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第一章绪论
高数简单学的课程定位非常重要，我们要让晦涩的高等数学走下神坛，我们要给学生呈现数学经典定理和结论的前世今生，让学生通过课程和自我探究充分认识课本以外的高数，了解每一个经典的起源和每一个经典产生过程中数学家们的火热思考过程，将数学冰冷的美丽用火热的思考过程化解掉。
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●1.1数学是什么
数学是什么？这是一个范畴类的问题，设计这一节主要是针对性地提出几个日常与数学有关的问题，而答案是开放性的，这样可以高效地吸引学生的学习兴趣，也就是运用问题将数学的无所不在和无所不能展现给学生，从根本上让学生体会数学之美，数学之有用和数学之有趣。
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●1.2高等数学是什么
高等数学是什么？这同样是一个很大的问题，要回答好这个问题需要教师对高数有一个全局的掌控，需要教师能够高屋建瓴地为学生阐述高数的主体微积分的来龙去脉。这需要真功夫。我们从积分学和微分学两个方面的数学史入手，由特殊到一般的探究方法，让学生可以更加直观地感受微积分的来历并没有多么神秘。
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第二章函数与极限
高数的研究对象是函数，高数的主体是研究函数的微积分，研究工具是极限。所以第二章是在介绍高数的研究对象和使用工具，知己知彼，百战不殆，充分认识研究对象和学会使用研究工具对于高数来说至关重要。
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●2.1初等函数
初等函数是高数研究对象中的一个大类，还有一类是分段函数。作为初等函数，要认识它只需要认识和了解基本初等函数即可，而基本初等函数在中学大多都已经学习过，所以这部分大家可以轻车熟路。
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●2.2极坐标
极坐标是非常重要的一个知识点，在定积分的应用中和二重积分三重积分中都有深刻的体现。许多负责曲线用直接坐标无法描绘出他们的图形，但借助于极坐标就会非常容易。这是极坐标的优势所在。
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●2.3数列极限的定义
数列极限定义的产生成功地化解了第二次数学危机，使原本混乱的微积分的逻辑基础得到重构，数列极限定义的产生具有划时代的历史意义。该节设计从直观定义入手结合生动具体的教学活动与学生们一起归纳总结出数列极限的严格定义。
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●2.4收敛数列的性质
收敛数列具备许多非常好的性质，这些性质对于我们讨论收敛与发散非常有帮助。另一方面，收敛数列的这些性质在讨论级数的敛散性方面也是至关重要的。
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●2.5函数极限的定义
数列是特殊的函数，在数列极限定义的基础上可以类比得到函数极限中自变量走向无穷远时的情形。自变量走向有限点时，函数的极限存在与否与函数在该点是否有定义毫无关系，这是一个容易混淆的点。恰恰是有了函数极限的定义之后，在此基础上我们才能谈连续性，才能谈函数的微分学和积分学。
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●2.6函数极限的性质
函数极限的性质前三个与数列极限的性质一脉相承，这里不再做过多的赘述。这里重点是函数极限与数列极限之间的关系，是一种辩证统一的关系。
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●2.7无穷小
无穷小量是极限存在的一种特殊形式，这种形式最简单。同时我们从数学史的角度引入无穷小，这充分体现了无穷小的重要历史地位和价值。无穷小的运算性质也是函数求极限的一个重要依据。尤其是无穷小乘有界函数依然是无穷小量。
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●2.8无穷大
无穷大是一种极限不存在的形式，由于它与无穷小之间的关系特殊，所以把这种极限不存在也拿出来讨论。这节的难点是无穷大与无界之间的关系。无穷大与无穷小之间的关系可以帮助我们求某些特殊的极限。
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●2.9极限的运算法则
极限的运算法则是我们对数列或函数进行极限求解的一个系统的理论依据。在该节一定要特别注意极限这些运算法则的前提条件。
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●2.10夹逼准则
夹逼准则是第一个极限存在的判定准则。在学习这一节之前，判断数列或函数有极限的方法除了定义以外就没有其他的方法了。而定义又的确有些繁琐和晦涩。判定准则无疑为我们提供了定义以外的一个判定极限存在的好工具。该夹逼准则对数列和函数都适合。它本身就是一个非常实用的方法，另外它还推导出了第一个重要极限，第一个重要独立成为一个非常好用的求极限的工具。从而夹逼准则一举两得。
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●2.11第一个重要极限
极限贯穿微积分的始终。而其中只有两个极限被称为重要极限，这一节要讲的是第一个重要极限。需要强调的是第一个重要极限的正确性需要运用夹逼准则来验证。另外，在该节课不仅仅是学习了一个极限，而是学习了一类极限。形式相同，则结论一致。
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●2.12单调有界准则
该节我们从实际的存款复利问题作为问题导向，通过直观和严格两方面来验证了单调有界准则的正确性，随后运用单调有界准则来解决开始的现实问题，即数列形式的第一个重要极限的存在性。
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●2.13第二个重要极限
由上一讲的数列情形如何过渡到一般的函数情形，如何推广和演化，如何使用是这一讲的重点和难点。
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●2.14无穷小的比较
无穷小是极限为零的函数，但不同的无穷小，他们趋向于0的快慢速度却大相径庭，从而就有了无穷小的比较。在这些比较中最重要的是等价无穷小。等价无穷小说明两者走向0的快慢差不多，从而才有了下一节中的等价代换，通过等价代换才使得极限的计算变得更加简单。所以常用的几个等价无穷小非常重要。
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●2.15函数的连续性
函数的连续性是用极限来定义的。函数在一点的连续需要满足有定义，有极限，极限等于函数值这样三层含义。正因为极限有左右，所以连续也有左右，从而就有了连续的重要条件。
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●2.16函数的间断点
不连续的点成为间断点。两类间断点的分类界限需要搞清楚。第一类是左右极限都存在；第二类是左右极限至少有一个不存在。两类各自的分类也同样非常重要。
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●2.17连续函数的运算
通过连续函数的四则运算，反函数的连续性等，最终在该节我们推导出了所有的基本初等函数皆连续。
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●2.18初等函数的连续性
结合上一讲和复合函数的连续性，最终帮助我们推导出一个至关重要的结论：那就是所有的初等函数在其定义区间内皆连续。有了该结论以后再求极限就是求函数在所求点的函数值。只不过我们经常带人得到的是未定式而已。遇到未定式我们需要借助于重要极限等其他的极限方法来求解。
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●2.19闭区间上连续函数的性质
该节的函数需要满足的一个大前提是闭区间上的连续函数。有了这两个大前提，再结合一些端点函数值异号，端点函数值不同等条件便可以类比派生出其他的有价值的定理。
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●2.20习题课一
极限的概念是该章的难点，如何更好地利用概念是非常重要的一个课题。该节习题课我们主要通过概念得到几条常用的充要条件，通过典型例题直观感受充要条件的作用和意义所在。
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●2.21习题课二
掌握几个基本极限，掌握两个重要极限的标准型和推广型；记住常用的等价无穷小，学会运用等价无穷小的代换来求极限；以上是该节习题课的重点内容。
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●2.22习题课三
该节主要复习连续函数和间断点的相关内容。通过典型例题一起复习间断点的分类和连续的定义。
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第三章导数与微分
导数是微积分中的重要基本概念。它描述变量在某时刻的瞬时变化的快慢程度。导数不仅是一个数学概念，更广泛应用于工程学、物理学、经济学等很多领域。
在本章，首先介绍导数定义，挖掘导数的本质，探究导数的几何意义和物理意义；由于导数定义本身给出了验证函数在一点的可导性及计算导数的方法，因此作为应用，我们给出一些基本初等函数的导数公式；当然由于函数的多样性和复杂性，还需要寻求更简洁有效的求导方法，为此推导了导数的四则运算法则、反函数求导法、复合函数求导法、隐函数求导法和参数函数的求导法。其次通过对增量的研究引出微分的定义，发现微分其实是变量在某时刻的增量的线性近似，这样，对于可微函数可以实现非线性问题的局部线性近似。另外对于函数在某一点处的极限、连续、可导、可微之间关系的明确对于概念的理解和应用也是非常重要的。 -
●3.1导数概念的由来
导数定义成功物理学不同概念中共性的数学结构提炼出来，建立统一的数学概念，广泛应用于各种领域。该节设计从具体问题入手，引导学生发现问题本质，得到导数概念。
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●3.2导数的几何意义
本节是带领学生从导数定义出发，研究当函数在某一点的导数存在时，函数对应的曲线在对应点处所表现出的几何方面的特征，就是曲线在该点由不垂直于x轴的切线。当然利用直线的点斜式表示进一步可以给出切线及法线法线方程。
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●3.3可导与连续的关系
连续和可导是函数的两大重要性质，又都与增量和极限有关，因此有必要考虑二者之间的关系。本节引导学生通过观察图形去提出问题，用已有知识去探究和验证答案。得到：函数在一点可导，则它再在该点一定连续，但是具体实例表明反之并不成立。本节的研究方法是数学研究和学习经常采用的方法。
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●3.4函数和差积商的求导法则
函数的构成及导数的定义都说明有必要解决一个问题：函数的和差积商的导数是否等于导数的和差积商？通过具体问题发现两个函数的差的导数可能等于导数的差，而两个函数乘积的导数并不一定就是导数的乘积，于是提出问题：函数和差积商的导数等于什么？利用定义可以推导出两个函数的和差积商的求导法则。
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●3.5反函数的求导法则
本节通过观察函数及其反函数图形，联系导数的几何意义，观察曲线过某一点的切线和反函数过相应点的切线的位置，找出两条切线的斜率的关系，在从理论上给出严格的证明。
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●3.6复合函数的求导法则
此处解决的是一般幂函数的求导公式，将幂函数看成是指数函数和对数函数的复合，运用复合函数的求导法则可得幂函数的求导公式。
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●3.7高阶导数
高阶导数是将低阶导数再求导得到的。但高阶导数的公式的确是更加负责，一般是采取直接的方法得到有限项，然后归纳总结。高阶导数也有和差积商的高阶的公式。尤其是两函数的乘积的n阶导的公式。
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●3.8隐函数求导
隐函数如果可以显化，那么它有两种求导方法；如果不能显化，那么就一种求导方法，那就是两边对自变量求导，把因变量看成复合函数。解方程可得隐函数导数公式。需要强调一点隐函数求导结果依然是隐函数，不管是一阶导数还是高阶导数。
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●3.9参数方程所确定函数的导数
参数方程所确定的函数也是无需显化，我们只要导数的结果。参数方程的特点是x,y之间没有直接的关系，都直接与参数有关系，可以利用反函数的导数法则推导处参数方程的求导公式。
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●3.10相关变化率
导数就是变化率，相关变化率指的是在同一数学模型中，相关的两个变量之间同时都对共同的某一变量求导，即得到两个相关的导数，这就是相关变化率。
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●3.11微分的定义
微分是高等数学的一个重要部分，其基本思想是非线性问题的局部线性近似。本节首先从生活中常见问题出发，引出部分函数当自变量增量较小时，函数增量表现出的共性，提炼出严格的数学定义。其次引导学生从函数可微的定义出发，利用极限存在的等价条件推导出函数可导的结果。这自然会让人产生疑问：函数在一点可导是否也可以得到可微的结论？为此带领学生以问题为导向，充分利用可导的条件，进一步证明函数可微的结果。通过这个过程使学生熟悉进行数学理论研究时的研究方法。
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●3.12微分的几何意义
本节从微分的概念上来看，比较抽象，为了对它有更直观的了解，带领学生从定义出发，结合对函数图形的观察，去发现微分在几何上的意义。在通过具体问题加深对几何意义的深入理解。
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●3.13微分公式与微分运算法则
本节由函数可微与可导的等价关系，很容易将基本初等函数的导数公式修改为微分公式，对于函数和差积商的微分法则以及复合函数的微分法则都不难给出证明。复合函数微分公式所表现出的形式不变性尤其具重要意义和应用价值。
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●3.14微分在近似计算中的应用
本节利用微分是函数增量的线性主部，引导学生自己得出两个近似计算公式，进一步说明了可微函数在局部范围内可以用线性函数近似表示。并给出几个工程技术上常用的线性近似公式。
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●3.15习题课一
导数的定义是本章的重点也是难点，如何灵活应用可导的等价条件、可导与连续的关系解决具体问题学生需要掌握的重点技能。本节首先相关内容，以几个典型例题巩固基本知识，总结解题方法，提高基本技能。
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●3.16习题课二
总结部分求导方法，包括：四则运算法则，反函数的求导法，复合函数求导法，特别是高阶导数的计算，通过典型例题带领学生灵活熟练使用这些公式解决具体问题。
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●3.17习题课三
本节主要复习隐函数求导法、对数求导法、参数方程确定的函数的求导法和相关变化率，特别是在一阶导数基础上求二阶导数是个难点。通过典型例题巩固这几种求导数及二阶导数的方法，带领学生熟练各种方法求一阶及二阶导数。
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●3.18习题课四
本节首先复习微分的相关内容，包括：微分定义、微分的几何意义、函数可微的条件、基本微分公式及微分的形式不变形。其次通过典型例题带领学生巩固本部分内容，总结解题方法，提高综合分析能力。
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第四章微分中值定理与导数的应用
微积分包含微分学和积分学两部分。应用是微分学内容的升华。通过函数的导数的性质来反映函数的性态是该章的核心。
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●4.1微分中值定理
微分中值定理是微分学的核心内容。微分中值定理之所以重要是因为，它将函数与函数的导数之间建立起联系，使通过函数的性质来讨论导数的性质成为可能；另一方面，也使得通过导数来讨论函数的性质成为可能。这是非常了不起的成就。
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●4.2洛必达法则
未定式是求极限中经常遇到的一类问题。有些未定式可以通过约掉零因子来得到结果，但也有很多未定式没法约分，其中的0/0型 ∞/∞型只要满足必须的条件即可通过分子和分母的分别求导来求极限。但也要注意洛必达法则也有失效的时候。求极限本来是第二章着重讨论的内容，为什么要放到第四章来学习呢？原因是洛必达法则的正确性依赖于微分中值定理的内容，还有一方面就是导数是第三章的内容，由此洛必达法则这个求极限的经典方法必须放到第四章来讨论。
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●4.3泰勒公式
泰勒公式的作用可以追溯到微分的近似计算，微分的近似计算存在两个致命问题，一是精确度不高；二是误差不易估计。而该节的泰勒公式就会很好地规避这些不足。泰勒公式的意义远不至此，在无穷级数的部分，它的作用更是会彰显无疑。
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●4.4函数的单调性与曲线的凹凸性
函数的单调性与函数的一阶导数有关；函数的曲线的凹凸性与函数的二阶导数有关。在该节充分体现了函数与其导数之间的关系，可以通过导数的性质来描绘函数的性态，其中微分中值定理功不可没。
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●4.5函数的极值与最大值、最小值
极值存在的必要条件和两个充分条件是重点。极值的问题搞清楚后，那么最值的问题也就迎刃而解。这是因为所有的极值再加上两端点处的函数值，把这有限个数值比较一下大小，最值立竿见影。
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●4.6曲率
曲线的弯曲程度在工程上力学上都非常重要，如何度量曲线的弯曲程度，这便是曲率的舞台。曲率与弧长成反比，与切线的转角成正比，结合弧微分的准备工作，我们可以推导出曲率的公式。
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●4.7习题课一
着重复习微分中值定理和洛必达法则。三个微分中值定理有其各自的特点和适用范围。比如拉格朗日中值定理特别适用于验证三项之间的不等式关系；比如柯西中值定理适用于验证两个不同函数之间的等式关系。洛必达法则这一节的难点是除了0/0型 ∞/∞型之外的其他形式的未定式，它们需要一些技巧将其转化为经典的0/0型 和 ∞/∞型，再利用洛必达法则。
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●4.8习题课二
综合对泰勒公式，单调，凹凸，极值，最值等知识进行了系统的复习。通过经典的例题，更清晰地数理以上内容的关联性。