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第一章随机事件与概率
随机事件与概率
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●1.1随机现象与随机试验
在自然界及人类社会中广泛存在着两类不同的现象：确定性现象和随机现象。我们通过随机试验研究随机现象及其规律性。
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●1.2随机现象的描述
为了研究随机现象及其规律性，必须量化地描述随机现象。通过引入样本点、样本空间的概念，借助集合这个数学工具来描述随机现象。
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●1.3事件间的关系与运算
随机事件之间存在着各种关系，也可以进行各种运算。通过事件间的关系与运算，可以描述和表示更复杂的随机现象。
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●1.4概率的统计定义
在大量重复试验情况下，把随机事件发生的频率作为事件发生概率的估计值，这符合人们的认知习惯。
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●1.5概率的古典定义
古典概型是概率论早期主要研究对象。作为主流定义方法，概率的古典定义统治了概率论早期研究几百年时间。
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●1.6概率的几何定义
古典概型只讨论有限等可能情形，有其局限性。对于无限等可能概型的概率，则需要给出另一种定义——几何定义。
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●1.7概率的公理化定义与性质
概率严格定义的给出，经历了几百年时间。1933年，前苏联著名数学家柯尔莫哥洛夫首次给出了概率的公理化定义，第一次将概率论建立在严密的逻辑基础之上，这是概率论发展史上的一个里程碑。
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●1.8条件概率与乘法公式
条件概率也是概率，与独立性有着紧密的联系，常常用来讨论某一现象发生对另一现象发生的概率的影响。乘法公式是与条件概率有关的公式之一，主要用来讨论两个事件都发生的概率。
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●1.9全概率公式
全概率公式是与条件概率有关的公式之一，主要用来讨论诸多因素影响下某事件发生的概率。
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●1.10贝叶斯公式
贝叶斯公式也称逆概率公式，是与条件概率有关的公式之一，常用来讨论已知某事件发生，探究其发生的原因。
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●1.11事件独立性
随机试验的两个事件，如果一个事件的发生对另一事件发生的概率没有影响，那么称这两个事件相互独立。在具体问题中，独立性也可以依据经验做出判断。
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●1.12试验的独立性
伯努利概型作为独立性的一个直接应用，有着广泛的实际背景。
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第二章随机变量及其分布
随机变量及其分布
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●2.1一维随机变量及其分布函数
为更好地研究随机现象，引入随机变量的概念，同时引入随机变量的分布函数用来描述随机变量的分布规律。这样，就可以把微积分等数学理论和方法应用到随机现象的研究中，推动了概率论的发展。
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●2.2一维离散型随机变量
引入一维离散型随机变量用来描述随机变量取值为有限个或无限可列个值的情形。一维离散型随机变量的分布规律可用概率分布律来描述。
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●2.3几种常见的一维离散型随机变量-1
介绍两点分布、二项分布的实际背景、分布律及特点等。
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●2.4几种常见的一维离散型随机变量-2
介绍泊松分布、几何分布和超几何分布的实际背景、分布律及特点等。
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●2.5一维连续型随机变量
引入一维连续型随机变量用来描述随机变量在某个区间上连续取值情形。一维连续型随机变量的分布规律可用概率密度函数来描述。
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●2.6几种常见的一维连续型随机变量-1
主要介绍两个常见的一维连续型随机变量：均匀分布、指数分布的实际背景、分布律及特点等。
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●2.7几种常见的一维连续型随机变量-2
正态分布是概率论中最重要的分布。它不仅有着广泛的实际背景，还有着重要的理论价值。实际问题中，许多随机现象都服从或近似服从正态分布。
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●2.8一维随机变量函数的分布
一般来说，随机变量的函数仍是随机变量，也需要讨论其分布。通过对随机变量函数及其分布的讨论，可以表示和研究更复杂的随机现象。
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●2.9二维随机变量及其分布函数
许多实际问题中，随机试验的结果往往需要两个或更多个随机变量才能描述。为此，引入多维随机变量的概念。同时引入多维随机变量的分布函数，用以刻画或描述多维随机变量的分布规律。多维随机变量一般也可分为离散型和连续型两种。多维随机变量主要介绍二维。
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●2.10二维离散型随机变量
与一维情形类似，二维离散型随机变量用以描述随机变量取值为有限对或无限可列对情形，其分布规律可用联合分布律描述。
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●2.11二维连续型随机变量
与一维情形类似，二维连续型随机变量用以描述随机变量在平面区域连续取值情形，其分布规律可用联合概率密度函数描述。
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●2.12两个常用的二维随机变量
二维均匀分布与二维正态分布是实际问题中较常用的二维随机变量。
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●2.13边缘分布
联合分布函数从整体上描述和刻画了二维随机变量，而每个分量作为随机变量，也有自己的分布函数，即边缘分布函数。二维离散型情形的边缘分布可用边缘分布律来描述，连续型情形则可用边缘密度函数来刻画。
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●2.14随机变量的独立性
随机事件有独立性的概念。同样，作为描述随机事件的随机变量也有独立性的概念。
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●2.15二维离散型随机变量函数的分布
二维离散型随机变量的函数一般是一维离散型随机变量，有时需要讨论其分布。
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●2.16二维连续型随机变量函数的分布
二维连续型随机变量的函数一般是一维连续型随机变量，有时需要求其密度函数。
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第三章随机变量的数字特征
随机变量的数字特征
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●3.1离散型随机变量的数学期望
离散型随机变量的数学期望实际上是随机变量取值的加权平均，反映了随机变量取值的平均水平或相对集中位置。
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●3.2连续型随机变量的数学期望
根据连续型随机变量的特点，借助积分工具来定义连续型随机变量的数学期望。
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●3.3随机变量函数的数学期望
有时需要求随机变量函数的数学期望。这里介绍一种不需要求随机变量函数的分布，而直接利用原来分布求期望的方法。
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●3.4数学期望的性质
数学期望可以看作是作用在随机变量上的一种运算，也满足一些性质，如线性性质等。
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●3.5随机变量的方差
方差是度量随机变量取值与均值偏离程度的重要数字特征，反映了随机变量取值的离散程度。
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●3.6几种常见随机变量的方差
常见的离散型随机变量、连续型随机变量的方差。
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●3.7切比雪夫不等式
切比雪夫不等式较深刻地揭示了数学期望与方差的本质含义和联系，有着重要的理论价值。
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●3.8协方差
协方差是反映随机变量之间线性依赖关系的数字特征。
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●3.9相关系数
相关系数是协方差去量纲标准化后的反映随机变量间线性关系的数字特征。
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●3.10矩与位置特征
把数学期望、方差、协方差与相关系数的概念进一步推广，得到随机变量更广义的数字特征——矩。
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第四章大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理
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●4.1大数定律
概率法则总是在对大量重复的随机现象的考察中才能显现出来。要研究大量重复的随机现象，就需要借助极限工具，采用极限形式，建立有关随机变量序列的极限理论。大数定律就是有关若干个随机变量算术平均的极限定理。
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●4.2中心极限定理
中心极限定理主要解决一类由许许多多彼此不相干的随机因素共同影响决定的事件，而每个因素对该事件的影响又都微乎其微的问题，是关于标准化的随机变量和的极限定理。
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第五章统计量及其分布
统计量及其分布
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●5.1总体与样本
总体是某个统计问题研究对象的全体。通过对总体重复观测或试验获得样本，并对这些样本数据进行分析，从而对所研究总体做出统计推断。
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●5.2统计量及其分布
获取样本后，需要对样本进行一番“加工”，把样本载有的我们所关心的信息提炼出来。这是通过构造样本的某个函数来实现的，即是统计量。统计量是随机变量，只有知道其分布，才能发挥它的作用。
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●5.3卡方分布
卡方分布是数理统计重要分布之一，这里着重从正态总体抽样分布的角度来介绍分布。
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●5.4t分布
t分布是数理统计重要分布之一，这里着重从正态总体抽样分布的角度来介绍t分布。
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●5.5F分布
t分布是数理统计重要分布之一，这里着重从正态总体抽样分布的角度来介绍t分布。
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●5.6有关正态总体样本均值与样本方差的分布
后续内容的学习，主要研究对象是正态总体。所以，需要先介绍有关正态总体样本均值与样本方差的分布。
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第六章参数估计
参数估计
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●6.1点估计的概念
参数估计是统计推断的三大任务之一，包括：点估计和区间估计。点估计是构造样本的函数作为参数的估计量。
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●6.2矩估计
矩估计是点估计的方法之一，其依据原理是大数定律，基本思路是用样本矩估计总体矩。
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●6.3最大似然估计
最大似然估计是点估计的方法之一，其依据原理是最大似然原理，通过求最大似然函数的最大值给出参数的估计。
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●6.4估计量的评价标准
对同一个未知参数，可以有多种方法进行估计。即使同一种方法，也可以得到不同的估计量。因此，需要制定一些评价估计量优劣的标准。无偏性是重要的评价标准之一。
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●6.5区间估计的概念
区间估计是参数估计的方法之一，是从样本出发构造一个随机区间，使该区间包含被估参数的可能性相当大。这个区间是对参数的一种估计，称为区间估计．
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●6.6单个正态总体均值与方差的区间估计
讨论不同情况下，单个正态总体均值与方差的区间估计。
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●6.7两个正态总体均值差与方差比的区间估计
]讨论不同情况下，两个正态总体参数的比较估计，即：均值差与方差比的区间估计。
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第七章假设检验
假设检验
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●7.1假设检验的原理和思想
假设检验是一种应用十分广泛的统计推断方法，具有极高的理论价值和应用价值。它的基本任务是：为了推断总体的某些性质，首先提出假设，然后根据样本信息，对所提假设做出接受或拒绝的决策。
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●7.2假设检验的相关概念和方法
依据假设检验的原理和思想，介绍有关概念和假设检验的方法、步骤。
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●7.3单个正态总体均值的假设检验
在正态总体方差已知、未知两种情况下，讨论正态总体均值的U检验和t检验。
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●7.4单个正态总体方差的假设检验
重点介绍不考虑总体均值的信息，单个正态总体方差的卡方检验方法。
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●7.5两个正态总体均值差的假设检验
在两正态总体方差未知但相等情况下，讨论均值的比较t检验。
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●7.6两个正态总体方差比的假设检验
为比较两总体的方差，构造有关方差比的检验统计量，做F检验。
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●7.7区间估计与假设检验的联系
区间估计和假设检验这两个统计推断问题看似完全不同，实际上两者之间有着非常密切的联系。