课程介绍

       以微积分为主体的高等数学是大学各专业的一门重要公共基础课， 是学习后续课程的必备工具。高等数学A（2）主要面向理工科各专业的学生，它的主要内容包括：向量代数与空间解析几何、多元函数微分学和多元函数积分学及其应用以及无穷级数。该课程以应用为向导，介绍多元函数微积分学的基本概念和基本方法，力求用平易的语言，直观地表述理论，通过实例引入概念，让学生学会用数学处理简单问题的方法。

通过本课程的学习，力求培养学生的数学逻辑思维和抽象思维能力，使学生具备微积分的基本理论知识，熟练掌握求导和积分的基本方法，提高运用数学知识和工具解决问题的意识和能力，为后续的学习奠定必要的数学基础。

本课程通过考核后取得与深圳大学高等数学A（2）课程同样的学分，并且可以替代深圳大学的高等数学C（2）的课程。

教学大纲

1.向量代数与空间解析几何

（1）理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

（2）掌握向量的运算(线性运算、标量积、向量积)，了解两个向量垂直、平行的条件。

（3）掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

（4）掌握平面方程和空间直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系，求解较简单的问题。

（5）了解曲面及其方程、空间曲线及其方程的概念。

（6）了解常用二次曲面的标准方程及其图形。

（7）了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

（8）了解空间曲面的参数方程和一般方程。

（9）了解曲面的交线在坐标平面上的投影。

2.多元函数微分学及其应用

（1）理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。

（2）了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质。

（3）理解二元函数偏导数与全微分的概念，会求偏导数。了解二元函数连续与偏导数之间的关系以及全微分存在的必要条件与充分条件。

（4）了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。

（5）掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数(对于求由抽象函数构成的复合函数的二阶偏导数，只要求作简单训练)。

（6）会求一个方程或由两个方程构成的方程组确定的隐函数的一阶偏导数，对用雅可比(Jacobi)行列式表示的偏导数公式不作要求。

（7）了解曲线的切线和法平面以及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。

（8）理解二元函数极值与条件极值的概念，了解二元函数取得极值的必要条件与充分条件，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解较简单的最大值与最小值的应用问题。

3.多元函数积分学及其应用

（1）理解二重积分的概念，了解三重积分的概念，了解重积分的性质。

（2）掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算简单的三重积分(直角坐标、柱面坐标)。

（3）理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，会计算两类曲线积分(对于空间曲线积分的计算只要求作简单训练)。

（4）掌握格林(Green)公式，了解第二类平面曲线积分与路径无关的条件以及第二类曲线积分与路径无关的物理意义。

（5）了解两类曲面积分的概念、相互联系及其计算方法。

（6）了解高斯(Gauss)公式(公式的证明不作要求)。

（7）了解科学技术问题中建立重积分与曲线、曲面积分表达式的元素法(微元法)的思想，会建立某些简单几何量和物理量的积分表达式。

4.无穷级数

（1）理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。

（2）了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p-级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法。

（3）了解交错级数的莱布尼茨定理，了解绝对收敛于条件收敛的概念及其与收敛的关系。

（4）了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握简单幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性不作要求)。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(对求幂级数的和函数只要求作简单训练)。

（5）会利用函数与的麦克劳林(Maclaurin)展开式将较简单的函数展开成幂级数。

（6）了解利用函数的幂级数展开式进行近似计算的思想。

（7）了解用三角函数多项式逼近周期函数的思想，了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在和上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在和上的函数展开为傅里叶正弦或余弦级数。