第一章函数极限

高等数学研究的对象是变量。函数是描述变量之间依赖关系的，是数学中重要的概念。极限是微积分学中的一个重要的基本概念，极限方法是研究变量的一种基本方法，是学习微积分的基础，高等数学中的许多概念、性质和法则都是通过极限方法来建立的。本章主要介绍函数极限概念、重要极限、无穷大量与无穷小量、建立极限运算法则，并在此基础上讨论函数的连续性。

●1.1函数极限

我国古代数学家刘徽提出的“割圆术”正体现出了数列极限的思想，并由此引出数列极限的定义以及如何用数列极限的定义去证明数列极限。把数列极限推广到一般函数的极限概念，先以具体的例子感受函数在某一点处的极限的含义，再给严格的数学定义。本专题主要给出了函数极限的定义及性质，函数极限的性质主要包括唯一性、局部有界性、局部保号性。

●1.2函数极限运算

分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成，介绍了两个函数的和、差、积、商在某一点处的极限的运算法则，把复杂函数的极限的计算转化为简单函数的极限的计算。本专题主要给出函数极限的四则运算法则。

●1.3重要极限

本节介绍了两个重要极限，它是在学生学习了数列的极限、函数的极限及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的。两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具。

●1.4无穷大与无穷小

本节介绍无穷大与无穷小的定义，无穷大与无穷小的关系以及无穷小的常见性质

●1.5无穷小的比较

本节简单介绍了高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小，重点介绍了同阶无穷小中的等价无穷下的性质及应用。

●1.6函数的连续性

自然界中有许多现象，如气温的变化、河水的流动、植物的生长等等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映就是函数的连续性。例如就气温的变化来看，当时间变动很微小时，气温的变化也很微小。这种特点就是函数的连续性。所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线。本节介绍了连续性的概念，连续性的充要条件以及间断点的概念与分类。

●1.7连续函数的运算

连续函数的和、差、积、商的连续性、反函数与复合函数的连续性、初等函数的连续性

●1.8闭区间上连续函数的性质

前面我们说明了函数在开区间上连续的定义，这节将要介绍函数在闭区间上连续的定义即：该函数在一个开区间内连续，并且在该开区间的左端点右连续和在右端点左连续，那么我们就说函数在该闭区间上连续。

第二章导数与微分

导数与微分统称为微分学。微分学是微积分的重要组成部分，在自然科学和社会科学领域中有着广泛的应用。本章主要介绍微分学的基本概念——导数与微分以及它们的计算方法，并简要介绍导数的物理、几何和经济意义。

●2.1导数概念

边际经济量是经济量的改变量与自变量的该变量之比的极限。其实，在很多其他问题中，我们都要涉及这种形式的极限，例如几何学中求曲线在某点出的切线问题、物理学中的速度问题和加速度问题等。因此，对于这种形式的极限给出更一般的定义就是导数的定义。

●2.2导数运算

我们虽然可以利用导数的定义求出几个常用基本初等函数的导数，但我们不能利用定义求所有函数的导数，因为这将导致大量的、非常繁杂的运算过程，有时甚至是很困难的。因此，需要寻找一些运算法则和求导方法，使求导运算得以简化.

●2.3高阶导数

一阶导数的导数称为二阶导数，二阶以上的导数可由归纳法逐阶定义。二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。因此求函数的高阶导数只需应用求导基本公式和求导法则多次连续求导数，若需要求函数的高阶导数公式，则需要在逐次求导过程中寻求其某种规律。

●2.4微分概念与几何意义

首先，通过实例引入微分的概念、可微的充要条件、可微与可导的关系，再次给出函数微分的几何意义。

第三章微分中值定理与导数应用

在第二章中我们引进了导数与微分的概念，系统讨论了它们的计算方法。本章主要介绍微分学的基本理论——中值定理，并在此基础上，以导数为工具进一步研究函数的各种性态，然后利用这些研究结果解决一些简单的实际问题。

●3.1微分中值定理

介绍费马引理，然后引出罗尔定理内容，证明及几何意义，最后举例说明; 回顾罗尔定理，然后引出拉格朗日中值定理内容，证明及几何意义，最后举例说明。

●3.2罗必达法则

介绍罗必达法则并举例说明; 介绍其他类型的未定式，将它们通过恒等变形或简单变换分别转化，再利用洛必达法则，然后举例说明，最后指出应用洛必达法则求导数的注意事项。

●3.3一阶导数的应用

一阶导数表示曲线在各点的切线斜率，一条上升的曲线切线的斜率总是非负的。在本专题将讨论如何用导数的符号来判别函数的单调性。

●3.4函数的凹凸性与拐点

函数的单调性反映在图形上就是曲线的上升或下降。但是曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，就是曲线凹凸性问题。本专题用二阶导数来研究曲线的凹凸性与拐点。

第四章不定积分

在第二、三章中，我们已经讨论了函数的导数与微分，本章开始讨论与它们相反的问题。即已知一个函数的导数或微分，求出这个函数，这就是不定积分问题。这是积分学的基本问题之一，本章主要介绍了不定积分的概念、性质和常见不定积分的求法等问题。

●4.1不定积分的概念

不定积分是一个函数类，表示被积函数的所有原函数。有些连续存在原函数但不能用初等函数表示出来，而用不定积分可以表示所有连续函数的原函数。

●4.2基本积分公式

基本积分公式是导数基本公式的逆运算。本专题研究利用基本积分公式及不定积分的基本性质，并借助函数的恒等变形，求出不定积分。这个方法就叫直接积分法。

●4.3不定积分换元积分法

换元积分法是求积分的一种方法，是由链式法则和微积分基本定理推导而来的。主要通过引进中间变量作变量替换，把一个被积表达式变成另一个被积表达式。从而把原来的被积表达式变成较简易的不定积分这就是换元积分法。

●4.4不定积分分部积分法

不定积分分部积分法是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。常用分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型分为升幂法、降幂法和循环法。

第五章定积分及其应用

定积分是微积分学的又一个重要的基本概念，和导数概念一样，也是在解决实际问题中逐渐发展起来的。像古希腊数学家阿基米德用“穷竭法”，我国魏晋时期伟大数学家刘徽用“割圆术”，都曾计算过一些几何体的面积和体积，这些均为定积分的雏形。本章首先从实际问题出发引入定积分分概念，然后讨论其基本性质和计算方法。

●5.1定积分定义

在平面几何中，我们会遇到三角形、矩形、梯形等由直线围成图形的面积，以及圆、椭圆、扇形等特殊曲线所围成图形面积的计算。在本专题将通过“分割、以直代曲近似、求和、取极限”四个步骤求曲边梯形面积，并在此基础上，给出定积分定义。

●5.2定积分性质

按照定积分定义，即通过定积分和的极限求定积分十分困难，必须寻求定积分的有效计算方法。本专题介绍的定积分基本性质有助于计算定积分，也有助于理解定积分。定积分基本性质主要包括线性性质、区间的有限可加性、保序性、估值性质、积分中值定理等5个方面。

●5.3微积分基本定理

不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和极限的概念是完全不相干的两个概念。但是，牛顿和莱布尼茨不仅发现还找到了这两个概念之间存在的深刻的内在联系，即所谓的“微积分基本定理”，并巧妙地开辟了求定积分的新途径——牛顿-莱布尼茨公式。本专题主要介绍和证明了微积分基本定理。

●5.4定积分换元法

由微积分基本定理可知，计算定积分的简便方法是把它转为求被积函数原函数的增量。对不定积分内容学习中，我们知道能用换元积分法求一些函数的原函数。很自然想到，在定积分计算中，也可以尝试换元法。在本专题主要讨论如何用换元法计算定积分。

●5.5定积分分部积分

介绍定积分分部积分的相关概念及分部积分公式

●5.6定积分的应用

求平面图形的面积是定积分的一个重要应用，结合“微元法”总结了平面直角坐标系下两种利用定积分求解图形面积的方法以及解题步骤，贯穿数形结合的思想，将抽象的理论具体化; 旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴。比如圆柱可以看作矩形绕它的一条边、圆锥可以看作直角三角形绕它的一条直角边、圆台可以看作直角梯形绕它的直角腰、球体可以看作半圆绕的直径旋转一周而成的立体，它们都是旋转体.那么旋转体体积的计算需要用到定积分的知识。