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第一章空间解析几何与向量代数
要求学生掌握数量积、向量积的概念及运算；会建立平面与空间直线方程；理解曲面方程的概念，掌握常用的曲面方程及其图形，掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的一般方程和参数方程，会求空间曲线及空间区域在坐标面上的投影。
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●1.1两向量的数量积
本节介绍两向量的数量积，重点掌握数量积的定义、性质，坐标表达式以及求两向量的夹角公式。
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●1.2两向量的向量积
本节介绍两向量的向量积，重点掌握向量积的定义，坐标表达式及几个性质。
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●1.3平面的点法式方程
本节介绍平面的点法式方程。寻找合适的法向量及平面上的点来构造平面方程。
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●1.4平面的一般方程
本节介绍平面的一般方程，具有某些特征的平面常用此形式。掌握通过给定信息合理选择平面方程式。
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●1.5空间直线的对称式（点向式）方程
本节介绍空间直线的对称式和参数式方程，熟练掌握两种方程式的使用方法。
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●1.6空间直线的一般方程
本节介绍空间直线的一般方程，根据直线的特征合理选择方程式。
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●1.7曲面方程的概念
本节介绍曲面图形与曲面方程的概念，以及几个常用的曲面方程，如：坐标面，平面和球面。
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●1.8旋转曲面及其方程
本节介绍旋转曲面的形成及其方程，重点掌握旋转曲面方程的特征，并能找出其母线和旋转轴。
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●1.9柱面及其方程
本节介绍柱面及其方程。强调柱面方程的特点是其方程中缺少变量，或方程中至多含有两个变量，要能指出该柱面的母线及准线。
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●1.10空间曲线的方程
本节介绍空间曲线的两种方程式：一般式和参数式方程。应掌握通过一般式方程画出或构想出曲线的图形，能写出较为简单的曲线参数式方程。
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●1.11空间曲线在坐标面上的投影
本节介绍求空间曲线在坐标面上的投影曲线以及空间立体或曲面在坐标面上的投影区域的方法。
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●1.12二次曲面
本文介绍几种常见的二次曲面方程及其图形，采用截痕法描绘几类二次曲面的图形，重点掌握球面、旋转抛物面，柱面及锥面的方程及图形。
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第二章多元函数微分学
要求学生理解偏导数、全微分的概念，了解全微分存在的条件；熟练掌握多元复合函数微分法；掌握隐函数微分法；了解空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线方程的建立；理解多元函数极值与条件极值的概念，会求多元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法；会求解一些简单的最大、最小值的应用问题。
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●2.1偏导数的定义
本节介绍多元函数偏导数的定义，它可以归结为一元函数的导数，反映的是多元函数相对于某一个自变量的变化率。
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●2.2偏导数的计算
本节举例介绍偏导数的计算方法，可以利用一元函数的求导公式与求导法则，对于某些特殊的函数，例如分段函数在分界点处的偏导数，要利用定义来计算。
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●2.3高阶偏导数
本节介绍多元函数高阶偏导数的定义，并举例介绍高阶偏导数的计算。
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●2.4全微分的定义
本节介绍多元函数全微分的定义，可以与一元函数微分的概念类比来加深理解和记忆。
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●2.5函数可微分的条件
本节介绍多元函数可微分的条件，并给出全微分的计算公式，为判断函数的可微性及全微分的计算提供有效的途径。
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●2.6多元复合函数微分法
本节介绍多元复合函数微分法，它是一元复合函数链式法则的推广，在多元函数微分学中，起到了非常重要的作用。
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●2.7多元复合函数微分法举例
本节举例介绍多元复合函数微分法在具体计算中的应用，可以结合变量关系树帮助分析函数的复合结构。多元复合函数微分法是本章的一个难点，需要多做练习掌握方法和技巧。
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●2.8三元方程确定的二元隐函数微分法
本节介绍三元方程确定二元隐函数的条件，并推导隐函数的偏导公式，具体计算时，既可以直接利用公式求偏导，也可以利用推导公式时所采用的方法。
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●2.9空间曲线的切线与法平面的求法
本节介绍空间曲线的切线与法平面的求法，关键是确定曲线在给定点处的切向量，它同时也是法平面的法向量。
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●2.10曲面的切平面与法线的求法
本节介绍空间曲面的切平面与法线的求法。关键是确定曲面在给定点处的法向量，它同时也是法线的方向向量。
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●2.11多元函数极值的概念及极值存在的条件
本节介绍多元函数极值的概念和极值存在的条件，可以与一元情形类比来加深理解。
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●2.12多元函数极值的求法及举例
本节介绍多元函数极值的求法，给出具有二阶连续偏导数的函数求极值的一般步骤并举例。
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●2.13多元函数最大值和最小值的求法举例
本节介绍多元函数的最大最小值的求法。在实际应用中，有一些最优化问题可以归结为多元函数的最大最小值问题。
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●2.14条件极值的拉格朗日乘数法
本节介绍求解条件极值的拉格朗日乘数法，这种方法不需要将条件极值化为无条件价值，而是根据目标函数和约束条件通过构造辅助函数，直接求解条件极值。
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第三章多元数量函数的积分学
要求学生理解二重积分的概念，了解三重积分的概念，了解重积分的性质；熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），掌握三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；理解第一类曲线积分、曲面积分的概念，了解其性质；会计算第一类曲线积分及第一类曲面积分。
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●3.1二重积分的定义
本节通过实例（几何问题和物理问题）引出二重积分的定义，与一元函数定积分类似，二重积分是一种特殊和式的极限，定积分的微元法也可以推广到二重积分的应用中，有很多实际量可以利用二重积分来解决。
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●3.2二重积分的性质
本节介绍二重积分的性质，二重积分具有与一元函数定积分类似的一系列性质，有时可以适当结合性质简化二重积分的计算。
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●3.3直角坐标系下二重积分的计算法
本节介绍直角坐标系下二重积分的计算，基本思想是化为两次定积分，要综合考虑积分区域和被积函数的特点，选择适当的积分次序。
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●3.4直角坐标系下二重积分的计算举例
本节举例介绍直角坐标系下二重积分的计算，基本思想是化为二次积分，要根据被积函数和积分区域的特点选择适当的积分次序，确定二次积分的上下限，有时可以结合性质简化计算。
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●3.5极坐标系下二重积分的计算法
本节介绍极坐标系下二重积分的计算方法。一般地，当积分域的边界曲线含有圆弧，被积函数含有x2+y2时，利用极坐标计算二重积分比较简单。
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●3.6极坐标系下二重积分的计算举例
本节举例介绍极坐标系下二重积分的计算。基本思想是化成二次积分，我们只研究先对ρ后对θ的积分次序，所以关键是积分限的确定。
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●3.7三重积分的定义及性质
本节介绍三重积分的定义，由于被积函数是三元的，积分区域是空间闭区域，所以三重积分要比二重积分复杂一些，但是由于定义式具有相似的结构特征，所以三重积分具有与二重积分类似的性质。
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●3.8直角坐标系下三重积分的投影法及举例
本节介绍直角坐标系下三重积分的投影法，它是将三重积分化为先计算一个定积分，再计算一个二重积分，所以也叫先一后二法。
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●3.9直角坐标系下三重积分的截面法及举例
本节介绍直角坐标系下计算三重积分的截面法，它是将三重积分化为先计算一个二重积分，再计算一个定积分，所以也叫先二后一法，当被积函数仅与一个变量有关时，常考虑截面法计算三重积分。
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●3.10柱面坐标系下三重积分的计算
本节介绍柱面坐标系下三重积分的计算方法，柱面坐标变换是对x,y,z中的某两个变量作极坐标变换，另一个变量保持不变。
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●3.11柱面坐标系下三重积分的计算举例
本节举例介绍如何利用柱面坐标计算三重积分，与直角坐标情形类似，也有投影法和截面法，当投影域或截面域上的二重积分适合极坐标时，三重积分的计算就可以考虑柱面坐标。
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●3.12球面坐标系下三重积分的计算
本节介绍球面坐标系下三重积分的计算方法，基本思想是化成三次积分，我们只研究先对r、再对φ，最后对θ的三次积分。
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●3.13球面坐标系下三重积分的计算举例
本节举例介绍球面坐标系下三重积分的计算，当被积函数含有x2+y2+z2，积分区域是球形闭区域，或者是由球面及圆锥面围成的闭区域等情形下，利用球面坐标计算三重积分比较简单。
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●3.14第一类曲线积分的定义及性质
本节介绍第一类曲线积分（也叫对弧长的曲线积分）的定义，并以二元函数在平面弧段上的第一类曲线积分为例，给出计算上常用的性质，可以推广到积分弧段为空间弧段的情形。
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●3.15第一类曲线积分的计算法
本节介绍第一类曲线积分的计算方法，由于积分范围是曲线段，所以被积函数的自变量满足积分曲线方程，可以将积分曲线方程（参数形式）代入被积函数，将曲线积分化为定积分来计算，有时也可以结合性质简化计算。
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●3.16第一类曲面积分的定义及性质
本节介绍第一类曲面积分（也叫对面积的曲面积分）的定义和在计算上常用的性质。
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●3.17第一类曲面积分的计算法
本节介绍第一类曲面积分的计算方法，由于积分范围是空间曲面，所以被积函数的自变量满足积分曲面方程，可以将积分曲面方程（显函数形式）代入被积函数，将曲面积分转化为二重积分来计算，有时可以结合性质简化计算。另外，曲面的面积可以利用第一类曲面积分，进而归结为二重积分来解决。
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第四章向量函数的积分学
理解第二类曲线积分的概念及其物理意义，了解其性质；掌握第二类曲线积分的计算方法；掌握格林公式及平面上第二类曲线积分与路径无关的条件；理解第二类曲面积分的概念及其物理意义，了解其性质；会计算第二类曲面积分；熟悉高斯公式。
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●4.1第二类曲线积分（引例）
本节介绍第二类曲线积分的背景引例：变力沿曲线做功问题。微元法的思想：分割、取近似、求和、取极限。
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●4.2第二类曲线积分的定义与性质
本节介绍第二类曲线积分的定义与性质。第二类曲线积分的定义形式与第一类曲线积分不同，它是两个向量函数的点乘的和式的极限，此外注意第二类曲线积分和方向有关的性质。
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●4.3第二类曲线积分的计算法及举例
本节介绍第二类曲线积分的基本计算方法，是化为定积分，注意两点，第一点：要将曲线方程表示成参数形式，再代入被积表达式中，参数即为积分变量；第二点：注意定限原则，即起点对应下限，终点对应上限。
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●4.4格林公式及其应用举例
本节介绍格林公式。第二类曲线积分的基本计算方法是化为定积分来计算的，当曲线不容易用参数方程表示或转化为定积分难以计算时，可以应用格林公式化第二类曲线积分为二重积分来计算。
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●4.5利用平面曲线积分与路径无关的条件计算第二类曲线积分
本节介绍第二类平面曲线积分与路径无关的条件，若满足条件，则可以改变积分路径简化计算，还可以求积分表达式的原函数。
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●4.6第二类曲面积分（引例）
本节主要介绍第二类曲面积分的背景引例，即流向曲面指定一侧的流体的流量，我们用微元法的思想（分割、取近似、求和、取极限）来解决。
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●4.7第二类曲面积分的定义与性质
本节介绍第二类曲面积分的定义与性质。第二类曲面积分的定义形式和第一类曲面积分不同，它是两个向量函数的点积的和式的极限，此外注意第二类曲面积分和方向有关的性质。
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●4.8第二类曲面积分的计算及举例
本节介绍第二类曲面积分的计算：1、逐个投影法，将积分每一项分别化为相应坐标面上的二重积分，注意曲面的侧与符号的关系。当积分项数多于一项时比较麻烦。2、统一投影法，根据曲面的形状，先将积分化为统一坐标的积分，再化为相应坐标面上的二重积分。
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●4.9高斯公式及其应用举例
本节介绍高斯公式。第二类曲面积分的基本计算方法是投影法化为二重积分，当曲面不容易投影，或积分项比较多，计算比较麻烦时，考虑利用高斯公式将第二类曲面积分化为三重积分来计算。
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第五章无穷级数
理解无穷级数收敛、发散及收敛级数的和的概念；了解常数项级数的基本性质；了解正项级数的比较审敛法及其极限形式，掌握正项级数的比值审敛法与根植审敛法；掌握交错级数的莱布尼茨判别法，了解绝对收敛与条件收敛的概念；了解函数项级数的收敛域与和函数的概念；掌握幂级数收敛域的求法；理解幂级数在收敛区间内的一些基本性质；会将函数展开成幂级数；会求幂级数的和函数；掌握将周期函数展开成傅里叶级数的方法。
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●5.1常数项级数的概念
本节首先介绍常数项级数的概念，为了研究无穷多个数依次相加的问题，引入部分和数列的概念，定义部分和数列的极限与级数敛散性的关系。即我们是通过研究部分和数列的极限的存在性来研究级数的敛散性的。
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●5.2常数项级数的性质
本节介绍常数项级数的五条基本性质以及相关的注解。有时利用这些性质来判断级数的敛散性相对于利用定义来判断级数的敛散性要方便一些.
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●5.3正项级数的比较审敛法及举例
本节介绍正项级数的比较审敛法，关键的步骤就是对所要判断的级数的一般项进行放缩。一般把等比级数、调和级数、p—级数作为放缩后的比较对象。
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●5.4正项级数的比较审敛法的极限形式
本节介绍正项级数的比较审敛法的极限形式，通过无穷小的比较来判断级数的敛散性。一般把等比级数、调和级数、p-级数作为比较对象或等价的无穷小。
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●5.5正项级数的比值审敛法及根值审敛法
本节介绍正项级数的比值审敛法及根值审敛法，要灵活运用它们来判断正项级数的敛散性，当它们失效时考虑用其他方法来判断。
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●5.6交错级数及莱布尼茨判别法
本节介绍交错级数及莱布尼茨判别法，注意莱布尼茨判别法的两个条件只是充分条件，并非必要条件，因此有一定的局限性。
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●5.7一般常数项级数及其审敛法
本节介绍一般常数项级数及其审敛法，可以先考虑绝对值级数的敛散性，若收敛，则级数绝对收敛；若利用比值或根值法判断发散，则原级数发散，此外，可以考虑应用定义及性质判断敛散性.
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●5.8函数项级数的概念
本节介绍函数项级数及其收敛域的概念，求函数项级数收敛域的步骤首先固定变量，则级数视为常数项级数，再按照一般常数项级数审敛法的步骤讨论收敛性问题，从而得出收敛域。
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●5.9幂级数及阿贝尔定理
本节首先介绍求幂级数收敛域的一般方法，然后介绍阿贝尔定理，阿贝尔定理很好地揭示了幂级数的收敛域与发散域的结构。
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●5.10幂级数的收敛半径及收敛域的求法
本节根据阿贝尔定理得到求幂级数收敛半径及收敛域的基本方法，注意本方法仅适用于幂级数不缺项的情形，可以根据幂级数的系数直接求出收敛半径，简单直接。如果缺项，则仍然按照一般函数项级数的方法求解.
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●5.11幂级数和函数的分析性质
本节介绍幂级数和函数的代数运算性质与分析性质，利用逐项求导与逐项积分的性质求幂级数的和函数及数项级数的和。注意收敛区间端点处收敛性的改变及利用和函数的连续性的性质。
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●5.12函数展开成幂级数的直接展开法
本节介绍函数的幂级数展开式的直接法，并且得到一些基本初等函数的幂级数展开式，虽然直接法展开计算量较大，而且对于余项的研究比较困难，但这为我们后面要介绍的间接展开法奠定了基础。
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●5.13函数展开成幂级数的间接展开法
本节介绍函数的幂级数展开式的间接法，直接法展开计算量较大，而且对于余项的研究比较困难；而间接法则是利用一些已知的函数的展开式，通过幂级数的运算以及变量替换等方法将函数展开成幂级数，不但简单，而且可以避免研究余项。
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●5.14求幂级数的和函数及数项级数的和
本节利用幂级数的运算性质和已知的幂级数的和函数来解决一些幂级数的和函数及数项级数的和的问题。由于求和问题比较复杂，因此我们只研究比较简单的幂级数及数项级数求和问题。
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●5.15三角函数系及其正交性
本节介绍将非正弦的周期函数展开成简单的周期函数组成的级数，即三角级数。 在物理及电工学中都有很重要的应用。
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●5.16傅里叶级数的收敛定理
本节介绍狄利克雷收敛性定理，函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多。将函数按照这种方式展开的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看成不同频率的简谐振动的叠加。
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●5.17周期为2π的函数的傅里叶级数展开
本节介绍将周期为2π的函数展开成傅里叶级数的具体步骤，更加直观地展示如何用三角级数来逼近函数。若函数为奇函数或者偶函数，展开的傅里叶级数就分别是正弦级数和余弦级数。
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●5.18定义在有限区间上的函数展开成傅里叶级数
本节介绍有限区间上的函数（非周期函数），如果在有限区间上满足收敛定理的条件，那么就可以展开成傅立叶级数。展开成傅里叶级数的方法为周期延拓，最后再把自变量的取值范围限定在有限区间内。
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●5.19一般周期函数的傅里叶级数展开
本节介绍一般周期函数的傅里叶级数展开，即若函数满足狄利克雷收敛定理的条件，对于周期为2l的周期函数也可以展开为傅里叶级数。