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第一章多项式
多项式内容是学习高等代数其他内容的基础，本章主要学习一元多项式与多元多项式内容。通过本章内容的学习，为以后各章学习打下基础。
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●1.1数域
本节介绍数域的定义，及判断一个代数系统是否是数域；掌握数域的基本性质：有理数域是最小的数域，而复数域是最大的数域。
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●1.2一元多项式
实数域上一元多项式在中学已有初步的认识，本节介绍一般数域P上一元多项式的定义，一元多项式的运算（加法、减法、乘法）及运算性质、一元多项式环。
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●1.3整除的概念
将两个整数的除法推广到一元多项式的除法，介绍一元多项式的带余除法定理，要求熟练运用带余除法定理，为后续的整除关系学习做好铺垫。整除是本章的一个重要概念，本节介绍整除的概念及整除的性质，要求熟练掌握整除的性质。
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●1.4最大公因式和最小公倍式
最大公因式是本章的一个重要概念，介绍最大公因式的定义，熟练掌握最大公因式的定义并注意最大公因式的不唯一性和首系数为1的最大公因式的唯一性。通过介绍最大公因式的存在性定理引出求两个一元多项式的最大公因式的方法--辗转相除法。互素是本章的一个重要概念，本节介绍互素的定义、判定及性质，要求熟练掌握互素的等价定义及性质，会判定两个或多个一元多项式是否互素。
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●1.5因式分解定理
本节介绍不可约多项式定义与性质，掌握不可约多项式应基于数域而谈。介绍因式分解及唯一性定理、一元多项式的标准分解式，并会用标准分解式求两个多项式的最大公因式。
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●1.6重因式
本节介绍重因式的定义和性质，会用辗转相除法求多项式的重因式。
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●1.7多项式函数
本节介绍多项式函数的概念，多项式函数的根、重根及性质。理解余数定理和根的个数定理。
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●1.8复系数与实系数多项式的因式分解
本节介绍复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。理解代数基本定理及多项式根的个数与多项式次数的关系，掌握实系数多项式的根的特点。
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●1.9有理系数多项式
有理系数多项式是高等代数里面多项式因式分解讨论的一个特例。我们知道，每个次数大于等于1的有理系数多项式都能惟一地分解成不可约的有理系数多项式的乘积。但是对于任意一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题
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第二章行列式
本章主要内容有：二阶与三阶行列式；排列；n级行列式；n级行列式的性质；行列式的计算；行列式按行（列）展开；Cramer法则。
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●2.1二阶与三阶行列式
根据二元一次方程组和三元一次方程组的求解公式，给出了二阶（级）与三阶（级）行列式的定义，并给出相应对角线法则的计算方法。
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●2.2排列
介绍n级排列、逆序、逆序数、奇排列、偶排列等概念的定义，给出对换对排列奇偶性影响的相关定理。为n级行列式的定义提供理论支撑。
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●2.3n级行列式
给出n级行列式的定义，然后用行列式定义计算几个特殊行列式的值。
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●2.4n级行列式的性质
介绍行列式的几个性质，然后通过例题来巩固行列式性质的掌握。
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●2.5行列式的计算
介绍矩阵、矩阵的初等行变换、矩阵的初等列变换的定义，根据矩阵理论得出行列式的一般计算方法，利用行列式性质将给定行列式化为上三角形或下三角形行列式，从而算得行列式的值。
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●2.6行列式按行（列）展开
通过复习三级行列式计算的引入，得到余子式、代数余子式的定义，然后给出行列式按行（列）展开法则，最后通过例题利用法则计算几个行列式的值。
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●2.7Cramer法则
通过用二元一次方程组和三元一次方程组的求根公式的引入，自然得到Cramer法则。进一步，通过几个例题给出Cramer法则的应用。
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第三章线性方程组
本章主要内容有：消元法；n维向量空间；线性相关性；矩阵的秩；线性方程组有解判别定理；线性方程组解的结构。
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●3.1消元法
介绍一般线性方程组的基本概念，通过引例说明求解线性方程组的方法—消元法，进一步得到线性方程组消元法的矩阵表示。
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●3.2n维向量空间
介绍n维向量的概念，加法和数量乘法两种运算及n维向量空间的定义。
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●3.3线性相关性
首先介绍线性组合、线性表出、向量组等价的定义，再给出向量组线性相关、线性无关的定义以及有关性质，最后给出极大线性无关组和向量组的秩的定义及性质。
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●3.4矩阵的秩
介绍矩阵的行秩、列秩、秩的定义，再给出矩阵秩的有关结论，最后给出矩阵秩的三种计算方法。
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●3.5线性方程组有解判别定理
介绍线性方程组有解判别定理，然后通过例题对线性方程组的解进行判定。
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●3.6线性方程组解的结构
首先介绍齐次线性方程组解的性质以及解空间、基础解系概念的定义，齐次线性方程组有非零解的情况下，基础解系存在性定理，然后给出齐次线性方程组解的结构，最后一般的非齐次线性方程组解的结构，通过例题展现求解线性方程组一般解的步骤。
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第四章矩阵
本章主要内容有：矩阵的概念；矩阵的运算；矩阵乘积的行列式；矩阵的逆；矩阵的分块；初等矩阵；分块乘法的初等变换。
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●4.1矩阵的概念
介绍矩阵的定义，矩阵的相等以及一些特殊矩阵。
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●4.2矩阵的运算
介绍矩阵的加法、乘法、方幂、数量乘法和转置运算的定义及相关性质，最后介绍对称矩阵和反对称矩阵的定义及相关性质。
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●4.3矩阵乘积的行列式
介绍矩阵乘积的行列式定理、矩阵乘积的秩的定理，给出非退化矩阵和退化矩阵的定义。
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●4.4矩阵的逆
介绍可逆矩阵的概念与运算规律，可逆矩阵的判定与求法，最后给出求解矩阵方程的方法。
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●4.5矩阵的分块
介绍分块矩阵的概念与运算，准对角矩阵的定义及性质。
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●4.6初等矩阵
介绍初等矩阵的定义及性质，矩阵等价的定义以及有关结论，最后给出用初等变换求矩阵的逆的方法。
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●4.7分块乘法的初等变换
列举分块乘法的初等变换并进行应用举例。
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第五章二次型
二次型内容是解析几何的推广。本章主要学习：二次型的矩阵表示、标准形、唯一性、正定二次型等内容。通过本章学习，使学生学会化二次型为标准形，会判断二次型的正定性。为后边学习欧氏空间作准备。。
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●5.1二次型的矩阵表示
本节介绍n元二次型的定义及二次型的矩阵表示。理解二次型与对称矩阵的一一对应关系。介绍非退化线性替换的概念及矩阵合同的概念和性质，掌握二次型的非退化线性替换与其矩阵的合同变换的一致性。
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●5.2标准形
本节通过介绍二次型的标准形定理给出用配方法化二次型为标准形。介绍二次型矩阵的合同定理，通过证明过程掌握，从矩阵合同角度化二次型为标准形。
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●5.3唯一性
本节介绍复数域上二次型的规范形的定义及规范形的特点及唯一性。介绍实数域上二次型的规范形的定义及规范形的特点及唯一性，正惯性指数、负惯性指数和符号差等概念，掌握惯性定理。
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●5.4正定二次型
本节介绍正定二次型的定义，及二次型正定的一些判定方法。介绍正定矩阵的定义。并了解半正定、半负定、负定和不定矩阵等概念。介绍正定性的判别定理。熟练利用判定定理来判定一个对称矩阵是否为正定矩阵。
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第六章线性空间
线性空间是高等代数中非常重要的一个概念，它是大家迈入代数学殿堂的引领者，也是大家所接触的第一个代数系统。该知识的学习为我们研究其他代数系统，学习后续课程打下了坚实的基础。通过本章的学习大家要熟悉如何用公理化的思想来研究代数问题。
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●6.1集合 映射
代数系统是由非空集合、集合中的运算及运算所满足的运算性质构成，这里的运算本质上来讲就是映射。本节介绍集合与映射的相关知识，主要对集合的定义等相关知识进行复习总结，并介绍映射的相关内容。
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●6.2线性空间的定义与简单性质
线性空间是为了解决实际问题而引入的，是向量空间的推广，也是一个比较抽象的概念。同时向量空间具有零元素、负元素唯一的性质。本节首先介绍线性空间的定义，然后介绍线性空间的简单性质。
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●6.3维数 基与坐标
在一般的向量空间中，元素都可以通过其在一组基下的坐标来进行量化，在元素与数建立联系之后，元素就能用比较具体的数学式子来表达，也更便于运算。本节主要介绍一般线性空间中的维数、基与坐标的相关知识。
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●6.4基变换与坐标变换
在n维线性空间V中，任一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在不同基下的坐标一般是不同的。如何选择适当的基使所讨论的向量的坐标较简单是一个实际的问题。为此本节介绍随着基的改变，向量的坐标是如何变化的。
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●6.5线性子空间
本节利用化整为零和化零为整思想来研究线性空间。主要讲授线性子空间的定义、判定方法及一类特殊的子空间-----生成子空间的定义及性质，最后得到一个非常重要的扩基定理。
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●6.6子空间的交与和
本节介绍子空间的交与和两种运算。主要讲授子空间的交与和的定义及有关性质。
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●6.7子空间的直和
将线性空间进行直和分解是线性空间理论中的重要内容之一。本节介绍子空间的一种特殊的和运算------直和，主要讲授两个子空间直和的定义、判定及多个子空间的直和。
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●6.8线性空间的同构
线性空间的同构是刻画两个线性空间具有相同的代数结构的概念。本节介绍同构映射的定义及线性空间同构的有关结论。主要目标是将一般的抽象的线性空间和具体的大家熟悉的线性空间之间建立联系。
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第七章线性变换
线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象,而这些事物之间的联系可以用线性空间的映射来反映。线性空间V到自身的映射称为V的一个变换, 本章研究其中一种最基本的变换即保持了加法和数量乘法的线性变换。
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●7.1线性变换的定义
本节介绍线性变换的定义及其简单性质。
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●7.2线性变换的运算
本节介绍线性变换的运算及其简单性质。
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●7.3线性变换的矩阵
线性变换的矩阵与线性空间的一组基紧密相连，一般来说，随着基的改变，同一线性变换所对应的矩阵也会发生改变。本节先介绍线性变换和基之间的关系、并讨论如何利用矩阵来研究线性变换及相似矩阵的定义与性质。
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●7.4特征值与特征向量
线性变换和矩阵之间是一一对应的. 为了研究线性变换性质，这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.本节讨论如何选择一组适当的基，使某个线性变换在这组基下的矩阵就是一个对角矩阵。主要介绍特征值和特征向量的定义、计算方法、特征子空间和特征多项式的定义及一些性质。
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●7.5对角矩阵
本节主要研究什么样的线性变换在适当的选择的一组基下的矩阵是最简形式--------对角矩阵，主要介绍可对角化的概念、条件和一般方法。
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●7.6线性变换值域与核
本节主要介绍了线性变换值域与核的定义及基本性质。重点介绍线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度之间的关系。
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●7.7不变子空间
本节主要介绍不变子空间的定义、判定方法，重点介绍了不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系，及如何将空间V按照特征值分解成不变子空间直和表达式。
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●7.8若尔当标准型介绍
由§7.5知，并不是任一线性变换都有一组基，使它在这组基下的矩阵为对角形.本节研究在适当选择基下，一般的线性变换的矩阵能化简成什么形状.主要介绍若尔当型矩阵和若尔当标准型的有关性质。
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第八章λ－矩阵
λ-矩阵内容是解决一般线性变换的标准形问题。本章主要学习：λ-矩阵、矩阵在初等变换下的标准形、不变因子、矩阵相似的条件、初等因子、若当(Jordan)标准形的理论推导等内容。
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●8.1λ－矩阵
本节介绍λ－矩阵的定义及其运算，λ－矩阵的秩、可逆λ－矩阵及其判定。
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●8.2λ－矩阵的标准形
介绍一些基本的概念：λ-矩阵的初等变换与初等矩阵，为后续λ－矩阵标准形的学习做好准备；介绍λ-矩阵的等价标准形的特征，掌握用初等变换法求标准形的技巧。
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●8.3不变因子
本节介绍了两类重要的因子：行列式因子及不变因子，会求这两类因子，掌握他们之间的关系，会用行列式因子求矩阵的标准形。
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●8.4矩阵相似的条件
相似是矩阵中的一类重要关系，本节介绍矩阵相似的充要条件。
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●8.5初等因子
本节介绍另一类重要的因子：初等因子，并掌握三类因子之间的关系；介绍初等因子的求解方法及两个λ-矩阵的等价。会用初等变换将一个λ-矩阵变为对角矩阵。
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●8.6若当(Jordan)标准形的理论推导
本节介绍若当块的定义及其初等因子，进而给出若当形矩阵的形式及其初等因子；介绍数字方阵的若尔当标准形的定义及其存在性证明，掌握求若尔当标准形的基本方法。
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第九章欧式空间
线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算，其具体模型为几何空间。但几何空间的度量性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及.在解析几何中，角度和长度的引入依赖于内积。本章将在线性空间上通过引入内积的方式来引入角度和长度，得到并研究这一类特殊的线性空间-----欧式空间。
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●9.1定义与基本性质
本节介绍内积、欧式空间、向量的长度、两非零向量的夹角及正交向量的定义及其简单性质。重点介绍了n 维欧氏空间中内积的矩阵表示，即介绍了度量矩阵的定义及性质。
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●9.2标准正交基
在直角坐标系下几何空间中与内积有关的度量性质具有简单的表达形式，本节研究欧式空间中选择什么样的基使得与内积有关的度量性质也具有简单的表达形式。主要介绍正交向量组、标准正交基的定义、构造方法及简单性质。同时给出了正交矩阵的定义及性质。
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●9.3同构
在线性空间中，有同构的概念，而欧式空间只是在线性空间中引入了内积这个运算。本节研究欧式空间的同构，即在两个欧式空间之间建立一种双射，除了保持线性运算之外，还要保内积。主要介绍欧式空间同构的定义及性质。
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●9.4正交变换
线性变换要保持加法和数乘，欧式空间引入了度量性质，因此欧式空间上的线性变换还必须要保内积。本节研究欧式空间上的这一类特殊的线性变换-----正交变换。主要介绍正交变换的概念、性质和分类。
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●9.5子空间
本节主要介绍欧式空间中子空间的正交关系。
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●9.6实对称矩阵的标准形
由前面所学可知任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵。本节主要讨论利用欧式空间的理论，将第五章关于实对称矩阵的结果进行加强即任一实对称矩阵不光跟一个对角矩阵合同且跟这个对角矩阵相似。