绪章绪论

现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分。在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时间域方法。现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统。它所采用的方法和算法也更适合于在数字计算机上进行。现代控制理论还为设计和构造具有指定的性能指标的最优控制系统提供了可能性。现代控制理论的名称是在1960年以后开始出现的，用以区别当时已经相当成熟并在后来被称为经典控制理论的那些方法。现代控制理论已在航空航天技术、军事技术、通信系统、生产过程等方面得到广泛的应用。现代控制理论的某些概念和方法，还被应用于人口控制、交通管理、生态系统、经济系统等的研究中。

●0.1控制理论发展历史

自动控制思想及其实践可以说历史悠久。它是人类在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的发展和科学水平的进步而不断发展。早在公元前300年，古希腊就运用反馈控制原理设计了浮子调节器，并应用于水钟和油灯中。同样早在1000多年前，我国古代先人们也发明了铜壶滴漏计时器、指南车等控制装置。首次应用于工业的自控器是瓦特（J.Watt）于1769年发明的用来控制蒸汽机转速的飞球控制器。十九世纪后半叶，许多科学家开始基于数学理论的自控理论的研究，并对控制系统的性能改善产生了积极的影响。第二次世界大战前后，由于自动武器的需要，为控制理论的研究和实践提出了更大的需求，从而大大推动了自控理论的发展。1948年，数学家维纳(N.Wiener)的<>(CYBERNETICS)一书的出版，标志着控制论的正式诞生。　
现代控制理论是在20世纪50年代中期迅速兴起的空间技术的推动下发展起来的。空间技术的发展迫切要求建立新的控制原理，以解决诸如把宇宙火箭和人造卫星用最少燃料或最短时间准确地发射到预定轨道一类的控制问题。这类控制问题十分复杂，采用经典控制理论难以解决。1958年，苏联科学家Л.С.庞特里亚金提出了名为极大值原理的综合控制系统的新方法。在这之前,美国学者R.贝尔曼于1954年创立了动态规划,并在1956年应用于控制过程。他们的研究成果解决了空间技术中出现的复杂控制问题，并开拓了控制理论中最优控制理论这一新的领域。1960～1961年，美国学者R.E.卡尔曼和R.S.布什建立了卡尔曼-布什滤波理论。几乎在同一时期内，贝尔曼、卡尔曼等人把状态空间法系统地引入控制理论中。到60年代初，一套以状态空间法、极大值原理、动态规划、卡尔曼-布什滤波为基础的分析和设计控制系统的新的原理和方法已经确立，这标志着现代控制理论的形成。
七十年代开始，人们不仅解决社会、经济、管理、生态环境等系统问题，而且为解决模拟人脑功能，形成了新的学科----人工智能科学，这是控制论的发展前沿。计算机技术的发展为人工智能的发展提供了坚实的基础。人们通过计算机的强大的信息处理能力来开发人工智能，并用它来模仿人脑。在没有人的干预下，人工智能系统能够进行自我调节、自我学习和自我组织，以适应外界环境的变化，并作出相应的决策和控制

●0.2现代控制理论的主要内容

现代控制理论所包含的学科内容十分广泛,主要的方面有:线性系统理论、非线性系统理论、最优估计、系统辨识、最优控制理论、随机控制理论和适应控制理论。
线性系统理论：它是现代控制理论中最为基本和比较成熟的一个分支，着重于研究线性系统中状态的控制和观测问题，其基本的分析和综合方法是状态空间法。
非线性系统理论：非线性系统的分析和综合理论尚不完善。研究领域主要还限于系统的运动稳定性、双线性系统的控制和观测问题、非线性反馈问题等。更一般的非线性系统理论还有待建立。从70年代中期以来，由微分几何理论得出的某些方法对分析某些类型的非线性系统提供了有力的理论工具。
最优估计：已知对象的数学模型，实际的量测系统受到噪声的干扰，最优估计就是从被噪声污染的观测数据中确定系统的状态，并使这种估计在某种意义下是最优的。
系统辨识：求数学模型的问题，使之满足输入、输出，并能消除干扰。
　最优控制理论：最优控制理论是设计最优控制系统的理论基础，主要研究受控系统在指定性能指标实现最优时的控制规律及其综合方法。在最优控制理论中，用于综合最优控制系统的主要方法有极大值原理和动态规划。最优控制理论的研究范围正在不断扩大，诸如大系统的最优控制、分布参数系统的最优控制等。
随机控制理论：随机控制理论的目标是解决随机控制系统的分析和综合问题。维纳滤波理论和卡尔曼-布什滤波理论是随机控制理论的基础之一。随机控制理论的一个主要组成部分是随机最优控制，这类随机控制问题的求解有赖于动态规划的概念和方法。
适应控制理论：适应控制系统是在模仿生物适应能力的思想基础上建立的一类可自动调整本身特性的控制系统。

第一章线性控制系统的状态空间描述

在经典控制理论中，对一个线性定常系统，可用常微分方程或传递函数加以描述，可将某个单变量作为输出，直接和输入联系起来。实际上系统除了输出量这个变量之外，还包含有其它相互独立的变量，而微分方程或传递函数对这些内部的中间变量是不便描述的，因而不能包含系统的所有信息。显然，从能否完全揭示系统的全部运动状态来说，用微分方程或传递函数来描述一个线性定常系统有其不足之处。
在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的，它能反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系统的全部内部运动状态，而且还可以方便地处理初始条件。这样，在设计控制系统时，不再只局限于输入量、输出量、误差量 为提高系统性能提供了有力的工具 加之可利用计算机进行分析设计及实时控制，因而可以应用于非线性系统、时变系统 、多输入 多输出系统以及随机过程等。

●1.1状态空间表达式

典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制器组成;被控过程具有若干输入端和输出端.
输入－输出描述（外部描述）：高阶微分方程、传递函数矩阵。
状态空间描述（内部描述）：基于系统内部结构，是对系统的一种完整的描述。现代控制理论以状态空间描述作为数学模型。
状态：动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。例如：做直线运动的质点构成的系统，状态是质点的位置和速度。
状态变量：确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变量在任意初始时刻的值以及的系统输入，便能够完整地确定系统在任意时刻 的状态。（状态变量的选择可以不同）。
状态向量：以各状态变量为分量组成的向量。
状态空间：以状态向量的各个分量作为坐标轴所组成的n维空间称为状态空间。
状态轨线：系统在某个时刻的状态，在状态空间可以看作是一个点。随着时间的推移，系统状态不断变化，并在状态空间中描述出一条轨迹，这种轨迹称为状态轨线或状态轨迹。
状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶向量微分或差分方程称为系统的状态方程。
输出方程：描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，当输出由传感器得到时，又称为观测方程。
动态方程:状态方程与输出方程的组合称为动态方程，又称为状态空间表达式 。
状态空间表达式: 系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空间表达
式，或称为系统动态方程，或称系统方程。
状态变量的选取：可以视问题的性质和输入特性而定；状态变量选取非唯一。因此状态方程、输出方程、动态方程也都不是唯一的。但是用独立变量所描述的系统的维数应该是唯一的，与状态变量的选取方法无关。
动态方程对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中的任何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述。

●1.2由微分方程求出系统状态空间表达式

一个系统，用线性定常微分方程描述其输入和输出的关系。通过选择合适的状态变量，就可以得到状态空间表达式。
这里分两种情况：
1）微分方程中不含输入信号导数项；
2）微分方程中含有输入信号导数项。

●1.3传递函数与传递函数矩阵

传递函数：系统初始松弛（即：初始条件为零）时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。

●1.4线性变换

我们知道，系统确定后，状态变量的个数是确定的，但状态变量的选取是非唯一的。选择不同的状态变量，则得到的状态空间表达式也不相同。由于它们都是同一个系统的状态空间描述，它们之间必然存在某种关系。这个关系就是矩阵中的线性变换关系。

●1.5组合系统的数学描述

工程中较为复杂的系统，通常是由若干个子系统按某种方式连接而成的。这样的系统称为组合系统。组合系统形式很多，在大多数情况下，它们由并联、串联和反馈等3种连接方式构成的。

第二章控制系统状态空间表达式的解

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●2.1线性定常齐次状态方程的解（自由解）

在建立控制系统状态空间表达式之后，随之而来的是对其求解的问题。线性定常齐次方程的自由解是指系统的输入为零时，由初始状态引起的自由运动。本章将给出线性定常齐次状态方程解的一般形式。

●2.2阵指数函数——状态转移矩阵

在上一章，我们给出了线性定常齐次状态方程解的一般形式，即通过一个矩阵指数函数，在给定任意初始时刻状态矢量，可以求得任意时刻的状态矢量。本章将详细介绍矩阵指数函数（又称状态转移矩阵）的一些性质，并给出计算状态转移矩阵的几种常用的方法。

●2.3线性定常系统非齐次方程的解

上一节我们讨论了线性定常齐次状态方程解的求解方法，其关键是求解状态转移矩阵。本章我们将给出两种求解线性定常非齐次状态方程解的方法，并就非齐次状态方程解的形式进行了简单地分析。

第三章线性控制系统的能控性和能观性

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●3.1能控性的定义

能控性所考察的只是系统在控制作用的控制下，状态矢量的转移情况，而与输出无关，所以只需从系统的状态方程研究出发即可。

●3.2线性定常系统的能控性判别

线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化为约旦标准型，再根据阵，确定系统的能控性；另一种方法是直接根据状态方程的A 阵和B阵，确定其能控性。

●3.3线性连续定常系统的能观性

控制系统大多采用反馈控制形式。在现代控制理论中，其反馈信息是由系统的状态变量组合而成。但并非所有的系统的状态变量在物理上都能测取到，于是提出能否通过对输出的测量获得全部状态变量的信息，这便是系统的能观测问题。

●3.4离散时间系统的能控性与能观性

离散时间系统的能控性与能观性与线性定常连续时间系统的能控性，能观性类似。

●3.5时变系统的能控性与能观性

时变系统的系统矩阵、控制矩阵和输出矩阵的元素是时间的函数，所以不能象定常系统那样，由(A,B）对与(A,C)对构成能控性矩阵和能观性矩阵,然后检验其秩,而必须由有关时变矩阵构成格拉姆（Gram）矩阵,并由其非奇异性来作为判别的依据。

●3.6能控性与能观性的对偶关系

能控性与能观性有其内在关系，这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确定的，利用对偶关系可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观性的分析。从而也沟通了最优控制问题和最优估计问题之间的关系。

●3.7状态空间表达式的能控标准型与能观标准型

由于一般的状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表达式也不是唯一的。在实际应用中，常常根据所研究问题的需要，将状态空间表达式化成相应的几种标准形式如约旦标准型对于状态转移矩阵的计算，可控性和可观性的分析是十分方便的；而对于系统的状态反馈则化为能控标准型是比较方便的；对于系统状态观测器的设计以及系统辨识，则将系统状态空间表达式化为能观标准型是方便的。
把状态空间表达式化成能控标准型(能观标准型)的理论根据是状态的非奇异变换不改变其能控性(能观性)，只有系统是状态完全能控的(能观的)才能化成能控(能观)标准型。下面讨论单变量系统的能控标准型和能观标准型。

●3.8线性系统的结构分解

如果一个系统是不完全能控的，则其状态空间中所有的能控状态构成能控子空间，其余为不能控子空间。如果一个系统是不完全能观的，则其状态空间中所有能观测的状态构成能观子空间，其余为不能观子空间。但是，在一般形式下，这些子空间并没有被明显地分解出来。本节将讨论如何通过非奇异变换即坐标变换，将系统的状态空间按能控性和能观性进行结构分解。
把线性系统的状态空间按能控性和能观性进行结构分解是状态空间分析中的一个重要内容。在理论上它揭示了状态空间的本质特征，为最小实现问题的提出提供了理论依据。实践上，它与系统的状态反馈、系统镇定等问题的解决都有密切的关系。

●3.9传递函数阵的实现问题

反映系统输入输出信息传递关系的传递函数阵只能反映系统中能控且能观子系统的动力学行为。对于某一给定的传递函数阵将有无穷多的状态空间表达式与之对应，即一个传递函数阵描述着无穷多个内部不同结构的系统。从工程的观点看，在无穷多个内部不同结构的系统中，其中维数最小的一类系统就是所谓最小实现问题。确定最小实现是个复杂的问题，本节只是在前一节关于系统结构分析的基础上对实现问题的基本概念作一简单介绍，并通过几个具体例子介绍寻求最小实现的一般步骤。

●3.10传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系

既然系统的能控且能观性与其传递函数阵的最小实现是同义的，那么能否通过系统传递函数阵的特征来判别其状态的能控性和能观性呢?可以证明，对于单输入系统、单输出系统或者单输人单输出系统．要使系统是能控并能观的充分必要条件是其传递函数的分子分母间没有零极点对消。可是对于多输人多输出系统来说，传递函数阵没有零极点对消，只是系统最小实现的充分条件，也就是说，即使出现零极点对消，这种系统仍有可能是能控和能观的。

第四章稳定性和李雅普诺夫方法

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●4.1李雅普诺夫稳定性定义的起源

自动控制系统最重要的特征莫过于它的稳定性，因为一个不稳定的系统是无法完成预期控制任务的。因此如何判别一个系统是否稳定以及怎样改善其稳定性乃是系统分析与设计的一个首要问题。
系统的稳定性，表示系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种“顽性”。
在经典控制理论中，对于单输入单输出线性定常系统，应用劳斯判据和霍尔维茨判据等代数方法判定系统的稳定性，非常方便有效。至于频域中的奈奎斯特判据则是更为通用的方法，它不仅用于判定系统是否稳定，而且还能指明改善系统稳定性的方向。
上述方法都是以分析系统特征方程在根平面上根的分布为基础的。
但对于非线性系统和时变系统，这些判据就不适用了。


早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将判定系统稳定性的问题归纳为两种方法：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二法。前者是通过求解系统微分方程，然后根据解的性质来判定系统的稳定性。它的基本思路和分析方法与经典理论是一致的。
本课重点讨论李雅普诺夫第二法。它的特点是不求解系统方程，而是通过一个叫做李雅普诺夫函数的标量函数来直接判定系统的稳定性。因此，它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时变系统。李雅普诺夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外，还可用于对系统瞬态响应的质量进行评价以及求解参数最优化问题。此外，在现代控制理论的许多方面，例如最优系统设计、最优估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论都有广泛的应用。本课主要介绍李雅普诺夫第二方法关于稳定性分析的理论和应用

●4.2李雅普诺夫关于稳定性的定义

从经典控制理论可知，线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数而与系统的初始条件及外界扰动的大小无关。但非线性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。因此在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义。李雅普诺夫第二法是一种普遍适用于线 性系统、非线性系统及时变系统稳定性分析的方法。李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。

●4.3李雅普诺夫第一方法

李雅普诺夫第一法又称间接法。它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断。对于非线性不很严 重的系统，则可通过线性化处理，取其一次近似得到线性化方程，然后再根据其特征根来判 断系统的稳定性。

●4.4李雅普诺夫第二方法

李雅普诺夫第二法又称直接法。它的基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移逐渐衰减，达到平衡状态时，能量将达最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的。反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的。如果系统的储能既不增加，也不消耗，那么这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下的稳定。

●4.5李雅普诺夫方法在线性系统中的应用

李雅普诺夫方法的优点在于它无需求解系统方程的解,就能对系统的稳定性进行分析,.李雅普诺夫第二法不仅用于分析线性定常系统的稳定性，而且对线性时变系统以及线性离散系统也能给出相应的稳定性判据。

●4.6李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用

从前面分析可知，线性系统的稳定性具有全局性质，而且稳定判据的条件是充分必要的。但是，非线性系统的稳定性却可能只具有局部性质。例如，不是大范围渐近稳定的平衡状态，却可能是局部渐近稳定的，而局部不稳定的平衡状态并不能说明系统就是不稳定的。 此外，李雅普诺夫第二法只给出判断非线性系统渐近稳定的充分条件，而不是必要条件。

第五章线性定常系统的综合

系统的分析与综合是控制系统研究的两大课题。 前者是在建立数学模型的基础上分析系统的各种性能 （诸如前面各章讨论过的系统响应、能控性、能观性和稳定性等）及其与系统的结构、参数和外部作用间的关系。后者的任务在于设计控制器，寻求改善系统性能的各种控制规律，以保证系统的各项性能指标要求都得到满足。根据综合目标提法的不同，可将系统综合分为两类。通常把综合目标仅是为了使系统性能满足某种笼统指标要求的，称为常规综合。把综合目标是要确保系统性能指标在某种意义下达到最优的，称为最优综合。

●5.1线性反馈控制系统的基本结构及其特性

在现代控制理论中，控制系统的基本结构和经典控制理论一样仍然是由受控对象和反馈控制器两部分构成的闭环系统。不过在经典理论中习惯于采用输出反馈，而在现代控制理论中则更多地采用状态反馈。由于状态反馈能提供更丰富的状态信息和可供选择的自由度，因而使系统容易获得更为优异的性能。

●5.2极点配置问题

控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。 因此，作为综合系统性能指标的一种形式，往往是给定一组期望极点， 或者根据时域指标转换成一组等价的期望极点。 极点配置问题，就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。 在经典控制理论中所介绍的根轨迹法就是一种极点配置法，不过它只是通过改变一个参数使闭环系统的极点沿着某一组特定的根轨迹曲线配置而已。 因此，广义地说，不论综合系统的性能指标怎样不同，究其实质都是运用各种技术手段（特别是反馈）来实现系统极点零点的重新配置，以期获得所期望的性能。

●5.3系统镇定问题

所谓系统镇定,是对受控系统，通过反馈使其极点均具有负实部，保证系统为渐近稳定。
镇定问题是极点配置问题的一种特殊情况，它只要求把闭环极点配置在根平面虚轴左侧，而并不要求将闭环极点严格地配置在期望极点上。
状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统为渐近稳定。
输出反馈能镇定的充要条件是结构分解中能控能观子系统是输出反馈能镇定的,其余子系统是渐近稳定的。
输出到实现镇定的充要条件是不能观子系统为渐近稳定

●5.4系统解耦问题

解耦问题是多输入一多输出系统综合理论中的重要组成部分。其设计目的是寻求适当的控制规律，使输入输出相互关联的多变量系统实现每一个输出仅受相应的一个输入所控制，每一个输入也仅能控制相应的一个输出，这样的问题称为解耦问题。
实现系统解耦，目前主要有两种方法：
（1）前馈补偿器解耦这种方法最简单，只需在待解榈系统的前面串接一个前馈补偿器，使串联组合系统的传递函数短阵成为对角形的有理函数矩阵。显然，这种方法将使系统的维数增加。
（2）状态反馈解耦这种方法虽然不增加系统的维数，但其实现解耦的条件要比前者苛刻得多。
用状态反馈实现系统解耦的设计步骤可归纳如下：
1) 检验系统是否满足式(5. 73)所述充要条件。
2) 按照 式(5.75)和式(5. 76)计算状态反馈矩阵 K 和输入变换阵 F ，将系统化成积分型解耦形式。
3) 按照 式(5.82)对各独立子系统采用附加状态反馈，将其极点配置为期望值。
如果在积分型解娟系统中存在不能控和不能观的状态，则在采用附加状态反馈时，必须通过非奇异变换，使之化成能解耦标准形。以上讨论的仅是积分型解耦系统能控的情况。