第一章行列式

行列式是研究线性代数的重要工具之一，行列式是整个线性代数的基础。行列式从本质上来讲就是一个数。本章主要介绍行列式的定义，性质及计算。

●1.1二阶与三阶行列式

二阶行列式与三阶行列式是由求解二元与三元线性方程组引出的。本节主要介绍二阶与三阶行列式的定义、对角线法则。要求掌握用对角线法则计算二阶与三阶行列式的方法，并会用二阶、三阶行列式求解二元、三元线性方程组。

●1.2全排列与对换

全排列和对换是学习行列式定义的基础知识。本节介绍了全排列、全排列的逆序数及全排列的对换。要求掌握全排列逆序数的求法，奇偶排列的判定，并掌握对换的性质。

●1.3n阶行列式的定义

n阶行列式的定义是在二阶、三阶行列式的定义的基础上进行地推广。本节主要介绍n阶行列式的定义及特殊的行列式。要求掌握n阶行列式的定义，并记住上三角行列式、下三角行列式及对角行列式的特点及结果。

●1.4行列式的性质

行列式具有重要的运算性质，这些性质提供了计算行列式的方法。本节主要介绍行列式的六个性质。要求熟练掌握行列式的性质，并会应用行列式的定义计算低阶数字行列式及高阶行列式。

●1.5行列式的计算（一）

行列式的性质是就算行列式的一种重要方法，行列式的六个性质中包含了三种运算：交换运算、线性运算和数乘运算。本节通过典型例题，介绍应用行列式的性质计算行列式的方法。

●1.6行列式按行（列）展开

行列式的按行（列）展开，将高阶行列式降阶为低阶行列式，简化了行列式的计算。本节主要介绍了余子式及代数余子式的概念，行列式按行（列）展开法则，要求会求余子式及代数余子式，掌握行列式按行（列）展开法则。

●1.7行列式的计算（二）

应用行列式的按行（列）展开，将高阶行列式降阶为低阶行列式，从而大大简化了行列式的计算。本节通过典型例题介绍应用行列式的按行（列）展开法则计算行列式的方法，并介绍了一种重要的行列式—范德蒙德行列式。

第二章矩阵及其运算

矩阵本质上是一个数表，它是线性代数中一个非常重要且应用十分广泛的概念，矩阵贯穿于线性代数的几乎所有部分，掌握好矩阵的概念、运算及性质、理论是学好线性代数的基础。整个矩阵理论中，尤其要注重对逆矩阵和矩阵秩的掌握。

●2.1矩阵的概念

矩阵是线性代数的重要研究工具。本节介绍了矩阵的概念，常见的特殊矩阵及矩阵的简单应用。要求掌握矩阵的概念，记住常见的特殊矩阵，并区分矩阵与行列式。

●2.2矩阵的运算

矩阵的运算法则是矩阵的重要内容。本节介绍矩阵的线性运算、乘法运算、转置和方阵的行列式。要求熟练整我矩阵的各种运算及其运算规律。区分矩阵的运算与数的运算的不同，并掌握对称矩阵及伴随矩阵的相关内容。

●2.3逆矩阵

逆矩阵是矩阵的一种非常重要的运算，应用也非常广泛。本节介绍逆矩阵的概念、求法及初步应用。要求熟悉掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的条件，会用公式法求矩阵的逆，并会求解简单的矩阵方程。

●2.4克拉默法则

克拉默法则是线性方程组求解的基础，它提供了线性方程组是否有解的判定标准，并给出了求解方法。用克拉默法则求解方程组归根结底是进行行列式的计算，但克拉默法则有一定的局限性。要求掌握克拉默法则的内容，并会应用克拉默法则解方程组。

●2.5矩阵的分块法

高阶矩阵在运算时，比较麻烦，而将高阶矩阵分块，分成一些低阶子块后再做运算，会大大简化计算。本节介绍分块矩阵的定义及运算。要求掌握矩阵分块方法，尤其是对角矩阵、零矩阵等特殊的分块方法。

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

本章先引进矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念，并利用初等变换讨论矩阵的秩的性质；然后利用矩阵的秩讨论线性方程组无解、有唯一解或有无穷多解的充要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法。

●3.1矩阵的初等变换

矩阵的初等变换在线性代数中有着十分广泛的应用，是这门课程的基本工具之一。本节首先从方程组的同解变换入手，引出了矩阵的初等行变换，进而得到初等变换的概念；在此基础上，介绍了矩阵之间的等价关系，并借助“初等矩阵”这一概念，揭示了初等变换和矩阵乘法之间的关系；最后，通过举例介绍了初等变换的几种初步的应用。

●3.2矩阵的秩

矩阵的秩是矩阵的一种重要的数字特征。在本节中，我们先介绍了矩阵的秩的基本概念和求法，进而探讨了矩阵秩的性质及其简单的应用。要求准确理解矩阵秩的定义，熟练掌握求矩阵秩的方法。

●3.3线性方程组的解

求解线性方程组是线性代数课程的核心问题之一。克拉默法则借助于行列式只能处理特殊的线性方程组，本节利用矩阵工具分别对齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解的判定和具体求解步骤给予了详细的讲解。要求能利用矩阵的秩对方程组解的情况作出判断，并熟练掌握求解一般方程组的方法和步骤。

第四章向量组的线性相关性

向量与向量组是线性代数中研究问题的基本工具之一。由于有限个有序向量组可以构成矩阵，因此，向量组的相关概念和结论与矩阵的概念和结论有很大的关联。而方程组理论又是在矩阵运算和矩阵的秩的基础上建立起来的，因此本章的学习要特别注意向量组、线性方程组、矩阵这三者之间的转换关系。

●4.1向量组及其线性组合

本节首先介绍了向量、向量组、线性表示和线性组合等基本概念，在此基础上着重讲解了两个内容：（1）一个向量能由向量组线性表示的等价命题；（2）一个向量组能由另一个向量组线性表示的等价命题。重点理解好线性表示与线性方程组求解之间的关系。

●4.2向量组的线性相关性

本节首先介绍了线性相关和线性无关的定义，并在此基础上着重讲解了向量组线性相关性的判定定理。要求能熟练利用定义和定理对向量组的线性相关性作出判断。

●4.3向量组的秩

本节先介绍了最大无关组，进而引出了向量组秩的定义，并通过讲解矩阵的秩与向量组的秩直接的关系，给出了求向量组秩的方法和寻找最大无关组的途径。

●4.4线性方程组的解的结构

在第三章当中，我们已经重点学习了如何求解一个具体的线性方程组。在本章当中，重点是通过向量这一工具揭示出线性方程组解的性质和结构。对于齐次线性方程组来说，重点掌握如何求解它的基础解系；对于非齐次线性方程组来说，重点是它与其对应的齐次方程组之间的关系。

●4.5向量空间

向量空间是一种特殊的向量组。在满足一定运算封闭的条件之后，向量组就成了向量空间。向量空间中的基与维数对应向量组的最大无关组与秩，在学习的时候，重点掌握向量空间的概念。

第五章相似矩阵及二次型

本章的核心内容是对称矩阵的对角化问题，特征值与特征向量都是为相似对角化做准备。二次型的标准形是对称矩阵合同对角化的直接应用。特征值与特征向量是线性代数的重要内容，它的主要应用有：求矩阵的幂、矩阵的对角化、二次型的标准形。要理解特征值及特征向量的基本概念，本章要求掌握求矩阵特征值与特征向量的方法，矩阵的特征值和特征向量的性质，尤其注意普通矩阵与实对称矩阵特征值和特征向量性质的差异，并会使用特征值与特征向量将矩阵进行对角化，会判断矩阵不可对角化的条件。

●5.1 向量的内积、长度及正交性

向量的内积、长度及正交性是本章的基础知识。本节介绍向量的内积、长度、夹角的定义、向量正交性，正交矩阵及正交变换。要求熟练掌握向量的内积、长度及夹角的求法，掌握施密特正交化方法，并会判断矩阵的正交性，掌握正交矩阵的性质。

●5.2方阵的特征值与特征向量

特征值与特征向量是线性代数的重要内容，它的主要应用有：求矩阵的幂、矩阵的对角化、二次型的标准形。本节介绍矩阵的特征值及特征向量。要求理解特征值与特征向量的意义，掌握矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，矩阵的特征值及特征向量的求法。

●5.3相似矩阵

矩阵的相似对角化在工程问题中具有广泛的应用。本节介绍相似矩阵的概念及一般矩阵的相似对角化。要求掌握相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件。

●5.4对称矩阵的对角化

对称矩阵的对角化是本章的核心内容。本节主要介绍对称矩阵的特征值与特征向量的性质，对称矩阵对角化的方法。要求数量掌握对称矩阵对角化的方法，掌握一般矩阵和对称矩阵的特征值与特征向量的性质的区别。

●5.5 二次型及其标准形

二次型及其标准形是对称矩阵对角化的几何应用，本节介绍二次型及其矩阵表示，及正交变换法化二次型为标准形的方法。要求熟练写出二次型对应的对称矩阵，并掌握正交变换法化二次型为标准形的方法。

●5.6用配方法化二次型成标准形

配方法也是化二次型为标准形的重要方法。本节介绍如何应用配方法化二次型为标准形。要求掌握配方法化二次型的步骤，并理解正交变换法与配方法化二次型为标准形的区别。

●5.7正定二次型

在工程技术领域，用的最多的是正定二次型。本节定义了正定二次型和负定二次型，并介绍了正定二次型的判定方法。要求熟练掌握正定二次型的各类判定方法。