第一章绪论

弹性力学是固体力学的一个重要分支，其任务是研究弹性体在外力、边界约束或温度变化等外界因素作用下产生的应力、应变和位移，从而解决各类工程中所提出的强度、刚度和稳定问题。本课程以理论力学、材料力学、结构力学和高等数学等课程为基础，系统论述平面问题、空间问题的基本理论和一些基本解答，为进一步学习固体力学的其他分支学科打下基础。同时，介绍弹性力学的一些数值解法，如变分法、有限单元法，这用弹性力学方法解决工程问题开辟更为广阔的前景。本章简要概述弹性力学的研究内容、发展简史、研究方法、基本假设和一般原理，重点阐述弹性力学的几个基本物理量以及弹性力学解决工程问题的基本思路，为后续内容的学习作铺垫。

●1.1弹性力学概述

弹性力学与其他几门力学课程（如理论力学、材料力学以及结构力学）有何联系和区别？为何还要学习弹性力学？弹性力学能够解决哪些复杂工程问题以及复杂工程问题的哪些方面？对于这些问题，本节首先从弹性力学的研究对象、研究任务、发展简史、基本假设和一般原理等几个方面进行概述，使学习者对弹性力学有初步的认知和了解。

●1.2弹性力学解决工程问题的基本思路——以应力强度为例

力学如何解决工程问题是学习力学课程时首先需要回答的问题，材料力学解决工程问题的基本思路是什么？弹性力学解决工程问题的思路与材料力学是否相同？为此，本节以应力强度为例，从应力的定义及其两种分解形式出发，通过剖析材料力学解决工程问题的基本思路，重点阐述一点的应力状态、应力张量和主应力等概念，由此引出弹性力学解决工程问题的基本思路和研究方法，最后对弹性力学解决工程问题中应力强度的思路进行总结。

第二章平面问题的基本理论

弹性力学平面问题是二维问题，能够简单直观地阐述弹性力学的基本概念和基本理论，所得结果在工程中也有着广泛的应用，因而通常被当作是弹性力学的典型问题和入门内容。本章主要介绍两类平面问题的基本特征和本质特征，平面问题的基本方程（如平衡微分方程、几何方程和物理方程），平面问题的边界条件、圣维南原理及其应用，平面问题的基本解法（如位移解法、应力解法），以及常体力情况下的应力函数解法。

●2.1平面问题的基本方程（一）：平衡微分方程与几何方程

基本方程是在弹性体区域内基本未知量必须满足的方程，对于同一类型的弹性体，其基本方程是相同的，即基本方程是弹性体的共性。如何推导并建立弹性力学的基本方程，是求解弹性力学问题的首要任务。本节首先介绍弹性力学平面问题的基本概念，并从静力学和几何学两个方面，分别推导出平面问题的平衡微分方程和几何方程。

●2.2平面问题的基本方程（二）：两类平面问题的物理方程

基本方程中的平衡微分方程和几何方程都与物体的材料性质无关，它们是通过具体物体的材料性质联系起来的。因此，还需要考虑物理学方面的条件，建立所谓的物理方程。本节先介绍两类平面问题（即平面应力问题和平面应变问题）的基本特征和本质特征，再结合理想弹性体的广义胡克定律，分别导出平面应力问题和平面应变问题的物理方程。

●2.3平面问题的边界条件

弹性力学的基本方程是微分方程，不能直接求出基本未知函数，为此还必须考虑弹性力学的边界条件。对于每一个具体的弹性体，其边界条件是不同的，即边界条件是弹性体的个性。本节介绍位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件的基本概念，并重点阐述如何正确表达具体问题的边界条件。

●2.4圣维南原理及其应用（一）：基本概念

圣维南原理是弹性力学的一个基本原理，为简化局部边界上的应力边界条件提供了很大的方便。本节和下节以圣维南原理及其应用这一基本教学内容为例，开展研究案例教学的设计与实践。本节首先通过引入圣维南原理的历史及其生活实例，由浅入深地介绍圣维南原理的基本概念，并对工程应用中的注意事项进行阐述。

●2.5圣维南原理及其应用（二）：典型应用

结合上节的基本概念，本节首先介绍如何利用静力等效法和静力平衡法两种基本方法解决基本问题，然后对基本问题和基本方法分别进行了延拓，最后对圣维南原理的基本思想进行推广。通过对上述基本教学内容中的基本概念、基本问题和基本方法的深入阐述和延拓，并结合典型工程实例，探讨了在不同的局部边界上如何有效理解和灵活应用圣维南原理。

●2.6平面问题的基本解法：位移解法和应力解法

前面已经介绍了平面问题的基本方程和边界条件，为了求解方便，通常采用类似于代数方程中的消元法进行求解。根据基本未知函数的不同，弹性力学问题的基本解法可分为位移解法和应力解法。本节分别推导了按位移求解和按应力求解平面问题时的基本微分方程和边界条件，并对基本解法的典型案例进行分析。

●2.7平面问题的应力函数解法

在应力解法中，基本未知函数的个数偏多，直接求解较为不便。同时，工程中的体力往往为常量，这为我们将应力解法进一步简化为应力函数解法提供了依据。本节将推导在常体力的情况下，按应力函数求解平面问题时所需满足的基本微分方程，包括应力函数与应力分量的关系式，以及应力函数协调方程。

第三章平面问题的直角坐标解答

在常体力的情况下，按应力函数求解弹性力学平面问题时，应力函数必须满足的协调方程是一个偏微分方程，其通解不能写成有限项数的形式，因而一般不能直接求解问题，而只能采用逆解法或半逆解法。本章首先介绍逆解法和半逆解法的概念，然后介绍一类重要的逆解法，即多项式解答；最后介绍如何利用半逆解法求解简支梁受重力和均布荷载作用问题。

●3.1多项式解答

在常体力的情况下，利用应力函数求解具体的弹性力学平面问题时，一般有逆解法和半逆解法两种思路。本节首先介绍一类重要的逆解法，即多项式解答，包括应力函数分别为一次、二次和三次多项式的解答，然后利用逆解法对矩形梁的纯弯曲问题进行分析，并考察了矩形悬臂梁的两种约束条件。

●3.2综合案例（一）：简支梁受重力和均布荷载作用

逆解法没有针对性，且一般假定体力不计，对于具体问题而言，可能难以找到合适的应力函数。本节通过简支梁受重力和均布荷载作用这一工程实例来阐明半逆解法的解题步骤，并考察了简支梁仅受重力或者均布荷载作用时的解答，以及对比了弹性力学和材料力学的解答，梳理了两者研究方法的区别与联系。

第四章平面问题的极坐标解答

弹性力学问题在本质上是偏微分方程（组）的边值问题。边界条件对解题过程的难易程度具有决定作用。根据边界条件的特征，采用合适的坐标系求解弹性力学问题将会更为方便，对于圆形、圆环形、楔形及半平面体等弹性体，宜采用极坐标求解。本章首先介绍极坐标与直角坐标的变换关系，并利用这些坐标变换关系式，直接从直角坐标中的基本方程和应力函数解法导出极坐标中的基本方程和应力函数解法。然后，介绍了平面轴对称问题的位移解法，包括平面轴对称应力问题和平面轴对称位移问题，并利用平面轴对称问题的一般性解答分析了几个典型案例，如纯弯曲梁问题、均压圆环或圆筒以及压力隧洞问题。其次，利用应力函数解法解决了几个典型非轴对称问题和综合案例，包括小圆孔问题、圆弧形悬臂梁以及有趣的孔洞问题。最后，介绍了弹性力学的量纲分析方法，包括经典量纲分析法和广义量纲分析法，利用量纲分析法对楔形体和半平面体问题进行了分析，并以梯形水坝作为工程案例进行了分析和讨论。

●4.1极坐标与直角坐标的变换关系

本节采用矩阵形式表达了坐标变换关系式，重点介绍了坐标之间的一阶、二阶导数变换式，位移分量、体力分量的坐标变换式，以及应力分量、应变分量的坐标变换式。采用矩阵形式表达坐标变换关系式，反映了坐标变换之间的内在联系，体现了数学和力学问题中的简洁美、对称美和统一美。

●4.2极坐标中的基本方程及应力函数解法

本节介绍如何利用极坐标与直角坐标的变换关系，直接从直角坐标中的基本方程导出极坐标中的基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和物理方程，以及从直角坐标中的应力函数解法推导出极坐标中的应力函数解法。基本方程的坐标变换式，既是数学变换的自然结果，也是力学问题在直角坐标与极坐标中表达的内在统一结果。

●4.3平面轴对称问题的位移解法

对于弹性力学平面问题，一般用应力法或者应力函数法求解平面问题的解析解答，而位移法主要用于数值解答。但是，对于某些特殊的弹性力学平面问题，采用位移法求解可能更加简单方便，本节将应用位移法推导平面轴对称这一特殊问题的一般性解答。首先，阐明为何要将平面轴对称问题分为平面轴对称应力问题和平面轴对称位移问题，并分别给出了二类平面轴对称问题的基本方程及基本未知量；然后，利用位移法分别推导了平面轴对称应力问题和平面轴对称位移问题的一般性解答；最后，对两类平面轴对称问题进行总结。

●4.4平面轴对称问题的典型案例（一）：纯弯曲梁

纯弯曲梁是典型的平面轴对称应力问题。在上节中，我们推导了平面轴对称应力问题的一般性解答，包括应力分量和位移分量的一般性解答。本节将利用平面轴对称应力问题的一般性解答，直接考察纯弯曲梁的边界条件，得到曲梁纯弯曲的应力分量和位移分量解答，同时简要探讨了纯弯曲梁的应力函数解法。

●4.5平面轴对称问题的典型案例（二）：均压圆环或圆筒、压力隧洞

均压圆环或圆筒以及压力隧洞都属于典型的平面轴对称位移问题。本节利用平面轴对称位移问题的一般性解答，直接考察边界条件求出一般性解答中的待定系数，从而得到所求问题的应力分量和位移分量解答。首先，分析了均压圆环或圆筒问题的解答，并给出了两种特殊情况；接着分析了压力隧洞问题，并介绍了弹性体的接触问题。

●4.6典型非轴对称问题的解答（一）：小圆孔问题

前面几节主要介绍了平面轴对称问题的解答，而在工程实际中，非轴对称问题也十分普遍。在本节中，利用应力函数法求解典型非轴对称问题（一）：小圆孔问题。首先，简要介绍了小孔口应力集中的概念；其次，重点分析了带小圆孔的等值均布受拉薄板问题、带小圆孔的等值均布受拉受压薄板问题以及带小圆孔的一对边均布受拉矩形薄板问题；最后对基本问题进行了延拓。

●4.7典型非轴对称问题的解答（二）：圆弧形悬臂梁

本节继续介绍典型非轴对称问题的解答（二）：圆弧形悬臂梁。首先，考察圆弧形悬臂梁受环向集中力作用的问题，这一问题可以分解为平面轴对称应力问题与非轴对称问题的叠加；然后考察圆弧形悬臂梁受切向集中力作用的问题；最后对这些问题进行了总结与归纳。

●4.8综合案例（二）：有趣的孔洞问题

本节是综合案例教学实例，共分四个小问题，即：圆环受等值均布压力问题，任意形状薄板在全部边界（含孔口边界）上受均布压力问题，任意形状薄板仅在小圆孔处受均布压力问题，以及带小圆孔的薄板仅在任意形状外边界上受均布压力问题。通过这些有趣孔洞问题的分析，可以感受求解过程中坐标选择以及方法选择的统一性与灵活性。

●4.9弹性力学量纲分析方法（一）：经典量纲分析法

正如前面所强调的，在半逆解法中，最关键的是如何假设应力函数的形式。在本节中，将讨论如何利用经典量纲分析法来假设应力函数的形式，并分析楔形体在楔顶受集中力或者弯矩作用问题，以及在楔面受均匀分布荷载或者线性分布荷载作用的问题，从而掌握一类平面楔形体和半平面体问题的求解方法。

●4.10弹性力学量纲分析方法（二）：广义量纲分析法

经典量纲分析法具有一定的局限性，对于某些特殊问题可能会失效。在本节中，首先利用经典量纲分析法求解半平面体在左半部分受均匀分布的剪力问题，来说明经典量纲分析法对这一问题是失效的；进而引出广义量纲分析法对此问题进行求解，同时利用叠加法对该问题进行深入剖析，从而验证广义量纲分析法的正确性以及说明解答发散的原因；最后对广义量纲分析法进行了总结与推广。

●4.11工程案例：梯形水坝

前面已经利用量纲分析法求解了平面楔形体受外力作用的问题，如三角形水坝问题。然而，这种三角形坝体形式在实际工程中几乎是不存在的。为此，本节考虑一类更接近工程实际的梯形水坝问题。首先，将梯形水坝问题近似地等效为4个三角形坝体受外力作用问题的叠加；然后，对三角形坝体分别受重力和水压力作用、受均匀分布的面力作用，以及在坝顶受集中力作用和受弯矩作用的4个问题进行求解，并叠加得到梯形水坝问题的解答；最后应用Matlab和Ansys进行校核与验证。

第五章空间问题的基本理论

对于空间问题，在弹性体的区域内，仍然要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套基本方程，即平衡微分方程、几何方程和物理方程；在弹性体的边界上，还要建立边界条件，即在给定面力或约束的边界上，建立应力边界条件或位移边界条件。然后在边界条件下求解基本方程，得出应力分量、应变分量和位移分量。本章将从静力平衡的角度给出平衡微分方程和应力边界条件，从几何协调的角度给出几何方程和位移边界条件，并采用张量中的下标记号法来表示基本方程和边界条件。最后简要推导弹性力学的两种基本解法，即位移解法和应力解法。

●5.1空间问题的基本理论（一）：基本方程与边界条件

在平面问题中，我们是从弹性体的区域内和边界上分别给出基本方程和边界条件。在本节中，我们将从静力平衡方面给出平衡微分方程和应力边界条件，从几何协调方面给出几何方程和位移边界条件，从材料本构方面给出物理方程。这样，就将基本方程和边界条件转为上述三类基本关系，这为弹性力学问题的变分解法作好铺垫。同时，为简便起见，采用张量中的下标记号法来表示基本方程和边界条件。

●5.2空间问题的基本理论（二）：基本解法

与平面问题的基本解法一样，空间问题的基本解法也分为位移解法和应力解法二种。位移解法是以位移分量为基本未知函数，通过消元法，导出弹性体区域内只含位移分量的基本微分方程和相应的边界条件；应力解法是以应力分量为基本未知函数，通过消元法，导出弹性体区域内只含应力分量的基本微分方程（组）和相应的边界条件。最后，通过典型例题介绍了应力解答的应用。

第六章典型空间问题的解答

本章将应用空间问题的基本解法，给出几个典型空间问题的解答，包括半空间体、柱形杆扭转以及薄板弯曲问题，这些问题在工程中有着广泛的应用。其中，半空间体受重力及均布压力问题，以及半空间体受法向集中力问题都属于空间轴对称问题，可以按空间轴对称问题来求解；柱形杆扭转问题一般按应力解法来求解，而薄板弯曲问题则按位移解法来求解。

●6.1空间轴对称问题及半空间体问题

在空间问题中，一个重要的特殊情况就是空间轴对称问题。本节首先介绍空间轴对称问题的基本概念，并导出空间轴对称问题的基本方程和位移解法；然后分别求解半空间体受重力及均布压力问题和半空间体受法向集中力问题；最后对半空间体受法向集中力作用的沉陷公式进行讨论。

●6.2柱形杆扭转问题（一）：基本理论

柱形杆的扭转问题是工程中广泛存在的一类实际问题。本节介绍了柱形杆扭转问题的基本理论。首先，根据半逆解法引出普朗特应力函数，并导出其必须满足横截面区域内的泊松方程；其次，通过考察边界条件，分别导出了单连通和多连通两种情况下的侧面边界条件，以及端面边界上的扭矩公式；最后给出了柱形杆扭转问题的位移公式。

●6.3柱形杆扭转问题（二）：薄膜比拟法

对于物理现象不同但数学描述相同的问题，可以采用比拟法求解。扭转问题应力函数解法可以借助于所谓的薄膜比拟法，用薄膜来比拟扭杆，使扭转问题的求解变得更为直观。本节介绍了扭转问题的薄膜比拟法，推导了薄膜垂度与扭杆应力函数的关系，以及扭矩与膜丘体积之间的关系，最后对带半圆形槽的圆形扭杆问题进行了分析。

●6.4柱形杆扭转问题（三）：案例分析

在前两节中，介绍了柱形杆扭转问题的基本理论以及薄膜比拟法。本节将利用基本理论和薄膜比拟法，对柱形杆扭转问题的典型案例进行分析，包括矩形截面杆和开口薄壁杆的扭转问题，它们在工程中有着广泛的应用。

●6.5薄板弯曲问题（一）：基本概念与基本方程

在工程中，板是一种常用的构件，它在弯曲变形时应力、应变和位移的计算，属于弹性力学的空间问题。由于数学上的复杂性，得到能够满足全部基本方程和边界条件的精确解答是非常困难的，因此需要引入关于应变和应力分布规律的计算假设，建立简化的近似理论，从而得到大量实际问题的具有足够精度的解答。本节介绍了薄板弯曲问题的基本概念和计算假设，推导了薄板弯曲的基本方程，即薄板的弹性曲面微分方程。

●6.6薄板弯曲问题（二）：截面内力与边界条件

在薄板弯曲问题中，由于应力分量在板边上很难精确地满足应力边界条件，只能应用圣维南原理，使应力分量在板边单位宽度上所合成的内力沿板厚总体上满足静力边界条件，这就需要建立由内力表示的静力边界条件。本节首先建立薄板横截面上的内力与挠度之间的关系，然后建立板边上用挠度表示的边界条件，包括固定边界、简支边界、自由边界以及角点条件。

●6.7薄板弯曲问题（三）：经典解法与案例分析

在前两节中，建立了薄板弯曲问题的基本方程、横截面上的内力公式以及板边上的边界条件。本节将介绍矩形薄板的两种经典解法，即四边简支矩形薄板的重三角级数解法和对边简支矩形板的单三角级数解法，并结合具体的案例分析来说明两种解法的优缺点。

第七章弹性力学问题的变分解法

前面各章讨论了弹性力学问题的微分提法及其解法，即把一个弹性力学问题化为一组偏微分方程和相应的边界条件，但能给出解析解答的问题很少。因此，对于大量的实际问题，只能借助于近似解法或数值解法来求解。本章将要介绍的弹性力学问题的变分解法，不仅是近似解法中最有效的方法之一，也是后面要介绍的有限单元法等数值解法的理论基础。本章主要介绍弹性力学问题的变分原理与数值解法，包括虚功原理、虚位移原理和最小势能原理等变分原理，以及瑞利-里茨法和加权残量法等数值解法。

●7.1弹性力学问题的变分解法（一）：变分原理

本节介绍弹性力学问题的变分原理。首先，讨论了微分解法与变分解法的基本思想，给出了弹性力学的三类基本关系式。其次，介绍了真实状态与可能状态，由此引出弹性力学中一个普遍的能量原理——虚功原理。最后，根据虚功原理导出适用于任何材料的虚位移原理，进而导出仅适用于弹性体的最小势能原理。

●7.2弹性力学问题的变分解法（二）：数值解法

本节介绍弹性力学问题的数值解法。首先，介绍了弹性体的应变能、外力势能和总势能的概念，并给出了它们的表达式。其次，以二维的平面问题为例，重点介绍了由最小势能原理提出的瑞利-里茨法，以及加权残量法中的伽辽金法。最后，结合典型例题说明了两种数值解法的应用。

第八章弹性力学平面问题的有限元法

对于大量的弹性力学实际问题，其边界条件一般都比较复杂，获得其精确解答往往是十分困难，甚至是不可能的。因此，寻求各种数值解法就具有重要的实际意义。有限元法便是其中最重要的工程数值解法之一，它区别于传统的瑞利-里茨法和加权残量法等变分解法；有限元法不是在整个求解域上假设近似函数，而是在各个单元上分片假设近似函数，从而克服了在全域上假设近似函数所带来的困难，因而具有极大的灵活性和通用性，可以有效地用于求解弹性力学中的各种复杂边界问题。本章针对弹性力学平面问题阐述有限元法的基本思想、基本原理和求解步骤。

●8.1弹性力学平面问题的有限元法（一）：基本概念

本节介绍弹性力学有限元法的基本概念。首先，阐明有限元法与变分法的联系与区别。其次，介绍有限元法的求解思路，如结构离散化、单元分析和结构整体分析。最后，以三结点三角形单元组成的离散化结构进行有限元法分析，阐述单元的位移模式与解答的收敛准则。

●8.2弹性力学平面问题的有限元法（二）：单元与整体分析

有限元法求解弹性力学问题主要包括三个重要步骤：结构离散化、单元分析和结构的整体分析。本节介绍单元分析和结构整体分析，这是有限元法的核心内容。首先，根据单元的位移模式，导出了用结点位移表示的单元应变、应力和结点力。其次，介绍了单元集合以及整体刚度矩阵的建立过程。最后，给出了单元刚度矩阵与整体刚度矩阵的性质。

●8.3弹性力学平面问题的有限元法（三）：案例分析

本节结合一个平面问题的典型案例，详细地阐明了如何应用有限元法解决问题时的具体过程和细节。同时，简要介绍了有限元软件的求解步骤以及单元划分中的一些注意事项。