课程简介
变分学是数学分析的一个重要组成部分，是一门与其他数学分支密切联系、并有广泛应用的数学学科。近几十年来，变分学不论是在理论上还是在应用中都有了很大发展，与数学其他分支的联系也更加紧密，已经成为大学数学教育不可缺少的部分。
课程大纲
本慕课是2016年“北大助教建设型MOOC项目”的重要成果之一，感谢数学学院张栋、赵晗琮对本课程的贡献。
本课程分为两大部分：第一部分是经典变分学的基本内容，第二部分重点介绍直接方法及其理论基础。其材料的选取，内容的编排，问题与概念的表述，以及证明的分析与讲解均极具特色。
具体的章节条目如下：
Ch1 变分学与变分问题
1-1 什么是变分学
1-2 变分学的历史
1-3 变分学和其它学科的关系
1-4 预备知识与课程介绍
1-5 泛函的概念与变分学的引入
1-6 第一个例子（最速下降线问题）
1-7 第二个例子（极小曲面问题）
1-8 第三个例子（产品再投资模型）
1-9 第四个例子（图像处理）
Ch2 Euler-Lagrange方程
2-1 函数极值的回顾
2-2 Euler-Lagrange方程的推导
2-3 duBois-Reymond引理
2-4 Euler-Lagrange方程的微分形式
2-5 Euler-Lagrange方程的一些注记
2-6 euler-lagrange方程与变分导数
2-7 应用（质点运动）
2-8 euler-lagrange方程的求解
2-9 应用（捷线）
Ch3 泛函极值的必要条件与充分条件
3-1 函数极值的再回顾
3-2 二阶变分
3-3 legendre-hadamard条件
3-4 jacobi场的引入
3-5 jacobi场的作用
3-6 共轭点
3-7 一个辅助引理
3-8 共轭点定理的证明
3-9 关于共轭点的一个严格极小定理
Ch4 强极小与极值场
4-1 强极小和弱极小
4-2 弱极小非强极小的例子
4-3 强极小的必要条件
4-4 weierstrass过度函数
4-5 强极小的充分条件
4-6 强极小的充分条件的应用
4-7 极值场与强极小的充分条件的证明
4-8 mayer场,hilbert不变积分
Ch5 Hamilton-Jacobi理论
5-1 Hamilton-Jacobi理论
5-2 Hamilton方程组的物理解释与legendre变换
5-3 Hamilton方程组的推导
5-4 Hamilton-Jacobi方程
Ch6 含多重积分的变分问题
6-1 多重积分变分问题的一阶变分:euler-lagrange方程
6-2 duBois-Reymond引理
6-3 三个小例子
6-4 多重积分变分问题的二阶变分
6-5 多重积分变分问题弱极小的必要条件:legendre-hadamard条件
6-6 多重积分变分问题弱极小的充分条件
Ch7 约束极值问题
7-1 Lagrange乘子法的回顾和几何解释
7-2 泛函条件极值的Lagrange乘子法
7-3 泛函条件极值的Lagrange乘子法的证明
7-4 例子:等周问题
7-5 逐点约束极值的Lagrange乘子定理
7-6 逐点约束极值的Lagrange乘子定理的粗略证明
7-7 逐点约束极值的Lagrange乘子定理的一些说明
7-8 逐点约束极值定理的几个应用
Ch8 守恒律与noether定理
8-1 特殊的单参数函数族的Noether定理
8-2 一般的局部单参数变换群的Noether定理
8-3 守恒律例子：m质点系统的能量守恒
8-4 守恒律例子：m质点系统的动量守恒和角动量守恒
8-5 内极小
8-6 经典变分学小结
Ch9 直接方法
9-1 Dirichlet原理
9-2 Weierstrass的反例
9-3 序列紧性的回顾
9-4 弱收敛和*弱收敛的回顾
9-5 弱收敛不一定强收敛的例子
9-6 Riemann-Lebesgue定理
9-7 *弱列紧
9-8 *弱列紧性的应用
9-9 Dirichlet原理的验证
Ch10 Sobolev空间
10-1 求泛函极小的程序（步骤）以及广义函数的定义
10-2 Sobolev空间的定义
10-3 W1,q(Ω)完备性
10-4 Sobolev空间的共轭空间
10-5 Sobolev空间的泛函理论
10-6 Sobolev嵌入定理
10-7 Rellich Kondrasheev定理
10-8 一维Sobolev空间
10-9 Euler-Lagrange方程
Ch11 弱下半连续性
11-1 凸集与凸函数回顾
11-2 简单的例子
11-3 Tonelli-Morrey定理
11-4 Tonelli-Morrey定理的证明
11-5 Riemann-Lebesgue定理与弱收敛的理解
11-6 W1q版本的Riemann-Lebesgue定理
11-7 序列弱下半连续
11-8 拟凸性
Ch12 存在性与正则性
12-1 存在性简述
12-2 ODE的正则性简述
12-3 ODE的正则性定理
12-4 ODE正则性例子
12-5 例子（强迫振动）
12-6 例子（测地线）
Ch13 特征值问题
13-1 正交投影方法
13-2 薄膜的障碍问题（正交投影方法的应用）
13-3 特征值问题的引入
13-4 特征值问题的解
13-5 特征值问题总结
13-6 特征展开
本课程分为两大部分：第一部分是经典变分学的基本内容，第二部分重点介绍直接方法及其理论基础。其材料的选取，内容的编排，问题与概念的表述，以及证明的分析与讲解均极具特色。
具体的章节条目如下：
Ch1 变分学与变分问题
1-1 什么是变分学
1-2 变分学的历史
1-3 变分学和其它学科的关系
1-4 预备知识与课程介绍
1-5 泛函的概念与变分学的引入
1-6 第一个例子（最速下降线问题）
1-7 第二个例子（极小曲面问题）
1-8 第三个例子（产品再投资模型）
1-9 第四个例子（图像处理）
Ch2 Euler-Lagrange方程
2-1 函数极值的回顾
2-2 Euler-Lagrange方程的推导
2-3 duBois-Reymond引理
2-4 Euler-Lagrange方程的微分形式
2-5 Euler-Lagrange方程的一些注记
2-6 euler-lagrange方程与变分导数
2-7 应用（质点运动）
2-8 euler-lagrange方程的求解
2-9 应用（捷线）
Ch3 泛函极值的必要条件与充分条件
3-1 函数极值的再回顾
3-2 二阶变分
3-3 legendre-hadamard条件
3-4 jacobi场的引入
3-5 jacobi场的作用
3-6 共轭点
3-7 一个辅助引理
3-8 共轭点定理的证明
3-9 关于共轭点的一个严格极小定理
Ch4 强极小与极值场
4-1 强极小和弱极小
4-2 弱极小非强极小的例子
4-3 强极小的必要条件
4-4 weierstrass过度函数
4-5 强极小的充分条件
4-6 强极小的充分条件的应用
4-7 极值场与强极小的充分条件的证明
4-8 mayer场,hilbert不变积分
Ch5 Hamilton-Jacobi理论
5-1 Hamilton-Jacobi理论
5-2 Hamilton方程组的物理解释与legendre变换
5-3 Hamilton方程组的推导
5-4 Hamilton-Jacobi方程
Ch6 含多重积分的变分问题
6-1 多重积分变分问题的一阶变分:euler-lagrange方程
6-2 duBois-Reymond引理
6-3 三个小例子
6-4 多重积分变分问题的二阶变分
6-5 多重积分变分问题弱极小的必要条件:legendre-hadamard条件
6-6 多重积分变分问题弱极小的充分条件
Ch7 约束极值问题
7-1 Lagrange乘子法的回顾和几何解释
7-2 泛函条件极值的Lagrange乘子法
7-3 泛函条件极值的Lagrange乘子法的证明
7-4 例子:等周问题
7-5 逐点约束极值的Lagrange乘子定理
7-6 逐点约束极值的Lagrange乘子定理的粗略证明
7-7 逐点约束极值的Lagrange乘子定理的一些说明
7-8 逐点约束极值定理的几个应用
Ch8 守恒律与noether定理
8-1 特殊的单参数函数族的Noether定理
8-2 一般的局部单参数变换群的Noether定理
8-3 守恒律例子：m质点系统的能量守恒
8-4 守恒律例子：m质点系统的动量守恒和角动量守恒
8-5 内极小
8-6 经典变分学小结
Ch9 直接方法
9-1 Dirichlet原理
9-2 Weierstrass的反例
9-3 序列紧性的回顾
9-4 弱收敛和*弱收敛的回顾
9-5 弱收敛不一定强收敛的例子
9-6 Riemann-Lebesgue定理
9-7 *弱列紧
9-8 *弱列紧性的应用
9-9 Dirichlet原理的验证
Ch10 Sobolev空间
10-1 求泛函极小的程序（步骤）以及广义函数的定义
10-2 Sobolev空间的定义
10-3 W1,q(Ω)完备性
10-4 Sobolev空间的共轭空间
10-5 Sobolev空间的泛函理论
10-6 Sobolev嵌入定理
10-7 Rellich Kondrasheev定理
10-8 一维Sobolev空间
10-9 Euler-Lagrange方程
Ch11 弱下半连续性
11-1 凸集与凸函数回顾
11-2 简单的例子
11-3 Tonelli-Morrey定理
11-4 Tonelli-Morrey定理的证明
11-5 Riemann-Lebesgue定理与弱收敛的理解
11-6 W1q版本的Riemann-Lebesgue定理
11-7 序列弱下半连续
11-8 拟凸性
Ch12 存在性与正则性
12-1 存在性简述
12-2 ODE的正则性简述
12-3 ODE的正则性定理
12-4 ODE正则性例子
12-5 例子（强迫振动）
12-6 例子（测地线）
Ch13 特征值问题
13-1 正交投影方法
13-2 薄膜的障碍问题（正交投影方法的应用）
13-3 特征值问题的引入
13-4 特征值问题的解
13-5 特征值问题总结
13-6 特征展开