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第一章空间解析几何
向量不仅有着广泛的应用，也是一种重要的数学工具。本章第一部分讨论向量的两种表示形式、向量的基本运算及其坐标表示、向量的简单应用。
空间解析几何的基础知识对于学习多元函数是必要的，本章第二部分讨论空间直角坐标系、直线与平面以及两者之间的关系、空间中的曲线与曲面。 -
●1.1向量的概念
本节介绍与向量相关的概念，如：向量、单位向量、零向量、负向量、向量的模、向量的相等、向量的夹角、向量的平行、向量的共面等。
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●1.2向量的加法
本节讲解向量的加法、向量加法的几何表示、向量加法的运算规律、向量的减法等。
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●1.3向量的数乘运算
本节讨论数与向量相乘的定义、数乘的运算规律、向量平行与数乘的关系、向量的单位化等。
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●1.4空间直角坐标系
本节介绍空间直角坐标系的建立以及相关的基本概念、空间中点的坐标、空间中两点间的距离等。
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●1.5向量的投影
本节先介绍点在轴上的投影，再讨论向量在数轴上的投影，最后介绍投影定理。
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●1.6向量的坐标
本节主要讲解向量在空间直角坐标系下的标准分解式、向量在坐标轴上的投影、向量在坐标轴上的分向量、向量的坐标与向量的坐标表达式等。
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●1.7向量线性运算的坐标表示
本节主要内容是向量的线性运算如何通过向量的坐标进行表达。
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●1.8向量的模、方向角与方向余弦
本节主要讲解向量的模、方向角和方向余弦的定义、如何通过向量的坐标来计算向量的模和方向余弦（方向角）。
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●1.9向量的数量积
本节内容为数量积的定义、性质、运算规律，数量积在坐标下如何运算，两向量夹角等。
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●1.10向量的向量积
本节讨论向量积的定义、性质、运算规律，向量积在坐标下的运算，向量积的简单应用。
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●1.11向量的混合积
本节主要内容为混合积的定义、性质、运算规律，混合积的坐标表达及其几何意义，三个向量共面的充分必要条件。
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●1.12平面的点法式方程
本节主要内容为平面的法向量的概念、平面的点法式方程的引入与应用等。
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●1.13平面的一般方程
本节主要内容为平面的一般方程及其应用。
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●1.14平面的截距式方程
本节讲解平面截距式方程及应用。
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●1.15两个平面的夹角
本节内容为两平面的夹角的定义、计算方法。
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●1.16点到平面的距离
本节内容为点到平面的距离公式的推导与应用。
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●1.17直线的方程
本节内容为直线的方向向量，直线的对称式、参数式、一般式方程。
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●1.18两直线的夹角
本节内容为两条直线夹角的定义、计算，直线的垂直与平行。
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●1.19直线和平面的夹角
本节内容为直线与平面夹角的定义、计算、应用。
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●1.20过直线的平面束
本节主要讨论过直线的平面束方程的建立与应用。
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●1.21柱面
本节内容为柱面的相关概念、柱面方程及特点、常见的柱面及方程。
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●1.22旋转曲面
本节内容为旋转曲面的相关概念、旋转曲面方程及其特点。
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●1.23空间曲线的方程
本节主要讨论空间曲线的一般方程、空间曲线的参数方程。
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●1.24曲面方程
本节内容为空间曲面与其方程的关系。
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●1.25空间曲线在坐标面上的投影
本节主要讨论投影曲线、投影柱面的概念，投影曲面与投影曲线的方程的求法。
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●1.26椭球面
本节主要内容为用截痕法讨论椭球面的形状、椭球面的方程。
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●1.27抛物面
本节内容为椭圆抛物面及其方程、双曲抛物面及其方程。
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●1.28双曲面
本节讨论单叶双曲面、双叶双曲面及其方程。
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●1.29椭圆锥面
本节内容为椭圆锥面及其方程。
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第二章多元函数微分学
实际应用中，变量之间的关系不仅仅表现为一个变量和另一个变量之间的关系，还有一个变量与多个变量之间的关系。多元函数微分学第一个内容是多元函数相关的基本概念，如多元函数的极限、连续，方向导数、梯度等。第二个主要内容是偏导数的计算方法，如多元复合函数求偏导、隐函数求（偏）导。最后一个内容是多元函数微分的应用，如条件极值、在几何上的一些应用。与一元函数微分学进行对比对学习本章颇有裨益。
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●2.1多元函数
本节介绍多元函数的相关概念，如：多元函数及其定义域、值域、多元函数的图像等。
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●2.2n维空间
本节讲解n维空间的相关概念：n维空间、两点间的距离等。
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●2.3邻域
本节讨论空间中的邻域，特别是二维、三维空间中的邻域。
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●2.4区域
本节介绍区域相关的基本概念：内点、开集、闭集、（开）区域、闭区域、聚点、边界点等。
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●2.5多元函数的极限
本节重点讲解二元函数在一点处的极限的概念，举例说明讨论在一点处极限不存在的常用方法。
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●2.6多元函数的连续性
本节主要讨论多元函数在一点处连续的概念以及闭区域上连续函数的性质。
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●2.7多元函数的偏导数
本节主要内容是多元函数偏导数的定义、计算方法等相关问题。
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●2.8偏导数的几何意义
本节主要内容是结合偏导数的定义与几何图形说明偏导数的几何意义。
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●2.9高阶偏导数
本节内容是多元函数高阶偏导数的定义、计算方法等相关问题。
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●2.10全微分的定义
本节讨论多元函数全微分的定义、可微分与连续的关系等。
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●2.11多元函数可微的必要条件
本节主要说明多元函数在一点处可微分与偏导数存在的关系。
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●2.12多元函数可微的充分条件
本节主要内容为多元函数偏导数连续、可微分、偏导数存在、连续之间的关系。
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●2.13多元复合函数求偏导（一）
本节主要内容是多元复合函数求偏导的链式法则及其运用方法—多元函数复合多元函数的情形。
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●2.14多元复合函数求偏导（二）
本节主要内容多元复合函数求偏导的链式法则及其运用方法—一元函数复合多元函数、多元复合一元函数情形。
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●2.15全微分形式不变性
本节主要讲解多元函数微分形式不变性及其在求偏导数中的应用。
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●2.16一个方程确定的隐函数的导数
本节内容为一个方程确定的隐函数的导数公式推导及应用。
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●2.17两个方程确定的隐函数的偏导数(1)
本节内容为两个方程、四个变量的方程组所确定的多元函数偏导数计算公式的推导及应用。
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●2.18两个方程确定的隐函数的偏导数(2)
本节主要内容是讨论多种方法计算方程组确定的隐函数的偏导数，并作比较。
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●2.19方向导数
本节主要讲解方向导数的定义、计算方法、方向导数存在的充分条件等。
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●2.20梯 度
本节主要讲解梯度的定义、计算方法、方向导数与梯度的关系等。
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●2.21有势场与梯度场
本节讲解场、数量场、向量场、梯度场、有势场等概念。
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●2.22空间曲线的切线与法平面
本节主要内容为空间中的曲线的切线与法平面的定义及求法。
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●2.23空间曲面的切平面与法线
本节主要讨论曲面的切平面与法线的定义及求法。
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●2.24多元函数极大值与极小值
本节主要讲解多元函数的极值点、极值的概念。
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●2.25多元函数取得极值的必要条件
本节主要讨论多元函数在某一点处取得极值的必要条件。
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●2.26多元函数取得极值的充分条件
本节主要讨论多元函数在某一点处取得极值的充分条件、求极值的方法。
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●2.27条件极值与拉格朗日乘子法
本节内容为多元函数条件极值的含义、计算条件极值的拉格朗日乘子法。
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第三章重积分
与一元函数的定积分类似，多元函数也有积分。依不同情况，分为重积分与曲线、曲面积分，本章讨论重积分。本章第一部分是二重、三重积分的概念与性质，第二部分是重积分的计算方法，最后是说明重积分在几何与物理中的一些应用。仍然建议，在学习的过程中，将这部分内容与一元函数的定积分相应的内容做对比。
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●3.1曲顶柱体的体积
本节讨论几何中曲顶柱体体积的计算方法，目的之一是引出二重积分的概念。
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●3.2平面薄片的质量
本节讨论物理中平面薄片质量的计算思路，目的也是引出二重积分的概念。
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●3.3二重积分的概念
本节主要内容是二重积分相关概念、以及理解二重积分概念要注意的问题。
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●3.4二重积分的性质
本节介绍二重积分的性质，这些性质与一元函数的定积分性质类似。
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●3.5直角坐标系下二重积分的计算
本节先介绍“x型区域”、“y型区域”的含义，再直观解释二重积分的计算思路，最后通过两个例题进行具体说明。
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●3.6极坐标下二重积分的计算
本节讨论在极坐标系下二重积分的计算，主要内容是变量的替换公式以及如何确定积分变量的上、下限。
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●3.7二重积分的换元法
本节先给出二重积分的一般意义下的换元公式，再通过例题进行具体说明。
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●3.8三重积分的定义
本节通过与二重积分的概念进行对比，给出三重积分的定义与性质。
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●3.9直角坐标系下三重积分的计算（1）
本节主要讨论在空间直角坐标系下计算三重积分的方法—坐标面投影法，即先计算定积分再进行二重积分的思路，并通过例题进行具体说明。
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●3.10直角坐系标下三重积分的计算（2）
本节主要讨论在空间直角坐标系下计算三重积分的方法—坐标轴投影法，即先进行二重积分再进行一次定积分的思路，并通过例题进行具体说明。
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●3.11柱面坐标下三重积分的计算
本节先给出点的柱面坐标的含义，再给出三重积分从直角坐标到柱面坐标的变换公式，最后结合例题来说明柱面坐标下如何确定积分变量的上、下限。
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●3.12球面坐标下计算三重积分的计算
本节先给出点的球面坐标的含义，再给出三重积分从直角坐标到球面坐标的变换公式，最后结合例题来说明球面坐标下如何确定积分变量的上、下限。
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●3.13空间立体的体积
本节首先结合重积分的几何意义给出利用二重、三重积分计算体积的公式，再结合例题进行说明。
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●3.14曲面的面积
本节先给出利用二重积分来计算空间中曲面面积的公式，再结合例题加以说明。
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●3.15物体的质心
本节从质点系的质心坐标结合“元素法”给出空间物体的质心坐标公式，最后给出一个例子。
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●3.16转动惯量
本节从质点系的转动惯量结合“元素法”逐步给出空间物体的转动惯量公式，最后给出一个例子。
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●3.17物体对单位质点的引力
本节结合“元素法”给出物体对单位质点引力的计算思路，并结合例题加以说明。
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第四章曲线积分与曲面积分
多元函数的积分除了重积分外，还有曲线积分与曲面积分，即在曲线或曲面上积分。曲线积分与曲面积分都分为两类，“第一类”与定积分、重积分类似，都是数量值函数的积分，“第二类”是向量值函数的积分，与物理学中的“变力沿曲线做功”和“流量”问题联系紧密。
本章主要内容有：两类曲线积分与两类曲面积分（共4类）的概念与性质，4类积分的计算方法，格林公式、高斯公式、斯托克斯公式以及散度、旋度的概念。 -
●4.1柱面的面积
本节主要介绍柱面面积的计算思路，目的是为引入第一类曲面积分的概念。
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●4.2曲线型构件的质量
本节讲解物理学中曲线构件（密度不均匀）的质量的计算方法，目的是引入第一类曲面积分的概念。
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●4.3第一类曲线积分的概念
在前两节的基础上，本小节给出第一类曲线积分（数量值函数的曲线积分）的概念与性质。
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●4.4第一类曲线积分的计算
本节先给出将第一类曲线积分化为定积分的公式并证明，最后举例说明计算方法。
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●4.5第一类曲面积分的概念
本节通过平面薄片的质量来引入第一类曲面积分的概念，并给出第一类曲面积分的性质。
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●4.6第一类曲面积分的计算
本节先给出将第一类曲面积分化为二重积分的公式并证明，最后通过两个例题来具体说明。
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●4.7数量值函数在几何形体上的积分及其物理应用综述
本节第一个内容是将定积分、重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分统一为一个定义，第二个内容是将上述几类积分中的物理公式统一化。
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●4.8定向曲线及其切向量
本节先介绍定向曲线、定向曲线切向量，再给出定向曲线切向量的求法。
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●4.9变力沿曲线所做的功
本节运用“元素法”来计算变力沿曲线所做的功，目的是引入第二类曲线积分（向量值函数在定向曲线上的积分）。
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●4.10第二类曲线积分的概念
在前一节的基础上，本小节给出第二类曲线积分（向量值函数在定向曲线上的积分）的概念与性质。
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●4.11第二类曲线积分的计算(1)
本节先给出将第二类曲线积分化为定积分的公式并证明，最后给出在空间曲线上的第二类曲线积分的计算公式。
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●4.12第二类曲线积分的计算(2)
本节通过两个例题来具体说明计算第二类曲线积分的方法。
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●4.13区域连通性的分类及其边界
本节主要讨论平面区域的连通性相关概念，如连通的区域、单连通、复连通等，第二个内容是介绍区域的边界的正、负向是如何规定的
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●4.14格林公式
本节先给出格林公式并加以证明，最后通过一个例题来说明使用格林公式的基本方法。
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●4.15平面定向曲线积分与路径无关的条件(1)
本节先给出“积分与路径无关”的含义，再给出与“积分与路径无关”相等价的三个命题并证明。
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●4.16平面定向曲线积分与路径无关的条件(2)
本节通过两个例题来说明关于“积分与路径无关”的四个等价命题的应用。
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●4.17曲线积分基本定理
本节给出曲线积分基本定理并加以证明。
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●4.18定向曲面及其法向量
本节先给出定向曲面的含义，再说明定向曲面法向量的正、负向是如何规定的，最后讨论如何求定向曲面的法向量。
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●4.19液体流向曲面一侧的流量
本节讨论流速不是常量的流体穿过定向曲面一侧的流量的计算思路，其目的是为引入第二类曲面积分。
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●4.20第二类曲面积分的概念
在前一节的基础上，本节先给出第二类曲面积分（向量值函数在定向曲面上的积分）的相关概念，再讨论理解此概念的要注意的事项，最后给出第二类曲面积分的性质。
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●4.21第二类曲面积分的计算(1)
本节先介绍计算第二类曲面积分的第一个方法——“分面投影法”，并证明公式，最后通过一个例题来说明具体。
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●4.22第二类曲面积分的计算(2)
本节根据两类积分之间的关系，给出计算第二类曲面积分的第二个方法——“合一投影法”，最后通过一个例题来说明具体过程。
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●4.23高斯公式(1)
本节先给出高斯公式，再对其进行证明。
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●4.24高斯公式(2)
本节通过两个例题来进行说明高斯公式使用的方法。
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●4.25散度
本节先给出散度的定义，再根据高斯公式介绍散度的物理含义。
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●4.26斯托克斯公式(1)
本节先给出斯托克斯公式，再对其进行证明。
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●4.27斯托克斯公式(2)
本节通过例题来具体说明斯托克斯公式的使用方法。
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●4.28旋度
本节先给出旋度的定义，再根据斯托克斯公式解释旋度的物理含义。
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●4.29向量微分算子
本节主要内容是向量微分算子的概念以及引入此概念的目的。
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第五章无穷级数
无穷级数是重要的数学工具，它在数值计算、表达函数、研究函数等方面有重要作用。“无穷”级数即“无限多项”相加的式子，在“有限多项”情形下成立的结论并不能自然地平移到“无限多项”的情形下。无穷级数分为常数项无穷级数和函数项无穷级数。
本章先给出无穷级数的概念与基本性质，其次是讨论常数项级数收敛与发散的判别方法，第三部分是讨论函数项级数中的幂级数，最后一部分是傅里叶级数。其中的主线是敛散性的判别。 -
●5.1无穷级数的概念
本节从实际例子引入无穷级数及其相关概念，最后给出两个例题以熟悉相关概念。
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●5.2无穷级数的性质
本节先讨论无穷级数的基本性质并给予证明，最后特别讨论级数收敛的必要条件。
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●5.3正项级数的比较审敛法（1）
本节先给出正项级数的概念以及正项级数收敛的充要条件，然后证明比较审敛法，最后给出例题具体说明比较审敛法的应用。
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●5.4正项级数的比较审敛法（2）
本节先证明比较审敛法的极限形式，最后通过例题说明其应用方法。
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●5.5 正项级数的比值审敛法
本节先证明比值审敛法，最后通过例题来说明比值审敛法的应用。
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●5.6正项级数的根值审敛法
本节先给出正项级数的根植判别法，并将其与比值判别法进行对比，最后通过例题来说明根植判别法的使用方法。
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●5.7交错级数的审敛法
本节先给出交错级数的概念，再证明交错级数审敛法（莱布尼兹判别法），最后通过例题加以说明。
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●5.8绝对收敛与条件收敛
本节主要内容是：绝对收敛、条件收敛的概念，绝对收敛与条件收敛两者之间的关系与判别。
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●5.9任意项级数的审敛法
本节先给出判别任意项级数敛散性的定理，然后结合例题加以说明。
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●5.10绝对收敛级数的性质
本节主要讨论绝对收敛的级数所具有的两个性质：更序不变性、乘积收敛性。
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●5.11函数项级数的一般概念
本节主要内容是函数项级数的相关概念：和函数、收敛点、收敛域等，最后举例说明函数项级数收敛域的求解思路。
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●5.12幂级数收敛域的结构
本节先讨论幂级数的相关概念，再给出阿贝尔定理及其证明，最后给出幂级数收敛域的特征。
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●5.13幂级数收敛域的求法
本节先给出幂级数的收敛半径的求法，最后结合例题说明幂级数收敛域的确定。
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●5.14幂级数的运算
本节主要讨论幂级数的代数运算性质，主要包括幂级数的加减乘除。
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●5.15幂级数和函数的性质及求法
本节先给出幂级数和函数的分析性质，再结合两个例题具体说明幂级数和函数的求法。
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●5.16泰勒级数
本节先给出泰勒级数的相关概念，再证明函数可以展开成泰勒级数的充要条件，最后说明函数幂级数的展开式的唯一性。
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●5.17函数展开成幂级数的直接展开法
本节先给出将函数展开成幂级数的方法步骤，在通过三个例题说明具体过程。
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●5.18函数展开成幂级数的间接展开法
本节先概述将函数展开成幂级数的间接法，然后通过四个例题进行具体说明。
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●5.19幂级数展开式的应用
本节主要讨论幂级数展开式在近似计算、定积分的计算中的作用，其中结合例题进行说明。
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●5.20欧拉公式
本节通过讨论复数项级数的敛散性，来证明数学中的一个重要公式—欧拉公式。
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●5.21微分方程的幂级数解法
本节讨论幂级数在求解微分方程中应用，主要是讨论一阶方程的初值问题、二阶变系数其次方程。
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●5.22周期运动和三角级数
本节由周期运动引出三角级数的相关概念，再证明三角函数系的正交性。
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●5.23函数展开成傅立叶级数
本节先给出函数的傅里叶级数的相关概念，再说明狄利克雷收敛定理，最后结合例题说明将函数展开成傅里叶级数的方法。
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●5.24一般周期函数的傅里叶级数
本节先说明一般周期函数的傅里叶级数的形式，再通过例题说明将一般周期函数展开成傅里叶级数的方法。
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●5.25正弦级数和余弦级数
本节先给出正弦级数、余弦级数的概念，再说明奇延拓、偶延拓的含义，最后通过例题说明将一般周期函数展开成正弦级数、余弦级数的方法。
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●5.26傅里叶级数的复数形式
本节先给出傅里叶级数的复数形式，再通过例题说明将一般周期函数展开成复数形式的傅里叶级数的方法。
