第一章多元函数微分法及其应用

本章主要介绍了多元函数的概念，二元函数的几何意义；二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；多元函数偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，全微分形式的不变性，全微分的简单应用；方向导数与梯度的概念及其计算方法；多元复合函数偏导数的计算；隐函数(包括由方程组确定的隐函数组)的概念及其导数和偏导数的求法；曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念及求其方程的基本方法；多元函数极值和条件极值的概念，多元函数极值存在的必要条件，二元函数极值存在的充分条件，求二元函数的极值、用拉格朗日乘数法求条件极值及求简单多元函数的最大值和最小值的方法，并会解决一些简单的应用问题。

●1.1多元函数的基本概念

多元函数是一元函数的推广, 它保留着一元函数的许多性质, 同时又因自变量的增多而产生了许多新的性质,对这些新性质尤其要加以注意.着重讨论了二元函数, 由二元函数可以方便地推广到一般的多元函数中去. 本节主要讲授了多元函数的概念、二元函数的几何意义、二元函数的极限与连续性的概念、有界闭区域上连续函数的性质。

●1.2偏导数

本节首先讨论二元函数的偏导数（即对单个自变量的变化率）, 这是多元函数微分学最基本的概念.然后介绍了高阶偏导数，也给出了偏导数（包括高阶偏导数）的计算方法，偏导数无论在理论上或在应用上都起着关键性的作用。

●1.3全微分

本节主要讲授了全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，全微分的计算和简单的应用。

●1.4多元复合函数的求导法则

本节讲授了多元复合函数的求导法则，给出了多元复合函数的全导数公式和偏导数公式，讨论了全微分的形式不变性。

●1.5隐函数的求导公式

隐函数是函数关系的另一种表现形式，本节讲授了隐函数(包括由方程组确定的隐函数组)的概念，给出了由方程（或方程组）所确定隐函数（或隐函数组）的导数和偏导数的求法，为下一节多元函数微分学的几何应用作了必要的准备。

●1.6多元函数微分学的几何应用

在本节中所讨论的曲线和曲面,由于它们的方程是以隐函数(组)的形式出现的,因此在求它们的切线或切平面时,都要用到隐函数(组)的微分法。本节讲授了曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，给出了求曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的方程的基本方法。

●1.7方向导数与梯度

在许多问题中, 不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率 (即偏导数), 而且还要知道在其他特定方向上的变化率,这就是本节所要讨论的方向导数. 本节讲授了方向导数与梯度的概念及其计算方法。同时也讲授了方向导数与偏导数、方向导数与梯度之间的关系以及梯度的几何意义。

●1.8多元函数的极值及其求法

本节主要讲授了多元函数极值和条件极值的概念；二元函数极值存在的必要条件与充分条件；给出了求二元函数的极值及求简单多元函数的最大值和最小值的方法，并会解决一些简单的应用问题。对于条件极值问题，其特点是极值点的搜索范围要受到各自不同条件的限制. 解决这类极值问题的方法叫做拉格朗日乘数法，条件极值问题的实际应用非常广泛。

第二章重积分

本章讲授了重积分的概念及重积分的性质；二重积分（直角坐标、极坐标）及三重积分（直角坐标系下、柱面坐标系下、球面坐标系下）的计算方法。应用重积分对一些简单的几何问题、物理问题（包括曲面图形的面积、质心、转动惯量、引力等）进行建模及计算的工作。

●2.1二重积分的概念与性质

二重积分是定积分在平面上的推广, 本节讲授了二重积分的概念、二重积分的性质以及二重积分的几何意义。

●2.2利用直角坐标计算二重积分

二重积分计算的要点是把它化为定积分。这里有多种方法, 其中最常用的是在直角坐标系下化为二次积分的计算，本节讲授了在 x 型或 y 型区域上二重积分的计算以及在一般区域上二重积分的计算 。

●2.3利用极坐标计算二重积分

在计算二重积分时，有些二重积分的积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，而且被积函数用极坐标变量 表达也比较简单，这时就可以考虑利用极坐标来计算二重积分，本节分三种情况:极点在D的内部、极点在D的外部、极点在D的边界上讲授了在极坐标系下二重积分的计算。

●2.4三重积分的概念与性质

本节通过典型物理背景—求密度非均匀分布的空间物体的质量引入三重积分的概念，还介绍了三重积分的几个重要性质。

●2.5直角坐标系下三重积分的计算

计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分来计算，本节通过切条法（先一后二）和切片法（先二后一），再进而化为三次积分讲授了直角坐标系下计算三重积分的方法。

●2.6柱面坐标系下三重积分的计算

本节给出了三重积分从直角坐标变换到柱面坐标的公式，利用这个公式进行三重积分的计算。

●2.7球面坐标系下三重积分的计算

本节给出了三重积分从直角坐标变换到柱面坐标的公式，利用这个公式进行三重积分的计算。

●2.8重积分的应用

应用重积分可求立体的体积及空间物体的质量, 还可求曲面的面积、立体的重心、转动惯量和物体之间的引力等. 本节利用（定积分的元素法）推广的重积分的元素法来讨论重积分在几何、物理上的一些其他应用.

第三章曲线积分

本章讲授了两类曲线积分的概念、两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系；两类曲线积分的计算方法。介绍了格林(Green)公式，并会运用平面曲线积分与路径无关的条件及全微分的原函数来计算曲线积分。

●3.1对弧长的曲线积分

本节通过求非均匀分布的曲线状物体的质量引入了对弧长的曲线积分的概念，同时给出了对弧长的曲线积分的一系列性质；讲授了对弧长的曲线积分化为定积分的计算公式的证明，接着通过典型例子利用公式计算对弧长的曲线积分；
最后给出了第一类曲线积分的应用：可求片柱曲面的面积和曲线的弧长，及求曲线形构件的质量、质心、形心、对坐标轴的转动惯量等实际量。

●3.2对坐标的曲线积分

第二类曲线积分与第一类曲线积分不同的是在有方向的曲线上定义的积分，
本节通过求质点在变力作用下沿曲线所做的功引入了对坐标的曲线积分的概念，而这类问题显然与曲线的方向有关。同时给出了对坐标的曲线积分的一系列性质；本节还讲授了对坐标的曲线积分化为定积分的计算公式的证明，推广并给出了三元函数沿着空间曲线对坐标的曲线积分的计算公式。并利用对坐标的曲线积分的计算公式，计算了各种情形的对坐标的曲线积分以及第二类曲线积分的应用举例。虽然第一类曲线积分与第二类型曲线积分来自不同的物理原型, 且有着不同的特性, 但在一定条件下, 如在规定了曲线方向之后, 可以建立它们之间的联系。最后讲授了两类曲线积分之间关系的公式的证明，并给出具体实例掌握这两类曲线积分之间的内在关系。

●3.3格林公式及其应用

在计算定积分时, 牛顿-莱布尼茨公式反映了区间上的定积分与其端点上的原函数值之间的联系;本节中的格林公式则反映了平面区域上的二重积分与其边界上的第二类曲线积分之间的联系。本节讲授了格林公式的证明及格林公式的应用，并介绍了曲线积分与路径无关的条件，利用曲线积分与路径无关来计算对坐标的曲线积分。

第四章曲面积分

本章讲授了两类曲面积分的概念、性质, 两类曲面积分的关系；两类曲面积分的计算方法。给出了高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式及利用高斯(Gauss)公式来计算曲面积分、利用斯托克斯(Stokes)公式来计算曲线积分的基本方法；利用曲面积分计算一些简单的几何量与物理量（曲面的面积、曲面的质量及流经曲面指定侧的流量等）的方法。

●4.1对面积的曲面积分

本节通过求物质曲面的质量引入了对面积的曲面积分的概念，由于定积分、重积分、第一类曲线积分与第一类曲面积分它们同属“黎曼积分”，因此具有相同实质的类似性质。并给出了对面积的曲面积分化为二重积分的计算公式的证明，通过具体实例利用推导出的公式计算对面积的曲面积分。

●4.2对坐标的曲面积分

对坐标的曲面积分的典型物理背景是计算流体从曲面一侧流向另一侧的流量。与对坐标的曲线积分相类似，对坐标的曲面积分与曲面所取的方向有关,本节首先定义了“曲面的侧”； 通过稳定流动的不可压缩流体流向曲面一侧的流量
问题引入了对坐标的曲面积分的概念，并给出了对坐标的曲面积分的一系列性质，也对坐标的曲面积分化为二重积分的计算公式给予证明，通过具体实例利用推导出的公式计算对坐标的曲面积分。同时给出了两类曲面积分之间的联系公式的证明，并给出具体实例掌握这两类曲面积分之间的内在关系。

●4.3高斯公式

高斯公式与和下一节要讲的斯托克斯公式都是格林公式的推广。高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二类曲面积分之间的关系。本节讲授了高斯(Gauss)公式并给予证明，然后举例利用高斯公式通过三重积分来计算曲面积分。

●4.4斯托克斯公式

斯托克斯公式建立了空间曲面上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的关系。本节讲授了斯托克斯(Stokes)公式并给予证明，然后举例利用斯托克斯(Stokes)公式通过曲面积分来计算曲线积分。