第一章随机事件与概率

本章内容是概率论的“第一层次”，可以说是从“静态”的角度研究随机现象。对研究对象的处理主要用集合论的观点，依据概率性质化繁为简来进行概率的计算，对同类问题抽象、概括的不彻底，因而处理方法比较“零碎”，但是本章确是后续章节的基础，其中的思维、方法对于后续章节的学习至关重要。主要课程内容为：随机事件及其运算、概率的定义及其性质、等可能概型、条件概率与乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式、事件的相互独立性。
学习目标为：
（1）掌握事件的基本关系与运算，古典概率的计算，用概率的性质求概率的方法，条件概率，乘法公式、全概率公式和Bayes公式。
（2）熟悉随机实验、随机事件、必然事件、不可能事件等概念，样本空间、样本点的概念，会用集合表示样本空间和事件，事件的独立性。
（3）了解频率与概率的统计定义，概率的公理化定义。

●1.1随机事件及其运算

本节主要从概率论研究的对象—随机现象入手，介绍了随机试验、样本空间、随机事件的定义，抽丝剥茧，建立起数学模型。然后，探讨了随机事件的4种关系、4种运算以及事件的运算律等内容，为后续学习中将复杂事件化繁为简和计算概率奠定基础。

●1.2概率的定义及其性质

计算概率是概率论的核心主题，本节主要介绍了概率的公理化定义，和概率的加法公式、减法公式等性质，为计算复杂事件的概率做好准备。

●1.3等可能概型

巧妇难为无米之炊，化繁为简的计算概率也得有能直接计算出来的概率。本节就介绍了在概率论发展史上占有重要地位，而且实际应用中也最常见的古典概型、几何概型以及它们的概率计算。

●1.4条件概率与事件的相互独立性

条件与独立是概率论的又一主题，代表了重要的思维方式和处理问题的方法。事实上，人们研究问题往往是在一定的条件下，换一种条件则结论不一定成立。本节主要介绍了条件概率的定义和求解，乘法公式，两个事件以及多个事件独立性的定义与性质。后续随机变量的条件分布、独立是本节内容的延伸。

●1.5全概率公式与贝叶斯公式

贝叶斯公式以及由此发展起来的一整套理论与方法，已经成为概率统计中的一个冠以“贝叶斯”名字的学派，在自然科学及国民经济的许多领域中有着广泛应用。本节课特别的把全概率公式、贝叶斯公式从条件概率中单列出来，详细分析其中蕴含的思想，并介绍了它们的几种推广和应用。

第二章随机变量及其分布

本章内容是概率论的“第二层次”，可以理解为从“动态”的角度研究随机现象。随机变量这一概念的建立使得对随机现象的研究有了高度的概括性，一个随机变量可以代表很多随机现象，可以简明的构造各类随机事件，人们可以用它的分布函数、概率密度等“函数”来方便的解决概率问题。主要课程内容为：随机变量的概念，分布函数及其性质，离散型随机变量及分布律，连续型随机变量及密度函数，常用的离散、连续型随机变量，随机变量函数的分布。
学习目标为：
（1）掌握(0-1)分布、二项分布、Poisson分布的概念、性质，分布函数的定义及其性质，均匀分布、正态分布和指数分布的概念、性质，一维随机变量函数的分布。
（2）熟悉随机变量的概念，离散型随机变量及其分布律的定义，分布律的性质，连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质，标准正态分布的性质。
（3）了解伯努利实验的定义，正态分布概率密度函数图像的特点。

●2.1离散型随机变量及其分布

本节简单地引入随机变量的定义之后，着重介绍了离散型随机变量及分布律的定义、性质，并探究了常用的二项分布、泊松分布的概念和应用。学习随机变量应该由简入难，往往从离散型入手再到连续型，并且经常采用“连续问题离散化”的思维来处理连续型随机变量中的很多问题，所以必须学好本节课打好基础。

●2.2随机变量的分布函数

分布函数是研究随机变量的通用工具，即便实际应用中常用分布律和概率密度，但是分布函数不可或缺，比如后续研究概率密度相关问题往往需要从分布函数入手，因为分布函数不仅是函数，它还是概率，是衔接“概率”和“分布”的关键。本节主要介绍了随机变量分布函数的定义、性质以及如何用分布函数来求解概率等。

●2.3连续型随机变量及其概率密度

连续型随机变量在概率论中占有重要地位，正态分布尤其重要，它是现实中的常见分布，中心极限定理中的极限分布，以及数理统计中的主要总体分布。概率密度函数使人们得以用积分、求导来解决概率问题。本节主要介绍了连续型随机变量及概率密度的概念、性质，以及常用的正态分布、指数分布以及均匀分布。

●2.4随机变量函数的分布

随机变量的函数还是随机变量，如何从已知随机变量的分布求解其函数的分布是本节的主要内容，主要介绍了分布函数法和公式法这两种求解方法。本节内容还与现在盛行的蒙特•卡罗方法息息相关，求解过程蕴含的理念也是后续两个随机变量函数分布的指导理念。

第三章多维随机变量及其分布

本章是对第二章一维随机变量内容的延伸，以二维随机变量为主要研究对象，对联合分布律、联合分布函数、联合概率密度、函数的分布等理解和应用可以类比一维随机变量的相关内容。本章还介绍了随机变量中的条件与独立，提供了在分布这个层面上研究随机变量之间关系的工具。主要课程内容为：多维随机变量及其联合分布，常用的多维随机变量，边缘分布，条件分布，二维随机变量函数的分布。
学习目标为：
（1）掌握二维离散型随机变量的联合分布律和边缘分布律，联合概率密度函数和边缘概率密度函数的关系，会求边缘概率密度，判断随机变量是否相互独立，两个随机变量和的分布。
（2）熟悉二维离散型与连续型随机变量的定义，条件分布的概念并会进行计算，随机变量函数的分布。
（3）了解多维随机变量及其分布函数的定义。

●3.1二维随机变量

本节介绍了二维随机变量、二维离散型、二维连续型随机变量的概念，给出了联合分布函数、联合分布律、联合概率密度函数的定义和性质。如何利用联合概率密度求解概率是重点之一。

●3.2边缘分布

二维随机变量的分量是两个一维随机变量，从二维随机变量的“信息”中提取各个分量的“信息”是研究分量之间关系的第一步。本节课介绍了边缘分布律、边缘分布函数和边缘概率密度，就是提取分量“信息”的方法。

●3.3条件分布

条件与独立是概率论主题之一，先限定条件分类研究再综合研究是一种重要思维，本节介绍了条件分布律、条件分布函数和条件概率密度，是第一章条件概率的延伸，也是有着重要应用的条件期望的基础。

●3.4相互独立的随机变量

本节主要介绍了随机变量独立性的概念。随机变量的独立是大数定律、中心极限定理成立的条件，也是数理统计简单随机样本的主要特点。

●3.5两个随机变量函数的分布

本节主要介绍了连续型随机变量和的分布、最大最小值函数分布，也介绍了相对简单的离散型随机向量函数的分布。

第四章随机变量的数字特征

本章内容是概率论的“第三层次”。随机变量的分布虽然能完整的描述随机变量，但是在某些场合人们关注的是能描述随机变量某一种特征的常数。本章主要内容就是介绍这些主要的数字特征，主要包括描述随机变量取值平均大小的数学期望，描述取值偏离“中心”程度的方差，以及二维随机变量两个分量之间线性关系紧密程度的相关系数等。本章还介绍了对概率论和数理统计具有承前启后作用的几类大数定律和中心极限定理。
学习目标为：
（1）掌握数学期望和方差的基本性质，随机变量函数的数学期望、方差、协方差、相关系数的求法，掌握中心极限定理及其应用。
（2）熟悉数学期望、方差、协方差、相关系数的定义，熟悉大数定律、依概率收敛。
（3）了解矩、协方差矩阵和大数定律的直观意义。

●4.1数学期望

本节主要介绍了离散型与连续型随机变量的数学期望的定义、性质，还有离散型与连续型随机变量函数的数学期望的计算公式等内容。后续的方差、协方差本质上都是随机变量函数的期望，所以学习好本节课对于本章的学习至关重要。

●4.2方差

本节主要介绍了方差的定义，性质，推导了计算方差常用公式以及切比雪夫不等式。

●4.3协方差和相关系数

本节主要介绍了协方差与相关系数的的定义，性质以及计算公式等内容，并介绍了不相关的定义与判断，分析了不相关与独立的区别与联系。

●4.4大数定理与中心极限定理

本节主要介绍了伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、辛钦大数定律，独立同分布中心极限定理，隶莫佛-拉普拉斯中心极限定理等内容。大数定律奠定了概率论的基础，而中心极限定理是数理统计的重要基础之一，本章是承前启后的重要章节。

第五章样本及抽样分布

本章是数理统计部分开篇之章，主要介绍了数理统计的基本概念，包括总体、样本、样本平均值、样本方差、经验分布函数、统计量等。为后续学习的需要，也介绍了常用的三大抽样分布——卡方分布、t分布、F分布，以及正态总体下由样本平均值、样本方差等搭建的抽样分布。
学习目标为：
（1）掌握简单随机样本的定义，卡方分布、t分布、F分布的定义，样本均值和方差的计算。
（2）熟悉正态总体下的由样本平均值、样本方差搭建常用统计量的分布。。
（3）了解数理统计的基本概念。

●5.1总体与样本

本节主要介绍了数理统计的基本概念，包括总体与简单随机样本、经验分布函数、样本的联合分布等，也简单介绍了直方图和箱线图的作法和意义。

●5.2统计量

本节主要介绍了样本平均值、样本方差、样本矩、统计量等概念，和经验分布函数的定义和性质。

●5.3抽样分布

本节主要介绍了卡方分布、t分布、F分布的定义、构造方法以及性质，以及上侧分位点的概念，还介绍了单正态总体和双正态总体中样本所构造的六个作为假设检验和区间估计依据的重要统计量。

第六章参数估计

本章主要介绍参数估计的两大类估计：点估计及区间估计。点估计中主要有矩估计法和极大似然估计法，以及估计量的三大评选标准。区间估计主要介绍正态总体中单正态均值和方差的置信区间以及双正态总体均值差和方差比的置信区间。
学习目标为：
（1）掌握矩估计法和极大似然估计法，估计量的优劣标准。
（2）熟悉置信区间的定义，正态总体均值和方差的置信区间。
（3）了解两个正态总体均值差和方差比的置信区间。

●6.1点估计

本节主要介绍点估计的两大类常用方法：矩估计法、极大似然估计法，给出了两类估计法的基本思想、基本原理以及基本步骤，以及评判估计量的三个标准：无偏性、有效性和相合性。

●6.2置信区间

本节主要介绍正态总体参数的置信区间，主要包括单正态总体均值、方差的置信区间，两正态总体均值差、总体方差比的置信区间。

第七章假设检验

本章主要课程内容是正态总体均值及方差的假设检验，主要借正态总体均值的双边检验过程介绍了假设检验的基本概念，详细分析其单边检验与双边检验的异同。对于单个（两个）正态总体下均值、方差的双边、单边检验的检验统计量、拒绝域，通过类比的方法，结合对应的区间估计，列表给出结论。本章还特别介绍了实际应用中非常重要的p值检验法的基本思想和判断方法。
学习目标为：
（1）掌握单个正态总体均值和方差的假设检验。
（2）熟悉假设检验的基本理论。
（3）了解置信区间和假设检验之间的关系，分布拟合检验。

●7.1临界值检验法

本节主要分析了临界值检验法的基本思想和基本步骤，介绍了正态总体均值的双边检验和单边检验，简介了单个（两个）正态总体下均值、方差的双边、单边检验的检验统计量和拒绝域。

●7.2p值检验法

本节主要介绍了在SPSS等统计软件应用中的p值检验法的基本思想和判断方法。