绪章绪论

数学，在比人类文明历史起源更为久远至今的历史长河中，书写出了林林总总浩如烟海的知识华章，其精华珍宝若满天星辰，照亮人类前行的道路。作为现代人，要认识数学的全貌很是不易，又须臾离不开数学的指引和帮助。我们终其一生能够有机会深入学习到的数学知识，真是沧海一粟。基于这些有限的知识储备，如何从整体、宏观、文化的层面，去认识数学、欣赏数学，是一件很值得探索的事。

●0.1博大精深的数学文化

什么是文化？什么是数学文化?数学家又是如何论说数学的？在这里我们共同来一次探索。

第一章独树一帜的中国古代数学

从西安半坡遗址6000年前的陶罐图案可以看出，中国数学的历史比有文字记载的绵延5000年的中国文明史更为久远。中国传统数学的萌芽、成熟、发展独树一帜，在中国社会、科学技术发展中意义重大，对世界数学发展，有着突出贡献。本章按照中国传统数学历时分期的五个阶段来讲述，从数学家、数学著作、数学方法、数学故事等角度全景式简要展示了中国数学的发展。

●1.1上古至秦萌芽时期

中国数学的起源有美丽的传说，河图、洛书的精妙数学结构，太极图的阴阳平衡与周易64卦的二进制都蕴含深刻的数学思想。

●1.2汉唐奠基时期

《九章算术》、《周髀算经》的成书，代表中国古代数学体系的形成，持久影响中国数学的发展模式。考古发现的《算术书》又把数学体系的形成提早100多年。刘徽的《九章算术注》，祖冲之、祖暅的圆周率和球体积计算，标志着数学理论体系的建立。隋唐数学教育体系的形成对中国数学发展都有深远的影响。

●1.3宋元全盛时期

宋元时期，中国数学的发展达到了又一个高峰，宋元数学四大家，贾宪、杨辉、秦九韶、朱世杰及其数学贡献。从《九章算术》到《数书九章》、《四元玉鉴》，形成中国传统数学以算法、应用为主的独特体系。

●1.4明清数学及西学东入时期

明清时期，中国数学以引进西方先进数学为主，徐光启和利玛窦合作翻译的欧几里德《几何原本》是最早系统引进的西方数学著作，以此为开端，西学输入成为这一时期数学乃至科学技术发展的主要方式。程大位的珠算理论是这一时期少有的本土数学成果。梅文鼎数学家族、李善兰的数学翻译、数学研究、数学教育取得一定成就。

●1.5近现代数学发展时期

清末民初，一大批学人到日本、美、欧等发达国家学习科学技术，这些人学成回国，对中国近代科学的发展起到了极大的推动作用。

●1.6中国古代数学特点

中国传统数学的特点十分明显，对世界数学的发展作出了独特的贡献，与下一章的古希腊数学形成鲜明的对比。

第二章影响深远的古希腊数学

以逻辑演绎为主的数学，源头是古希腊数学。古希腊数学传承于古巴比伦（或者称美索不达米亚）和古埃及数学。古希腊数学兴起于公元前6世纪，终结于公元7世纪外族的侵略。古希腊数学家群星闪耀，成就辉煌：泰勒斯（数学证明的开端）、毕达格拉斯（“万物皆数”）、欧多克斯（穷竭法）、柏拉图（数学哲学与数学教育）、欧几里德（《几何原本》）、阿基米德（微积分思想，面积、体积计算）、海伦（三角形面积计算）、阿波罗尼奥斯（《圆锥曲线论》）、丢番图（《算术》）、希帕蒂娅（数学研究与文献整理，评注《几何原本》）。

●2.1古希腊数学之源

在公元前2000多年前的时候，古巴比伦的代数学与古埃及的几何学都已取得很高的成就。普林顿泥板书，莫斯科纸草书和莱茵德纸草书的成就是突出的代表文献，从一些例子可以看出其达到的很高的水平。

●2.2古典时期的希腊数学

善于经商的泰勒斯，会听铁匠部打铁声音的毕达格拉斯，擅长狡辩的芝诺，不让不懂几何者入学园的柏拉图，都有着对宇宙秩序的强烈兴趣和好奇心，从抽象的高度，建立了数学的模式。尺规作图三大难题，以貌似简单的问题，延绵2000多年难以解决，推动了的数学的发展。

●2.3亚力山大前期的希腊数学

欧几里德的《几何原本》是建立演绎推理体系的光辉典范，从成书之日起，就一直深刻地影响着西方数学（古代）、世界数学（文艺复兴以后）以及哲学、社会、科学的发展。数学神人阿基米德的数学思想与方法，远远超越时代，有相当完备的微积分思想体系。阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》，对圆锥曲线的研究细致完备使得16世纪笛卡尔、费马的解析几何出现之前，几乎无人能稍加撼动。

●2.4亚力山大后期的希腊数学

阿基米德被无知的罗马士兵刺死，标志着古希腊数学走向衰落，希帕蒂娅被基督教徒残忍的杀害，标志作为古代学术中心的亚历山大城衰落的开始。欧洲从此陷入长达千年的黑暗的中世纪。

第三章充满智慧的数学思想方法

数学的文化内涵体现在数学的知识、思想、方法、语言体系中。数学知识体系博大精深，是一个历史的动态过程，应该对数学的学科结构和其变迁宏观上有所了解。数学科学，虽然内容庞大，但是其主干、枝条、叶脉关系清晰。几何、代数、分析是三大主干，进一步的发展是其扩展与交融，是人类精神文明最高境界。

●3.1数学的学科结构

从数学发展的历史演进中，了解数学学科的结构变化，了解学校教育体系中的数学学科分类。

●3.2代数

代数学是历史最悠久的数学学科的主干之一，从最初的数的概念及运算到各种数系及性质，数的概念的扩展的产生与发展，绵延几千年。代数方程求根方法跌宕起伏，抽象代数结构环环相扣，线性方程组表述及求解理论完备。花拉兹米、韦达代数之父，塔尔塔格利亚、卡尔丹斗智斗勇，阿贝尔、伽罗瓦的天才创造与怀才不遇令人唏嘘惋惜。

●3.3几何

几何学是历史最悠久的另一主干数学学科。从最初的点、线、面、体，到一般的平面、空间的曲线、曲面、立体；从欧氏几何到非欧几何的革命；从整数维的规则图形到更接近大自然的分数维图形，从具体的图形到抽象的流形、拓扑空间；从几何、代数的各自为阵，到几何代数的交叉融合。几何的图形概念不断扩大地盘。欧几里德、笛卡尔、欧拉、高斯、罗巴切夫斯基、波尔约、希尔伯特、曼德博内特个个身怀绝技。

●3.4分析

分析数学是近现代数学最为辉煌的成就，代表着人类精神的最高胜利。从经典的微积分到建立在微积分理论基础上的应用、扩展构成数学力量最强大、理论最丰富、思想最深刻的人类文明最美乐章之一。阿基米德、刘徽、巴罗、费马、牛顿、莱布尼茨、泰勒、欧拉、柯西、高斯、黎曼、魏尔斯托拉斯、勒贝格、巴拿赫、希尔伯特英雄辈出。

第四章引人入胜的数学名题

数学的心脏是数学问题。社会实践、科学研究和数学内部问题是推动数学可持续发展的主要动力。数学名题博大精深、引人入胜，引导数学的发展 。解决名题推动数学发展，获得自身心灵愉悦和社会的赞誉。

●4.1古典几何作图三大难题

三等分任意角、化圆为方、倍立方，称为几何作图三大难题。三个看似简单的问题，解决它用了长达2000多年，而结局是三个问题都没有解。难题的求解推动了几何学、数学的发展。

●4.2古典几何三大难题求解

三等分任意角、化圆为方、倍立方，称为几何作图三大难题。三个看似简单的问题，解决它用了长达2000多年，而结局是三个问题都没有解。难题的求解推动了几何学、数学的发展。

●4.3孪生素数猜想

孪生素数的概念、孪生素数猜想是有趣的数论问题，华裔数学家张益唐对猜想的解决做出了重要的贡献，张益唐的励志故事说明，虽说做数学是年轻人的事业，但是，只要持之以恒终将到达自由的彼岸。

●4.4哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想是数论中知名度很高的一个数学难题。一是问题简单，可以给小学生讲明白。二是中国数学家陈景润的工作仍然是最好的。三是徐迟的报告文学使得该猜想广为传播，成为改革开放初期向科学进军的号角。

●4.5黎曼猜想

黎曼猜想，现代数学最重要的猜想，没有之一。有上千个定理的成立依赖于该猜想是否最终成为黎曼定理，是一个与高等数学的p-级数紧密相关的问题。

●4.6费马大定理

费马猜想，一个写在丢番图《算术》页边上的小注，历经300多年，勾引无数数学家为其献身，有的数学家得到了一些成果而成名，也有许多数学付出了一生的代价而无功。在1994年终被英国数学家怀尔斯证明，费马猜想变更成了费马大定理。

●4.7四色猜想

四色猜想，一个喜欢独立思考的绘图员提出的一个看似简单的问题，最后的证明出人意料，是美国的阿佩尔和哈肯利用计算机通过复杂的计算证明的。是一个被数学家看来不太完美的证明，不过用计算机证明数学定理现在是人工智能领域的标志性成就

●4.8Poincaré猜想

庞加莱猜想，第一个被证明的克莱数学促进会在2000年提出的千禧年七个重要数学问题之一。这一次猜想的解决过程颇有戏剧性，先证明的是原来看起来更困难的高维推广情形，一个猜想的研究催生了4个菲尔兹奖的诞生。

●4.9世界数学家大会与数学奖励

本节主要介绍了世界数学家大会与数学奖励的相关内容

第五章威力强大的数学之用

数学不只是从纯理论视角看是引人入胜的，数学还是社会公众日常生活须臾离不开的基本常识，是其他学科科技人员解决问题的强有力的工具。数学的应用包罗万象，只能选几个案例窥一斑而想全貌地理解数学能力之神奇给力。

●5.1数学与编码

广泛存在于社会各层面的大量编码问题，需要数学知识。条形码、身份证、二维码等可以说存在于每一次购物、身份证明。

●5.2海王星的发现

太阳系的行星是对我们影响很大的天文系统，有些行星离我们近，可以裸眼看到。海王星被称为笔尖上的行星，是先通过数学计算，再在预测位置找到的太阳系行星，是牛顿力学定律的胜利。

●5.3麦克斯韦电磁感应方程组

我们现代社会、科学技术离不开电、通讯，而其理论基础是被称为最伟大方程的麦克斯韦方程组。方程组以微分、积分两种形式从微观和宏观角度展现，结构对称优美。

●5.4线性规划

在初中时学习过简单的线性规划，在大学时有一般的线性规划理论，是最优化理论的分支之一。是非常有用的数学技术，使用经济效益十分巨大。现代技术问题中涉及成百上千万个变量和方程的线性规划，只有用计算机结合高效的数学方法才能奏效。

●5.5期权定价的数学模型

股票交易、期货交易是证券市场的常见买卖。设计科学合理的交易模型对金融工程十分重要，著名的布莱克-斯科尔斯期权定价模型是华尔街最常用的数学公式。

●5.6文学作品的真伪

《静静的顿河》的作者到底是谁？《红楼梦》的后40回作者是不是曹雪芹？数学的使用，可以给出一个可信的证明。通过文风、用词习惯和数理统计进行作品分析现在已经达到了相当可靠的水平。

●5.7CT诊断与拉东变换

CT诊断是1970年代发明的现代医疗检查的重要技术手段，其发明者获得1979年度诺贝尔医学奖。其背后的核心技术是数学上早在1917年提出的拉东变换。

第六章令人陶醉的数学之美

人们总是喜欢美的事物。数学看起来抽象，但是处处体现出其冷峻的、出乎意料的美。美，甚至是判断数学定理、数学理论价值的重要标准。欣赏数学之美自然离不开对数学知识的掌握，理解得越深刻越能体会到数学高雅的美，选取几个案例体会数学何以为美。美的体验能增强学习数学的信心，增加学习数学的动力，谁不愿意追求美而且还特别有用的东西呢？

●6.1千变万化，一心不动

作为一个定理，不动点定理自身有其优美性，它解决问题的能力十分强大，是数学、经济学上许多解的存在性定理的基础。其推论提供了一些日常生活中现象的科学解释。

●6.2文学意境与数学意境

很多文学作品尤其是古诗词中都体现了数学的意境和美，如无界，极限，存在性定理等。诗词中引入数字，通过数字的对比也可以领略古诗的诗画意境。

●6.3数学之美

数学美体现在多个方面，如兔子繁衍问题的斐波纳契数列，特别神奇，在众多不同领域时隐时现。他又和在古希腊时就已经发现的黄金分割率紧密相连。国际上专门有研究斐波纳契数列刊物。数学的统一美、公式美、符号美是数学美的重要形式。一个简单的公式、一个设计巧妙的符号，就可以表达出很多用文字冗长表达还不一定能清楚表达思想，数学最常用的语言是数学符号。数学规律除了常规性，有时还表现出奇异性，出乎预料，展现出另一种思想美。数学图形更是数学美的直观展现。好的数学方法往往有四两拨千斤、困难问题弹指一挥间得解的功效。在一组平行线网上投掷短针，就可以求得精度很高的圆周率，这体现出数学方法神奇美。黄金分割率，是一个发现于古希腊的数学常数，是用比例刻画的美的表现，在建筑设计、绘画艺术、工业设计等众多领域是一条基本美学原则。人体、五角星中黄金分割率有多重体现。自然界中也有很多的表现。数学不只是抽象、严肃，还有很多趣味，你也可以发现数学中的饶有趣味的概念、公式、定理、应用。

第七章无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来

有些问题，不经数学手段分析，真是难以破解其迷。

●7.1棋盘麦粒与梵塔之谜

给围棋棋盘上堆放麦粒的问题，梵塔变换的次数，是容易让人上当的看似简单实则出乎预料的问题，体现出指数增长的速度之快。说一个计算问题的复杂度是多项式的，往往意味着计算机可以求解的，是指数式的，意味着不可求解的。

●7.2无限猴子定理与芝诺悖论

悖论是一种智慧之辩，数学发展史上，出现许多悖论，使得数学一时陷入窘境。解决悖论又推动数学走向更高的自由。

●7.3希尔伯特旅馆

真正的无限，在现实中根本不存在。可是宇宙中的沙粒数在古希腊时的阿基米德就已经能给出了一个合理的估计。真正的无限，只存在于人们的思维创造中。没有人能真正建一个希尔伯特的神奇旅馆，希尔伯特旅馆问题对说明有限和无限的本质区别很形象。

第八章概率破玄机，统计解迷离

第八章

●8.1三门问题

三重门问题，又叫三扇门问题，是一个有趣的概率问题，你有可能能给出一个正确的结论，但是要说出正确的依据是相当有难度的。

●8.2几个悖论

很多统计上的结果是不能轻易下结论的。