课程简介
《复变函数》是基础课程，其理论知识不仅与代数学、解析数论、微分方程和拓扑学等数学分支有深度交叉，还广泛应用于理论物理、弹性理论、天体力学、电磁学、图形学等应用学科。因此，它不仅是数学的一个重要组成部分，也是解决实际问题的有力工具，《复变函数》 已成为理工科很多专业的必修课程。 《复变函数》课程的中心研究对象是解析函数，本课程将围绕着解析函数开展复变函数的微分学、积分学、级数理论和共形几何理论的讲解。通过本课程的学习，使学生对复变函数的一些基本概念、基本理论、基本方法有较深刻的认识、理解和掌握，加深对不同数学分支之间内在联系的认识，进一步锻炼、培养学生分析问题和解决问题的能力，为学习相关专业课程、扩大知识面以及进一步深入复分析领域学习提供必要的基础。本课程根据网络学习的特点，提炼复变函数理论的知识点，按照知识点进行视频录制讲授，并辅以在线测试题、单元测试、在线答疑、师生互动讨论等在线环节保证学习效果，最后通过在线考试获得课程成绩。与此同时，还可以共享资源，更大程度的享有平等学习的机会。
课程大纲
复数与复变函数
本部分内容学习时间为：8-10小时.
1.1复数及其运算
1.2复数的多种表示形式
1.3复数的几何应用举例
1.4复变函数的概念
1.5复变函数的极限与连续
解析函数
本部分内容学习时间为：10-12小时.
2.1复变函数的可导与可微
2.2解析函数的定义及性质
2.3柯西-黎曼方程
2.4柯西-黎曼方程定理的应用
2.5基本初等解析函数-复指数函数和复对数函数
2.6初等单值解析函数-三角函数与双曲函数
2.7初等多值解析函数- 根式函数
2.8初等多值解析函数- 一般幂函数、一般指数函数、反三角函数和反双曲函数
2.9初等解析函数-多支点初等解析函数
复变函数的积分
本部分内容学习时间为：10-12小时.
3.1复积分的概念
3.2复积分的参数方程和基本性质
3.3柯西积分定理
3.4柯西积分定理的推广
3.5牛顿-莱布尼兹公式定理
3.6柯西积分公式
3.7解析函数的无穷可微性
3.8解析函数的几个重要结论
3.9解析函数和调和函数的关系
解析函数的幂级数表示
本部分内容学习时间为：8-10小时.
4.1复数项级数
4.2一致收敛的复变函数项级数
4.3解析函数项级数
4.4幂级数
4.5解析函数的Taylor展式
4.6初等解析函数的Taylor展式
4.7解析函数零点的孤立性
4.8唯一性定理和最大模原理
解析函数的洛朗展式与孤立奇点
本部分内容学习时间为：10-12小时.
5.1双边幂级数和Laurent定理
5.2解析函数Laurent展式的求法
5.3有限孤立奇点的类型和Schwarz引理
5.4可去奇点和极点的特征
5.5本质奇点的特征
5.6解析函数在无穷远点的性质
5.7孤立奇点无穷大的特征
5.8整函数与亚纯函数的概念
留数理论及其应用
本部分内容学习时间为：8-10小时.
6.1留数的定义
6.2柯西留数定理
6.3用留数计算定积分
6.4留数的定积分计算
6.5对数留数
6.6儒歇定理
共形映射
本部分内容学习时间为：6-8小时.
7.1解析变换的保域性
7.2解析变换的保角性
7.3单叶解析变换的共形性
7.4分式线性变换及其分解
7.5分式线性变换的共形性和保交比性
7.6分式线性变换的保圆周性和保对称点性
7.7分式线性变换的应用（一）
7.8分式线性变换的应用（二）
7.9幂函数与根式函数
7.10指数、对数函数
7.11儒可夫斯基变换
7.12黎曼存在定理
7.13边界对应定理
本部分内容学习时间为：8-10小时.
1.1复数及其运算
1.2复数的多种表示形式
1.3复数的几何应用举例
1.4复变函数的概念
1.5复变函数的极限与连续
解析函数
本部分内容学习时间为：10-12小时.
2.1复变函数的可导与可微
2.2解析函数的定义及性质
2.3柯西-黎曼方程
2.4柯西-黎曼方程定理的应用
2.5基本初等解析函数-复指数函数和复对数函数
2.6初等单值解析函数-三角函数与双曲函数
2.7初等多值解析函数- 根式函数
2.8初等多值解析函数- 一般幂函数、一般指数函数、反三角函数和反双曲函数
2.9初等解析函数-多支点初等解析函数
复变函数的积分
本部分内容学习时间为：10-12小时.
3.1复积分的概念
3.2复积分的参数方程和基本性质
3.3柯西积分定理
3.4柯西积分定理的推广
3.5牛顿-莱布尼兹公式定理
3.6柯西积分公式
3.7解析函数的无穷可微性
3.8解析函数的几个重要结论
3.9解析函数和调和函数的关系
解析函数的幂级数表示
本部分内容学习时间为：8-10小时.
4.1复数项级数
4.2一致收敛的复变函数项级数
4.3解析函数项级数
4.4幂级数
4.5解析函数的Taylor展式
4.6初等解析函数的Taylor展式
4.7解析函数零点的孤立性
4.8唯一性定理和最大模原理
解析函数的洛朗展式与孤立奇点
本部分内容学习时间为：10-12小时.
5.1双边幂级数和Laurent定理
5.2解析函数Laurent展式的求法
5.3有限孤立奇点的类型和Schwarz引理
5.4可去奇点和极点的特征
5.5本质奇点的特征
5.6解析函数在无穷远点的性质
5.7孤立奇点无穷大的特征
5.8整函数与亚纯函数的概念
留数理论及其应用
本部分内容学习时间为：8-10小时.
6.1留数的定义
6.2柯西留数定理
6.3用留数计算定积分
6.4留数的定积分计算
6.5对数留数
6.6儒歇定理
共形映射
本部分内容学习时间为：6-8小时.
7.1解析变换的保域性
7.2解析变换的保角性
7.3单叶解析变换的共形性
7.4分式线性变换及其分解
7.5分式线性变换的共形性和保交比性
7.6分式线性变换的保圆周性和保对称点性
7.7分式线性变换的应用（一）
7.8分式线性变换的应用（二）
7.9幂函数与根式函数
7.10指数、对数函数
7.11儒可夫斯基变换
7.12黎曼存在定理
7.13边界对应定理