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第一章函数、极限与连续
本章要求学生加深对函数概念的理解；了解函数的几种特性；理解复合函数的概念，了解反函数的概念；熟悉基本初等函数的性质及其图形；会建立简单实际问题中的函数关系式；了解极限的定义；掌握极限的四则运算法则；了解两个极限存在准则，会用两个重要极限；了解无穷小、无穷大的概念，无穷比较的概念，会用等价无穷小替换求极限；理解函数连续的概念，了解间断点的概念，会判断间断点的类型；了解初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质。
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●1.1函数的概念
本节要求学生理解函数的概念，熟悉邻域的概念，了解反函数的概念和反函数的表示法。
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●1.2函数的几种特性
本节要求学生了解函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性，并会用数学语言来描述及验证这些性质。
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●1.3基本初等函数
本节要求学生熟悉基本初等函数的解析表达式、性质及其图形。
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●1.4复合函数与初等函数
本节要求学生理解复合函数的概念，了解初等函数的概念，会进行复合函数的分解。
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●1.5数列极限的定义
本节介绍数列极限的定义，给出数列极限的定性描述，并用ε-N语言给出更为抽象的定量描述，我们要理解极限的思想。
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●1.6收敛数列的性质及子数列的收敛性
本节要求学生了解收敛数列的唯一性、有界性、保号性，了解子数列的概念及收敛性的结论。
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●1.7自变量趋于无穷大时函数的极限
本节介绍自变量趋于无穷大时函数极限的定义，可以细化为自变量趋于正无穷大，自变量趋于负无穷大，以及自变量趋于无穷大三种情形，前两个称为单侧极限。
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●1.8自变量趋于有限值时函数的极限
本节介绍自变量趋于有限值时函数极限的定义，要求学生理解极限的思想。
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●1.9左右极限及函数极限的性质
要求学生了解左右极限的概念以及函数在某一点处极限存在的充要条件，了解函数极限的唯一性、局部保号性、局部有界性。
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●1.10无穷小及其运算性质
本节介绍无穷小的概念、运算性质以及极限与无穷小的关系，它们在极限运算及有关极限的理论证明中常常用到，要求学生熟练掌握。
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●1.11无穷大及其与无穷小的关系
本节介绍无穷大及其与无穷小之间的关系。无穷大量，通俗地说，是在某极限过程中绝对值无限增大的变量，而无穷小则是在某极限过程中绝对值无限缩小的变量。利用两者的关系可以将对无穷大量的讨论归结为对无穷小的讨论。
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●1.12极限的四则运算法则
本节介绍极限的四则运算法则，可以解决一部分极限的运算问题，要求学生了解极限的四则运算法则应用的条件，会利用该法则计算某些极限。
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●1.13复合函数的极限运算法则
本节介绍复合函数的极限运算法则，并举例说明如何将其与极限的四则运算法则结合起来计算某些初等函数的极限。
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●1.14极限存在的夹逼准则
本节介绍极限存在的夹逼准则，夹逼准则在判定函数或数列极限的存在性和求极限时都是重要手段之一，要求学生会利用夹逼准则判断某些数列或函数的极限。
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●1.15数列的单调有界收敛准则
本节介绍数列的单调有界收敛准则，为判断数列的收敛性提供了一条新的思路。
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●1.16两个重要极限（1）
本节介绍第一个重要极限，当我们遇到零比零型未定式，又含有正弦函数，就可以考虑用该重要极限来解决。
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●1.17两个重要极限（2）
本节介绍第二个重要极限，它为1∞型未定式的极限运算提供了一种有效的方法。
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●1.18无穷小比较的概念及常见的等价无穷小
本节介绍无穷小比较的概念，并给出几对常用的等价无穷小，在今后的极限运算中，将发挥很重要的作用。
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●1.19等价无穷小代换（定理、举例）
本节介绍等价无穷小代换定理，它适用于零比零型未定式，有时在一定程度上可以简化极限的运算。
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●1.20函数连续的定义
本节介绍函数连续的定义，连续是函数的重要性态之一，我们要会利用定义判断函数的连续性。今后对函数的讨论中很多情况下都要求函数具有连续性。
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●1.21函数的间断点
本节介绍函数间断点的定义，并对间断点进行分类。要熟悉函数连续与间断的概念。
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●1.22连续函数的运算与初等函数的连续性
本节介绍连续函数的运算性质，并给出初等函数连续性的结论，为判断函数的连续性提供了依据。
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●1.23闭区间上连续函数的性质
本节介绍闭区间上连续函数的性质，包括最值定理，有界性定理，零点定理和介值定理，它们在一些理论证明中将起到重要的作用。
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第二章导数与微分
本章要求学生理解导数的概念，了解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系；了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些变量的变化率；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，了解反函数的求导法则，掌握基本求导公式；理解微分的概念，了解微分概念中所包含的局部线性化思想，了解微分的四则运算法则和微分的形式不变性；了解高阶导数概念，能熟练地求一阶、二阶导数；掌握隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的求法，会求解相关变化率问题。
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●2.1导数的定义与左右导数
本节介绍导数与左右导数的概念，并举例说明如何利用定义求导，函数在某一点可导的充要条件是左右导数都存在且相等。要理解导数的本质是函数相对于自变量的变化率。
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●2.2导函数的定义与导数的几何意义
本节介绍导函数的定义与导数的几何意义，要会利用导数的几何意义求曲线的切线方程与法线方程。
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●2.3连续与可导的关系和反函数的求导法则
本节介绍函数可导性与连续性的关系及反函数的求导法则，并推导了对数函数与反三角函数的导数公式。
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●2.4函数求导的四则运算法则
本节介绍函数求导的四则运算法则，可以解决一部分函数的求导问题。
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●2.5复合函数的求导法则
本节介绍复合函数的求导法则，复合函数求导关键是引入中间变量将其分解为简单的函数，即基本初等函数或由常数和基本初等函数经过四则运算构成的函数。复合函数求导是本章重点，也是难点之一。
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●2.6高阶导数的概念
本节介绍高阶导数概念，举一些求高阶导数的例子，并推导一些简单的初等函数的n阶导通式。
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●2.7隐函数的导数和参数方程所确定的函数的导数
本节介绍求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的求法。
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●2.8导数在变化率问题中的应用
要求学生了解导数作为函数变化率的实际意义，会求解相关变化率问题。
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●2.9微分的概念
本节介绍微分的概念，它是函数增量的线性主部，微分这个概念是微分学转向积分学的桥梁，在整个微积分的理论中起着十分重要的作用。
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●2.10函数可微的条件及微分的几何意义
本节介绍函数可微的条件，为判断函数的可微性提供了方便；微分的几何意义可以使我们对微分概念有更直观的认识。
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●2.11基本初等函数的微分公式与微分运算法则
本节介绍基本初等函数的微分公式与微分运算法则，为微分的计算提供了方便。
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第三章中值定理与导数的应用
本章要求学生理解罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理；会用洛必达法则求未定式的极限；理解函数的极值概念，会判断函数的极值、单调性，曲线的凹凸性、拐点；会解简单的最大、最小值的应用题。
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●3.1罗尔定理证明及应用
本节介绍罗尔定理，它可以证明某些涉及到函数导数且结论为等式关系的中值命题，还可以用来证明方程根的存在性及存在范围。
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●3.2拉格朗日中值定理及其应用举例
本节介绍拉格朗日中值定理，它可以看作罗尔定理的推广，它在函数值和导数之间建立了联系，因此可以用来研究函数的性态，在后面将要介绍的一些理论证明中起到了重要作用。
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●3.3柯西中值定理及其应用举例
本节介绍柯西中值定理，它可以看作拉格朗日中值定理的推广，常用来证明涉及到两个函数并且跟导数有关的中值命题。
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●3.4洛必达法则（1）
本节介绍求0/0与∞/∞型未定式极限的一种用得最多、简单且重要的法则，即洛必达法则。它的实质是通过对分子、分母分别求导改变分子、分母函数性质以便将所求极限化简。洛必达法则只适用于0/0或∞/∞型未定式，其他类型的未定式（如：0 *∞或∞-∞型）需要转化为0/0或∞/∞型未定式。
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●3.5洛必达法则（2）
本节介绍了如何利用洛必达法则求解幂指函数未定式的极限，基本方法是取对数，将极限转化为可求解的类型。
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●3.6曲线凹凸性的判别法及拐点
要求学生掌握曲线凹凸性的定义和凹凸性的判定定理，会确定函数的凹凸区间，了解拐点的定义，会求曲线的拐点。
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●3.7函数极值的概念及极值存在的条件
本节介绍函数极值的概念，并针对连续函数给出判定极值的条件。
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●3.8求连续函数极值的步骤及举例
本节举例介绍求连续函数极值的方法和步骤，要求学生会求连续函数的极值。
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●3.9函数的最值求法及举例
本节以极值理论为基础研究函数的最值问题，实际应用中许多最优化问题可以归结为一元函数的最大、最小值问题。
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第四章不定积分
本章要求学生理解原函数与不定积分的概念；掌握不定积分的性质；熟练掌握基本积分公式；掌握换元积分法，分部积分法。
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●4.1原函数与不定积分的概念
本节介绍原函数及不定积分的定义，一个函数如果有原函数就有无穷多个，各个原函数之间只相差一个常数，一个函数的全体原函数叫做这个函数的不定积分。
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●4.2基本积分表及不定积分的线性性质
本节介绍基本积分表及不定积分的线性性质。不定积分基本公式要求学生牢记，不定积分的线性性质在计算不定积分时常用。
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●4.3直接积分法举例
本节介绍不定积分的直接积分法：直接利用不定积分的线性性质和基本积分表求不定积分，或者将被积函数作简单的代数、三角恒等变形，化为积分表中诸被积函数的线性组合的形式，然后利用线性性质计算不定积分。
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●4.4不定积分的第一类换元法
本节介绍求解不定积分的第一类换元法，也叫凑微分法，这是最基本、最常用的积分法。凑微分法比较灵活，没有一般途径可循，因此要掌握凑微分法，除了熟悉一些典型的例子外，还要做较多的练习，要对常见函数的微分形式很熟悉。
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●4.5不定积分的第二类换元法
本节介绍求解不定积分的第二类换元法，这种换元方法主要解决被积函数是无理式的不定积分，我们选取四个典型的例题讲解了换元的技巧，学生在解题时应根据被积函数的具体形式灵活采用根式有理化代换。
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●4.6不定积分的分部积分法
本节介绍求解不定积分的分部积分法，如果被积函数是两个函数的乘积或是一个较复杂的函数，不能用直接积分法或换元积分法求出，就可以考虑用分部积分法。
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第五章定积分
本章要求学生理解定积分的概念和几何意义；了解定积分的性质和积分中值定理；了解并掌握积分上限函数及其求导法；掌握牛顿-莱布尼茨公式；掌握定积分的换元法和分部积分法；了解并会计算反常积分。
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●5.1定积分的定义
本节介绍定积分的定义，它作为一种特殊和式的极限，是从实际问题中抽象出来的概念，利用定积分可以解决一些实际问题，我们将在定积分的应用那一章专题介绍。
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●5.2定积分的几何意义
本节介绍定积分的几何意义，利用定积分的几何意义可以求某些简单的定积分，也可以反过来利用定积分求平面图形的面积，我们将在定积分的应用那一章专题介绍。
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●5.3定积分的性质（1）
利用定义计算定积分非常困难，寻找一种计算定积分的简便方法就成为解决积分问题的关键，本节介绍用等式关系表示的定积分的几种性质：定积分的线性性质，定积分对积分区间的可加性，以及当被积函数等于1时，积分值等于积分上限与下限的差，这些性质对计算定积分是非常有用的。
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●5.4定积分的性质（2）
本节介绍用不等式表示的定积分的几种性质以及定积分中值定理，这类性质在定积分的估值或理论证明中常常用到。
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●5.5积分上限函数及其导数
本节介绍积分上限函数的概念，它的特点是函数关系是用定积分表示的，自变量出现在积分上限的位置，在一定条件下可以进行求导运算。
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●5.6积分上限函数求导举例
本节介绍积分上限函数求导的三种典型例题，要求学生通过例题总结并掌握积分上限函数的求导方法。
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●5.7牛顿-莱布尼茨公式
本节介绍牛顿-莱布尼茨公式，它把连续函数定积分的计算转化为求被积函数的一个原函数在积分区间上的增量。
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●5.8定积分的换元积分法和分部积分法
本节介绍用换元积分法和分部积分法计算定积分，与不定积分相比，定积分的换元法和分部积分法多了积分上下限的处理。
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●5.9无穷限的反常积分
本节介绍无穷限的反常积分的定义，它是定积分概念的推广，即把有限的积分区间变成无限的积分区间，在计算上可以用广义的牛顿莱布尼茨公式。
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●5.10无界函数的反常积分
本节介绍无界函数的反常积分，这种积分记号和定积分记号一样，所以容易与定积分混淆，但被积函数在积分区间上无界。
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第六章定积分的应用
本章要求学生理解定积分的微元法的思想；掌握定积分在几何学上的应用（面积、体积、弧长）。
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●6.1定积分的微元法
本节介绍定积分的微元法，这种方法就是将求非均匀的总量问题转化为用定积分表示，微元法在许多领域都有广泛的应用，我们在高等数学中重点介绍它在几何方面的应用。
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●6.2平面图形的面积
本节介绍定积分的微元法在几何方面的一个应用：求平面图形的面积。根据平面图形边界曲线方程的不同形式，求平面图形的面积可以分直角坐标和极坐标两种情况来讨论。要求重点掌握直角坐标系下平面图形面积的计算。在实际应用中，需根据具体情况合理选择积分变量，以达到简化计算的目的。
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●6.3平行截面面积为已知的立体体积
本节介绍定积分的微元法在几何方面的又一个应用：求平行截面面积为已知的立体体积。求此类特殊立体的体积，关键在于将平行截面的面积表示为某个已知的函数。
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●6.4旋转体体积
本节介绍用定积分求旋转体体积，我们重点讨论底边位于坐标轴上的曲边梯形绕坐标轴旋转得到的旋转体的体积，如何用定积分表示，其他情形可以设法转化为上述情形或者采用微元法的原始思想来解决。
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●6.5平面曲线的弧长
本节介绍利用定积分求平面曲线的弧长，分别给出直角坐标、极坐标、参数方程表示的平面曲线的弧长的计算方法。
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第七章常微分方程
本章要求学生了解常微分方程的基本概念；掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法；了解齐次方程、伯努利方程的解法，进而领会运用变量代换求解微分方程的思想和方法；掌握可降阶的高阶微分方程的解法；理解高阶线性微分方程解的结构性质；熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法；会运用常微分方程解决一些简单的实际应用题。
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●7.1微分方程的基本概念
本节介绍微分方程的定义，微分方程的阶、微分方程的解、通解、特解、初始条件等基本概念。
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●7.2可分离变量的微分方程
本节介绍可分离变量的微分方程及其解法，要求学生会识别类型并熟练掌握其解法。
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●7.3齐次方程
本节介绍齐次方程，它可以通过变量代换化为可分离变量的微分方程来求解。要求学生了解方程的特点及方程的解法。
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●7.4一阶线性微分方程
本节介绍一阶线性微分方程，给出求其通解的常数变易法和通解公式。一阶线性微分方程在实际问题中有广泛的应用，要熟练掌握它的求解方法。
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●7.5伯努利方程
本节介绍伯努利方程，它可以通过变量代换化为一阶线性微分方程来求解，变量代换是求解微分方程的一种常用方法，本节举例介绍了变量代换求解微分方程的一般思路。
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●7.6可降阶的高阶微分方程
本节介绍三种类型的可降阶的高阶微分方程，它们都可以通过变量代换化为较低阶的方程来求解。其中后两种类型的方程属于二阶微分方程，要注意区分方程的特点和解法上的差别。
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●7.7高阶齐次线性微分方程解的结构
本节介绍二阶齐次线性微分方程解的结构性质，并进一步推广到n阶情形。这为我们进一步求解高阶齐次线性微分方程提供了方便。
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●7.8高阶非齐次线性微分方程解的结构
本节介绍二阶非齐次线性方程解的结构性质，可以进一步推广到n阶情形。这为我们进一步求解高阶非齐次线性微分方程提供了方便。
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●7.9二阶常系数齐次线性微分方程及其解法
本节介绍二阶常系数齐次线性微分方程及其解法，这类方程的特点是不用积分运算，只需要代数方法就可以求出它的通解。
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●7.10二阶常系数非齐次线性微分方程及其解法（一）
本节介绍二阶常系数非齐次线性微分方程，当右端项为多项式与指数函数的乘积时，求特解的待定系数法，它的特点是不需要积分，利用代数方法就可求特解。
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●7.11二阶常系数非齐次线性微分方程及其解法（二）
本节介绍二阶常系数非齐次线性微分方程当右端项为第二种形式时，求特解的待定系数法，总体思路与上一节介绍的第一种类型相似，特点是不需要积分，利用代数方法就可求特解。