小学学过的数的加减乘除，看看矩阵能否类似的去做。矩阵加法减法很自然，然后通过现实生活中的例子，以及数学例子，让大家看出矩阵乘法应该是什么样子。水到渠成的，给出矩阵乘法的定义。

4.1.2 矩阵的运算下
首先通过两个计算题巩固一下矩阵的乘法。然后讲一个我国著名数学家华罗庚的故事，他被尊称为“矩阵的魔鬼”。通过类比实数乘法的一些性质，提出关于矩阵乘法的若干猜想，然后通过寻找反例，来一一否定这些猜想，得到矩阵乘法的几条重要性质。最后解释了矩阵乘法的一个应用：计算机图形学，而计算机图形学的一个最新应用就是虚拟现实中的分子模型。

●4.2矩阵的逆

4.2.1 矩阵的逆上
首先介绍：我们进入了网络通信时代，信息安全非常重要，那么自然的密码很重要。如何进行加密解密呢？以这个作为引入。然后类比有理数乘法的一些性质，自然的给出矩阵可逆的定义。然后通过观察一系列可逆矩阵、不可逆矩阵的例子，发现矩阵是否可逆与行列式是否非零有密切关系。

4.2.2 矩阵的逆下
我们在寻找某些矩阵的逆矩阵的时候，把结论减弱。我们通过一些例子，发现一个方阵乘以一个特殊的矩阵会变成数量矩阵，自然的我们就把这个特殊的矩阵叫为伴随矩阵。有了这个突破，就很自然给出了方阵可逆的判定定理了，并且可以用这个判定定理求逆矩阵了。最后利用逆矩阵相关知识给出一种加密解密方式。

●4.3矩阵的分块

4.3.1 矩阵的分块上
首先拿出一个很有吸引力的问题：我们国家引以为自豪的歼20飞机如何设计的？这实际上与矩阵分块有关系。然后类比于生活中的切豆腐，我们也可以给矩阵切块。自然的给出分块矩阵的定义、加法、乘法，通过例题巩固分块矩阵的乘法。

4.3.2 矩阵的分块下
本节课一开始先介绍分块矩阵与歼20飞机如何设计的关系，其关键是一个典型的计算流体动力学的方程组会有“稀疏”的系数矩阵，上面有许多零元素，将变量正确地分组会产生有许多零方块的分块矩阵。接下来介绍常见的分块，特别是常见的分块在证明题中的作用。

●4.4初等矩阵

4.4.1 初等矩阵 上
在之前，我们学过伴随矩阵求某些可逆矩阵的方法，但是计算量太大，有没有更好的方法呢？通过把一个矩阵经过初等变换变成一个只包含0与1的很简单的矩阵，然后每一个初等变换我们可以通过一些非常特殊矩阵的乘法来实现。通过观察这些特殊矩阵，自然给出初等矩阵的定义。最后强调左乘或者右乘一个初等矩阵会达到什么样的效果。

4.4.2 初等矩阵 下
首先通过一系列例子强化初等变换和初等矩阵的对应关系，让大家滚瓜烂熟。通过例子发现初等变换可以把矩阵变为最简形式，就是矩阵的标准形。而可逆矩阵的标准形恰好是单位矩阵，就是说可逆矩阵可以写成一系列初等矩阵的乘积，换句话说可以通过一些列初等行变换把可逆矩阵变成单位矩阵，自然的就把单位矩阵变成了逆矩阵。这个方法来求逆矩阵简单快捷。

●4.5分块乘法的初等变换及应用举例

4.5.1 分块乘法的初等变换
首先看看计算机电路板和集成电路芯片的图片，这与分块乘法的初等变换有什么关系呢？我们先回顾初等矩阵的定义以及效果，类似的定义分块初等矩阵，并且乘法有类似的效果。我们的目标是化成分块上三角或者分块下三角。然后我们讲解两道证明题来巩固。最后讲一下计算机电路板和集成电路芯片与分块矩阵的关系。

第五章二次型

第五章 二次型
二次型的理论起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的分类。用矩阵方法来研究n元二次齐次多项式是中学数学有关知识的深入和提高，也是线性代数的一个主要研究对象。本章主要介绍化二次型为标准形和正定二次型的判别。本章主要内容有：二次型的矩阵表示；化二次型为标准形；正定二次型。

●5.1二次型及其矩阵表示

5.1.1 二次型及其矩阵表示上
首先通过回顾二次曲线分类的主要思路，自然的引出二次型的概念。通过观察二次型，发现可以得到一个对称矩阵，最后通过一些例子来巩固如何通过二次型来得到一个对称矩阵。
5.1.2 二次型及其矩阵表示下
首先我们先来看看怎么从一个对称矩阵去得到一个二次型。发现二次型和对称矩阵互相唯一决定。然后我们用矩阵语言重新来看我们初中所学的配方，发现一个二次型经过非退化线性替换，得到一个新的二次型，自然的得到矩阵合同的定义。

●5.2标准形

5.2.1 二次型的标准形上
通过一个有意思的问题：如何判断一个二次曲线的形状？作为引入。在上一节课，我们学习了：一个二次型经过非退化线性替换，得到一个新的二次型。那么自然的，什么样的二次型是我们的目的呢？仍然通过观察二次曲线的例子，发现平方项起决定作用，那么自然的我们喜欢只含平方项的二次型。最后通过几个例子，说明怎么配方把一个二次型化到标准形。

5.2.2 二次型的标准形下
这节课主要讨论一个问题：一个二次型经过非退化线性替换，得到一个新的二次型，那么两个二次型的取值有什么关系。通过特例分析，发现两个二次型相应的取值后，得到的二次型的值相等，然后对一般的情形证明了这一结果。我们知道，二次型的标准形取值是非常简单的，这在很大程度上决定了：搞清楚标准形，就搞清楚了二次型。

●5.3正定二次型

5.3.1 正定二次型上
首先看一个很有意思的故事：2006年谷歌公司和斯坦福大学做了一个很有意思的研究，多少台电脑可以识别一只猫？那么这个与我们今天的课有什么关系呢？然后回顾二次曲面分类，高斯在1801年提出了正定型的概念。那么如何判断一个二次型是否正定呢？首先我们很容易确定一个二次型的标准形什么时候正定。那么关键的，二次型的正定性与二次型标准型的正定性有什么关系呢？通过特例分析，通过验证，我们发现它们之间是充分必要的关系。

5.3.2 正定二次型下
利用上节课的定理，我们很容易得到二次型正定型的判定定理。利用这个定理，我们可以对二次型进行分类。然后详细介绍了分类思想。最后大致介绍了正定性与多少台电脑可以识别一只猫的关系。

●5.4 二次型复习

5.4.1 二次型复习
这节课我们对三种最典型的二次型做一个梳理和总结：正定二次型，半正定二次型，不定二次型，把它们的标准形和规范形都搞清楚。作为应用，我们证明一道很经典的二次型证明题，最后我们借用数分的思路和方法给出另外一种很漂亮的证法。数分高代是一家。

第六章线性空间

第六章 线性空间
本章是线性代数的重要内容。它在自然科学和工程技术的许多领域有着较为广泛的的应用。线性空间的概念具体展示了代数的高度抽象性和应用的广泛性。初学者感到困难，不习惯从概念出发进行推理。本章涉及的概念多，要在理解的基础上搞清楚概念间的联系。本章主要内容有：线性空间的定义；维数、基与坐标；基变换与坐标变换；线性子空间；子空间的交与和；子空间的直和；线性空间的同构。

●6.1线性空间的定义与简单性质

6.1.1 线性空间的定义上
首先通过一个很有意思的魔方：丢勒魔方，自然的吸引大家的兴趣。然后回顾我们非常熟悉的三个例子，分析总结共性，就自然的得到了线性空间的定义。最后小结一下定义的要点。

6.1.2 线性空间的定义下
上一节课，我们学习了线性空间的定义，这一节课我们通过一些具体例子来巩固线性空间的定义。然后作为线性空间的应用，我们讲一下交通流量问题，最后用线性空间的只是来回答丢勒魔方的问题。

●6.2维数、基与坐标

6.2.1 维数和基上
生活中，其他学科中都有去繁就简的很多例子，那么对于线性空间，一个自然的问题是：一个线性空间的向量能否用尽可能少的向量来生成。我们先来玩一个游戏：在线性空间中找尽可能多的线性无关的向量组。由此自然得到线性空间的维数和基的概念。通过例子来巩固概念，并且发现概念去算维数有点繁琐，自然而然得到了计算线性空间维数与基的定理一，通过例题来巩固定理一的用法。对于线性空间，找出维数与基是这一章最重要的计算。

6.2.2 维数和基下
这一节我们先来欣赏一个维数与基的思想在生活中的的例子。然后通过一系列例题来巩固如何求维数和基。最后，我们用维数与基的只是完全解决了丢勒魔方的问题。
6.2.3 坐标
首先我们先来看看我们的骄傲：北斗卫星导航系统。那么北斗系统与我们这节有什么关系呢？我们发现，同一个向量在不同基下有两组坐标，那么两组坐标有什么关系呢？我们先通过一个简单例子去研究分析，发现两组坐标的关系。很自然的可以推广到一般情形。最后，讲了我们的坐标相关知识与北斗导航系统的关系。

●6.3线性空间的定义与简单性质

6.3.1 线性子空间
首先问一个化学中很重要的问题：如何配平化学方程式？通过观察几个例子，分析共性，自然的给出线性子空间的定义，给出线性子空间的判定方法，然后通过例子来巩固这种方法。然后讲解了如何配平化学方程式。最后为了大家几何直观上去理解线性子空间，我们找出了立体空间的所有线性子空间。

6.3.2 生成子空间上
我们先来欣赏几张图片，都是自然界很简单的事物生成复杂事物的例子，我们数学中也有类似的例子，那么自然的若干个向量能生成什么呢？我们从线性方程组开始，用线性组合的观点来看线性方程组，发现两个不共线的向量的所有线性组合是整个平面。然后矩阵中也有类似的结果。那么自然的，我们给出生成子空间的定义。最后通过两个例子来巩固定义。

6.3.3 生成子空间下
在上一节课我们学习了生成子空间的定义，这节课我们先来看一个生活中关于生成子空间的有趣的例子，然后研究生成子空间的维数和基。我们先通过一个简单的2维线性空间去研究，寻找线索。我们发现关键在向量组的极大线性无关组里。有了这个关键钥匙，我们就很自然的解决了生成子空间的维数与基的问题。

6.3.4 扩基定理
首先我们回顾一下哲学中整体与部分的关系，那么自然的线性空间与线性子空间有什么关系呢？通过观察几个例子，我们发现子空间的基可以扩充为线性空间的基。接下来就是证明。我们先处理一个特例，把它解决掉。特例的验证过程可以比较自然的推广到一般情形。

●6.4线性空间的定义与简单性质

6.4.1 子空间的交与和上
首先欣赏自然界中简单事物构造复杂事物的例子，回顾数学中类似的例子，那么两个线性子空间能构造出什么呢？显然两个线性子空间的交还是线性子空间。那么对偶的，两个线性子空间的并呢？还是线性子空间吗？不幸的是，有反例。我们通过研究反例为什么不是线性子空间，通过改进，可以找到一个线性子空间包含两个字空间的并。那么自然的我们得到子空间的和的定义。

6.4.2 子空间的交与和下
上节课我们学习了子空间的和这个定义，这节课我们看几个例子，并且讨论子空间的和的某些性质。我们通过定义来计算两个子空间的和，这两个例子都有很好的几何直观。那么自然的，没有很好的几何直观的时候，我们如何求子空间的和？通过观察前面两个例子，用生成子空间的语言重新写，就可以很容易的发现一个公式，证明是很自然的。最后看看生活中的例子。

6.4.3 维数公式的探索及证明上
首先我们回顾我们很熟悉的坐标轴、二维坐标系、三维坐标系，其高代本质就是子空间的和，那么自然的，给两个不那么直观的子空间，如何求子空间的和的维数与基？我们首先通过观察具体例子，分析数据，提出了一个猜想。但是马上有反例否定了猜想。然后细致分析反例，有分析数据，提出了新的猜想。最后看看生活中的两个例子，实际上是支持这个猜想的。

6.4.4维数公式的探索及证明下
在上一节课我们提出了一个猜想，这一节课我们尝试证明这个猜想。我们仍然从一个特例出发，通过扩基定理，找到4个子空间的基。然后我们发现，一般情形下的证明与特例的验证的几乎一样的。我们就完美的解决了这个问题。

●6.5子空间的直和

6.5.1 子空间的直和
首先欣赏一下几幅优美的建筑图片，再优美的的建筑也是由砖块构成的，并且有最经典的构造方法，那么自然的，由两个子空间构造新的空间，哪一种最简单经典呢？我们回顾几个子空间的和的例子，分析一下向量分解的唯一性，找出共性，就可以发现有一类分解是很特别的，那么自然的给出子空间的直和的定义。接下来，根据例子启发，给出两个子空间直和的判定定理。

●6.6线性空间的定义与简单性质

6.6.1 线性空间的同构上
首先看几幅图片，看起来很不一样，但是从化学的角度来看，它们本质是一样的。自然的，线性空间看起来互不相同，有没有可能其内在本质是一样的呢？我们先考虑最简单漂亮的n维线性空间：n维向量空间，发现任意一个n维线性空间可以通过坐标与其建立映射，并且此映射具有很好的性质：双射、保加法、保数乘。

6.6.2 线性空间的同构下
在上一节我们得到一个映射，有很好的性质，那么自然的我们把性质抽象出来，就得到同构的定义。任意两个n维线性空间都与n维向量空间同构，那么自然的这两个n维线性空间同构吗？通过证明，发现是同构的。并且是否同构完全只取决于维数。最后小结了两个线性空间同构，会有哪些性质可以得到保持。

第七章线性变换

第七章 线性变换
线性变换是线性空间中最基本的变换，是线性代数研究的一个主要对象，它在讨论线性空间向量间的内在联系及线性空间的结构中有重要的作用。本章主要介绍线性变换的运算、性质，线性变换与矩阵的关系及矩阵的相似和化简。本章主要内容有：线性变换的定义及性质；2、线性变换的运算；线性变换的矩阵；特征值与特征向量；线性变换的值域与核；不变子空间。

●7.1线性变换的定义

7.1.1 线性变换的定义上
首先大家欣赏两个自然界的现象，然后用数学语言来解释这两个现象，发现这两个映射有特殊的性质，自然的抽象出来，得到线性变换的定义。接下来讲一些例子来巩固线性变换这个定义，此外，还利用矩阵来实现这些线性变换。自此，高代的男主角线性变换和女主角矩阵终于见面了。

7.1.2 线性变换的定义下
在上一节课我们学习了线性变换的定义，以及线性变换与矩阵第一次见面。今天我们继续线性变换与矩阵的浪漫爱情故事。接下来，我们讲了怎么从矩阵去定义一个线性变换。然后把重心放在如何理解线性上。最后讲了线性变化的一个应用：计算机图形学。

●7.2线性变换的运算

7.2.1 线性变换的运算
这节课就一个目的，把一个线性空间的所有线性变换拿出来，能否定义加法和数量乘法，最后能否构成一个线性空间？我们通过线性变换和矩阵的密切关系，从矩阵的加法和数量乘法受启发，顺利的定义了线性变换的加法和数量乘法，不仅如此，还发现确实构成一个线性空间。

●7.3线性变换的矩阵

7.3.1 线性变换与矩阵
在线性变换定义那节中，高等代数的男主角线性变换与女主角矩阵终于见面了，并且初见非常浪漫。本节课我们继续讲他们的关系。主要就是彻底讲清楚怎么从线性变换到矩阵，怎么从矩阵到线性变换。让大家感觉到线性变换和矩阵几乎就是一样的。

●7.4特征值与特征向量

7.4.1 特征值、特征向量的定义上
首先将一个很有意思的问题：谷歌公司如何进行信息检索？然后通过观察几何例子，发现线性变换把某些向量变成它自己的若干倍；另一方面，通过代数推导，如果我们希望一个线性变换在某组基下的矩阵足够简单，那么自然的也会出现线性变换把某个向量变成它的多少倍的现象。自然的，我们就给出线性变换的定义。

7.4.2 特征值、特征向量的定义下
在上一节课我们就给出了特征值特征向量的定义。今天我们就看几个例子巩固一下，并且讨论这两个概念的应用以及性质。我们先讲解几个例子来熟悉定义，然后讲这个定义在图片压缩中的作用。然后通过树枝和树叶的观叶，形象的来研究特征向量的一些性质。最后大致解释了特征值特征向量与谷歌收索的联系。

●7.5线性变换的值域与核

7.5.1 线性变换的值域与核
我们先欣赏几个例子，发现线性变换能让图形动起来。那么自然的，所有向量动之后的集合是什么呢？我们自然给出了线性变换的值域与核定义，并且通过几个例子来熟悉这个定义。最后通过例子来发现和证明定理11。

●7.6不变子空间

7.6.1 不变子空间
首先我们回顾生活中我们喜欢大事化小，比如切西瓜。那么自然的，能否相应的切线性变换呢？另一方面，本章的主线是线性变换是某组基下的矩阵尽可能简单。两个方面思考，都不约而同的指向不变子空间的定义。然后我们自然的给出定义，并且讲解几个例子。最后，我们回答之前的问题：有了不变子空间，我们确实能将线性变换切小，那将更容易处理了。

第八章欧几里得空间

第八章 欧几里得空间
欧氏空间是实数域上带有一个内积的线性空间，是通常几何空间的推广。本章主要介绍欧氏空间的概念，标准正交基和正交变换。本章主要内容有：欧氏空间的定义和基本性质；标准正交基及求法；正交变换与正交矩阵。

●8.1定义与基本性质

8.1.1 欧几里得空间的定义上
我们首先从字面上来看，欧几里得是大几何学家，空间我们最熟悉的是线性空间，两者结合起来，我们发现线性空间很容易刻画平面几何中的平行，但是无法刻画垂直。怎么办呢？增加运算。回顾我们中学所学，发现内积能很好的刻画角度。我们用现代的语言重新解释这些，加以抽象，就得到了欧几里得空间的定义。最后讲一下定义的要点。

8.1.2欧几里得空间的定义下
在上一节课，我们学习了欧几里得空间的定义，这节课我们就讲几个欧几里得空间的例子，让大家巩固概念。我们发现同一个线性空间，可以定义不同的内积，并且导致圆的两种不同形状，很有意思。最后，讲讲非欧几何的故事，体会一下几位大数学家的思维杰作。

●8.2标准正交基

8.2.1 标准正交基上
首先我们讲一个大数学家高斯的故事：高斯1801年正确的预测了谷神星的轨道。那高斯怎么做到的呢？接下来我们先欣赏一下生活中的正交之美。玩一个游戏：在欧氏空间中找尽可能多的正交向量。自然的给出正交基和标准正交基的定义，最后讲解标准正交基有了之后的好处：能极大地简化计算。

8.2.2标准正交基上
在上一节课中，我们学习了标准正交基的定义，知道标准正交基的关键是正交基。那么一个自然的问题是：一个欧氏空间一定有正交基吗？如果有，怎么找出来？这就是我们这节课要研究的问题。我们受到投影启发，一步一步的把正交基构造出来，非常几何直观。最后我们讲高斯定义的最小二乘法，成功的预测了谷神星的轨道。最小二乘法另一个应用就是我们的骄傲：北斗卫星导航系统。

●8.3正交变换

8.3.1 正交变换
首先我们先欣赏几个常见的线性变换，发现有的线性变换保持长度，有的保持，那么自然的我们把保持长度的线性变换取个名字，我们就得到了正交变换的定义。接下来，正交变换、标准正交基、正交矩阵都有正交两个字，我们研究它们之间的联系。 最后讲正交变换的一个很有用的应用：数据降维。