-
绪章绪章
本章从工程应用和日常生活中引入数学物理方程，介绍了数学物理方程的发展历史，在物理、数学中的重要性，以及数学物理方程的主要课程内容。
-
●0.1绪论
本节从工程应用和日常生活中引入数学物理方程，介绍了数学物理方程的发展历史，在物理、数学中的重要性，以及主要内容。
-
第一章一些典型方程和定解条件
在讨论数学物理方程的解法以前，首先要弄清楚数学物理方程所研究的问题的正确提法。我们一方面要建立描述某种物理过程的微分方程，另一方面要把一个特点的物理现象本身所具有的具体条件用数学形式表达出来。
-
●1.1基本方程的建立
在本节，我们从弦的微小横向振动这个物理过程出发，推导了表示振动过程的波动方程。从热传导过程出发，推导了表示扩散过程的热传导方程。
-
●1.2定解问题的提法
这一节，我们给出了初始条件和边值条件，并给出了偏微分方程的基本概念。最后对二阶线性偏微分方程给出了数学上的分类。
-
第二章分离变量法
这一章我们主要介绍了利用分离变量法来求解三类偏微分方程。针对齐次方程、齐次边界和非齐次方程，以及非齐次边界都介绍了方法。
-
●2.1准备知识
这一节中我们给出了分离变量法求解PDE过程中涉及到的基础知识：几类常微分方程的求解、正交函数系以分离变量法的理论基础：叠加原理。
-
●2.2齐次方程、齐次边界
本节我们针对齐次方程、齐次边界的波动方程和热传导方程直接利用分离变量法求解，清介绍了解的物理意义。
-
●2.3圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题
本节我们针对圆域内的二维拉普拉斯方程，利用分离变量法进行求解，要特别注意极坐标系的选择。
-
●2.4非齐次方程的解法
本节针对非齐次波动方程、热传导方程和稳恒状态方程，利用特征函数法进行求解。
-
●2.5非齐次边界
本节针对非齐次边界条件，利用边界的齐次化进行处理，将非齐次边界条件转化为齐次的。
-
第三章行波法与积分变换法
本章介绍求解定解问题的两类方法：行波法和积分变换法。
给出了行波法求解定解问题的具体思路和步骤，得到了一维波动方程的达朗贝尔公式。
利用积分变换法主要介绍了傅里叶积分变换法和拉普拉斯积分变换法，给出两类方法的具体思想和求解的步骤。
行波法只能用于求解无界域内波动方程的定解问题；积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界域，但对有界域也能应用。 -
●3.1行波法
本节主要介绍了应用行波法求解偏微分方程的主要思想、并用该方法推导出了一维波动方程的达朗贝尔公式。
-
●3.2行波法的应用
从物理的角度解释达朗贝尔公式的意义，即行波的叠加。
给出了相关的三个重要概念依赖区间、决定区域、影响区域的概念。 -
●3.3傅里叶变换的定义与广义傅里叶变换
本节主要给出了Fourier变换的定义，delta函数的定义和性质以及广义Fourier变换。
-
●3.4傅里叶变换的基本性质
本节主要介绍Fourier变换的基本性质：线性性质、位移性质、频移性质、微分性质、积分性质以及卷积性质。
-
●3.5傅里叶变换的应用举例
本节主要介绍如何利用Fourier积分变换求解偏微分方程的定解问题。
-
●3.6拉普拉斯变换的定义及其基本性质
本节介绍拉普拉斯变换的定义以及基本性质。
-
●3.7拉普拉斯变换的应用举例
本节介绍如何利用拉普拉斯变换求解常微分方程的定解问题和偏微分方程的定解问题。
-
第四章拉普拉斯方程的格林函数法
第四章讲拉普拉斯方程的格林函数法，内容包括通过格林公式建立拉普拉斯方程的解的积分表达式，格林函数的引入和计算，拉普拉斯方程第一边值问题的解。
-
●4.1拉普拉斯方程的引出
本节讲述Laplace方程的物理背景和边值问题的定义。
-
●4.2调和函数
本节讲述Laplace方程的解的积分表达式，以及Laplace方程第一边值和第二边值问题的解的性质
-
●4.3格林函数
本节给出格林函数的定义以及物理意义，格林函数在求解Laplace方程第一边值问题的作用
-
●4.4特殊区域上格林函数的求解
本节讲解特殊区域上格林函数的点像法计算，进而求解Laplace方程第一边值问题
-
●4.5Laplace方程的格林函数法总结
本节对三维空间的Laplace方程边值问题作总结，并给出二维情形下的相应的格林公式、Laplace方程解的积分表达式，以及特殊区域上的第一边值问题求解。
-
第五章贝塞尔函数
在本章，将通过在柱坐标系中对瞬时温度分布问题进行分离变量，引出贝塞尔方程，讨论了这个方程的解法及通解的形式，给出了贝塞尔函数的递推公式，研究了贝塞尔函数的正交性，并应用其性质解决了一类实际问题。
-
●5.1贝塞尔方程的引出
利用分离变量法求解了一个具体的温度变化问题，从而引出了贝塞尔方程。
-
●5.2贝塞尔方程的求解
首先介绍了Τ（α）函数的定义及性质。
利用幂级数展开法给出了贝塞尔方程的一类特解：贝塞尔函数。 -
●5.3贝塞尔方程的通解
通过讨论n为整数和不为整数两种情况，分别给出了贝塞尔方程的通解形式。
-
●5.4贝塞尔函数的递推式
通过研究贝塞尔函数的级数表达式，给出了相关的递推式，并应用递推式求解相关的积分和导数。
-
●5.5函数展开成贝塞尔函数的级数
首先展示了贝塞尔函数的零点的特点，证明了贝塞尔函数的加权正交性。将函数展开成级数的形式，利用其正交性确定其系数。
-
●5.6贝塞尔函数应用举例
求解一个具体的温度分布规律的问题。利用分离变量法及贝塞尔方程的通解形式给出了问题的解，其中确定系数时利用了贝塞尔函数的正交性及递推公式。
-
第六章勒让德多项式
在本章，通过在球坐标系中对拉普拉斯方程进行分离变量引出勒让德方程，讨论了勒让德方程的解法及解的有关性质，最后研究了勒让德多项式的正交性，并给出勒让德多项式的递推公式和勒让德多项式的应用举例。
-
●6.1勒让德方程的引出
本节我们通过在球坐标系中对拉普拉斯方程进行分离变量，引出勒让德方程和连带的勒让德方程。
-
●6.2勒让德方程的求解
本节我们采用幂级数解法求解勒让德方程，得到勒让德方程在(-1,1)内的两个线性无关的级数解y1,y2。
-
●6.3勒让德多项式
通过分析6.2节求出的两个特解y1和y2的性质，指出：当整数时，其中一个解为多项式，另一个解为无穷级数；当n不是整数时，两个解都是无穷级数. 特别的当n为正整数时，勒让德方程的通解为第一类勒让德函数Pn和第二类勒让德函数Qn的线性组合.并且给出了勒让德多项式Pn的表达式.
-
●6.4函数展成勒让德多项式的级数
本节主要研究了勒让德多项式的正交性以及将函数展开为勒让德多项式的级数。在此基础上讨论了勒让德多项式的递推式和应用举例。