-
绪章绪论
绪论
-
●0.1课程介绍
课程介绍
-
第一章数学的天空
第一章“数学的天空”点明主题，用1972年与2012年诺贝尔经济学奖主题民主选举与稳定婚姻开篇，旨在开发更多读者并从数学角度证明中国的制度自信，再用数学建模解析白马非马论，激发更多读者对中华文明的自豪感。
-
●1.1稳定婚姻——有情人终成眷属
稳定婚姻——有情人终成眷属
-
●1.2民主选举与阿罗不可能性定理
1972年诺贝尔经济学奖 —— 民主选举。
-
●1.3无限之坚——世上有难事
世上有难事 —— 无限之坚：无限理论。
-
●1.4纵横天下——辩术的数学原理
纵横天下 —— 辩术的数学原理：白马非马。
-
●1.5数道同本-数学之用与无用
贝特朗悖论
-
第二章图与数——数学之源
第二章“图与数—数学之源”用读者喜闻乐见的趣例建立后三章的数学基础，并用菲尔兹奖主题“万能多项式”展示现代数学的无穷魅力。
-
●2.1素数万能
素数与素数定理。
-
●2.2开天辟地——加减乘除
开天辟地——什么是加法?
-
●2.3奇偶永恒——伽罗华的神奇世界
奇偶永恒——伽罗华的神奇世界：奇偶性与有限域。
-
●2.4万物皆图——心由相生
万物皆图之心由相生：什么是曲线？什么是距离？
-
●2.5数图无间——神奇的15
神奇的15定理：现代勾股定理，四平方和定理的最高境界。
-
第三章至简至美——费马大定理
第三章“至简至美—费马大定理”先简洁地介绍其背景和相关历史后，然后将弗雷、里贝特、怀尔斯等证明谷山志村猜想的完整链条清晰地呈现给读者，对核心概念“模曲线”和“表示论”的分析阐述尤为合理、巧妙，使同学们能够感受费马大定理三百多年历史中数学家孜孜以求的科学精神和百折不挠的坚强意志，欣赏当代数学丰富多彩的精深理论和高超技巧，分享数学家登顶成功的欢欣鼓舞和经天纬地的万丈豪情 。
-
●3.1至简至美——费马大定理
至简至美——费马大定理：费马大定理的来龙去脉。
-
●3.2东方之光——中国剩余定理
东方之光——中国剩余定理：线性同余方程组理论。
-
●3.3见微知著——局部整体原则
见微知著——局部整体原则：p-进绝对值；二次同余方程理论。
-
●3.4千古绝唱——费马大定理
千古绝唱——费马大定理：费马大定理的古典理论。
-
●3.5变幻莫测——神秘的椭圆曲线
变幻莫测——神秘的椭圆曲线：椭圆曲线简介。
-
●3.6众目难睽——密码学与椭圆曲线
众目难睽——密码学与椭圆曲线：密码学与椭圆曲线密码简介。
-
●3.7周期之魅——椭圆函数与椭圆曲线
周期之魅——椭圆函数与椭圆曲线：椭圆函数简介。
-
●3.8美轮美奂——模群与模形式
美轮美奂——模群与模形式：模群与模形式简介
-
●3.9生死相依——谷山志村猜想
生死相依——谷山志村猜想：椭圆曲线与模形式的神秘对应。
-
●3.10前赴后继——莫代尔猜想
前赴后继——莫代尔猜想：高次代数曲线的有理解理论。
-
●3.11完美终结——七年铸剑怀尔斯
完美终结——七年铸剑怀尔斯：弗雷、里贝特、怀尔斯攻克费马大定理。
-
第四章天籁之音——黎曼假设
第四章“天籁之音—黎曼假设”介绍号称“数学第一问题”的黎曼假设，刘建亚教授“数学的天空”一文写到：本章“从黎曼zeta函数在极点s=1处的取值为调和级数（harmonic series）讲起，指出调和级数的“调和”来自和声...... 引入了毕达哥拉斯音阶，以及我国古代音乐理论“宫徵商羽角”的数学表达。还介绍了声律与连分数的关系，而且用简洁明快的语言介绍了古希腊三大作图难题，以及高斯关于正多边形尺规作图的伟大定理。第一节结尾，自然引进了十二平均律。第二节从傅立叶的声乐理论出发，阐述音色是形状的无穷级数，并且指出了为什么上述“和声级数”揭示了和声的秘密。第三节，用简洁明快的语言介绍了黎曼的伟大论文，证明了zeta函数的函数方程，并且介绍了著名的黎曼猜想。第四节至第六节介绍了研究zeta函数零点的各种方法以及结果，例如连接zeta函数零点分布与素数的计数函数之间关系的显式，寻找zeta函数非显然零点的方法，而高潮则是塞尔伯格的伟大定理，即落在临界直线上的非显然零点之集合在所有零点之集合中具有正密度，是塞尔伯格获得菲尔兹奖的重要成果之一。第四章结尾，作者指出，若黎曼猜想不正确，则音乐将一片狼藉，从而从美学角度圆了黎曼猜想之梦，圆满地呼应了本章的主题。通读第四章，既领略了黎曼猜想的数学内涵，又得到了畅快淋漓的美学体验，壮哉美哉！”
-
●4.1余音绕梁——黎曼假设
数学之巅——黎曼假设：黎曼ζ-函数与复变函数。
-
●4.2正负性——数学之根
正负性——数学之根：复数域的正负性与普通正负性的巨大差异。
-
●4.3异曲同工——五度相生与三分损益
异曲同工——五度相生与三分损益：古希腊与中国古代乐律学比较。
-
●4.4大音希声———音乐与数学
大音希声——音乐与数学：音乐与数学的关系。
-
●4.5和声绕梁—音乐与无穷级数
和声绕梁——音乐与无穷级数：音乐与傅里叶级数的关系。
-
●4.6神算欧拉与 ζ 函数
神算欧拉与ζ-函数：巴塞尔问题与欧拉积公式。
-
●4.7数学之巅—黎曼假设
数学之巅——黎曼假设：解析延拓与黎曼函数方程，ζ-函数的平凡零点。
-
●4.8黎曼的零点—从人脑到电脑
黎曼的零点——从人脑到电脑：计算ζ-函数的非平凡零点。
-
●4.9星火燎原——锲而不舍的零点追踪
星火燎原——锲而不舍的零点追踪：ζ-函数的非平凡零点的理论研究。
-
●4.10失去黎曼假设，人类将会怎样？
失去黎曼假设, 人类将会怎样? 黎曼假设研究现状，业余爱好应适可而止。
-
第五章大象无形——庞加莱猜想
第五章“大象无形—庞加莱猜想”以“宇宙是球吗?”这个日常生活问题开始，将读者拉上了与作者共同探讨宇宙秘密的“数学之旅”。显然，解决此问题首先需要回答“什么是球”？课程紧紧抓住庞加莱猜想所涉及的拓扑学的关键要素：单连通性与“紧性”，并以地球表面的几何特征给出了单连通性的直观解释，再以开闭区间的连续映射解释了“有限”与“有界”、“无限”与“无界”的差异，从而完美地为同学揭示了“紧性”这个抽象而关键的拓扑学概念。于是单连通2维闭曲面必定是球面这个简单命题的3维推广即是3维庞加莱猜想：“单连通的3维闭曲面必定是(术语为“同胚于”)3维球面”，这样的数学通识课程非常平易近人，可被同学轻松接受。该课程详细介绍了瑟斯顿几何化猜想所包含的八种几何，哈密尔顿的瑞奇流和佩雷尔曼的“熵函数”与“简化长度函数”,并将佩雷尔曼证明几何化猜想的逻辑步骤和技术细节完整呈现在读者面前。由于几何化猜想蕴含3维庞加莱猜想，从而佩雷尔曼终结了困惑人类整整一百年的庞加莱猜想。
-
●5.1大象无形——庞加莱猜想
大象无形——庞加莱猜想：宇宙的形状，七桥问题。
-
●5.2奇思妙想—解析宇宙之拓扑学
奇思妙想——解析宇宙之拓扑学：如何描述几何体？拓扑学简介，连续性。
-
●5.3乘天除地——拓扑空间的运算
乘天除地——拓扑空间的运算：拓扑学的基本运算。闭曲面的分类。
-
●5.4洞察秋毫——空间的秘密：代数
洞察秋毫——空间的秘密：代数：如何描述几何体的本质特征？
-
●5.5海阔天空—高维的召唤
海阔天空——高维的召唤：高维球面长什么样？4维及以上庞加莱猜想的证明。
-
●5.6雷霆万钧—几何化猜想
雷霆万钧——几何化猜想：3维几何体可以完全描述吗？
-
●5.7独辟蹊径—哈密尔顿的瑞奇流
独辟蹊径——哈密尔顿的瑞奇流：研究3维几何体的锐利武器。
-
●5.8倚天屠龙—从灵魂深处到宇宙之巅
倚天屠龙——从灵魂深处到宇宙之巅：佩雷尔曼登顶成功。