第一章函数、极限与连续

极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性。因 此,本章内容是整个微积分学的基础。本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质,以及与极限概念密切相关的,并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质。此外,还给出了两个极其重要的极限。随后,运用极限的概念引入函数的连续性概念,它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述。

●1.1数列的极限

极限思想是由求某些问题的精确值而产生的，例如我国古代数学家刘徽，在求圆的面积时所创立的割圆术，该方法就是利用圆内接正多边形的面积来无限逼近圆的面积，它是极限思想在几何上的应用。为了描述变量在某一变化过程中的变化趋势，人们引入了极限的概念，本节主要介绍数列的极限。

●1.2函数的极限

根据自变量变化情况的不同，函数的极限主要讨论两类问题，一类是自变量趋向无穷大时函数的极限，另一类是自变量趋于有限值时函数的极限。

●1.3无穷小与无穷大

本节主要讨论无穷小与无穷大的概念，需要注意，无穷小是指在所讨论的自变量变化过程中以零为极限的函数，若要称一个函数是无穷小，则必须指出其自变量的变化过程；无穷大的变化趋势正好与穷小相反。

●1.4极限的运算法则

本节主要介绍极限的四则运算法则及复合函数的极限运算法则，利用这些法则可以计算一些比较复杂的极限。

●1.5极限存在准则与两个重要极限

直接根据极限的定义判断极限的存在性，有时是比较困难的，本节介绍判断极限存在的两个充分条件（极限存在准则），并由此导出两个重要极限。

●1.6无穷小的比较

在同一变化过程中的两个无穷小的和、差、积仍为无穷小，但在同一变化过程中的两个无穷小的商却不一定是无穷小。为了比较在同一变化过程中两个无穷小趋于零的快慢，本节引进无穷小的阶的概念。

●1.7函数的连续性

连续性是函数的重要性质之一，它反映了许多自然现象的共同特性，如生物的连续生长，流体的连续流动，以及气温的连续变化等，本节主要介绍函数的连续性以及间断点。

第二章导数与微分

微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础。微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分。 本章以极限为基础，引入导数与微分的定义，建立导数与微分的计算方法。

●2.1导数概念

本节通过两个实例引出导数的定义，介绍导数的几何意义，探讨函数可导与连续的关系。

●2.2导数基本运算与导数公式

导数作为解决有关函数的变化率问题的有效工具，需要建立计算导数的简便方法，而直接用定义求导数并不可取，本节将介绍计算导数的基本法则，并完善基本初等函数的导数公式。在此基础上，将能方便解决常用初等函数的导数计算问题。

●2.3隐函数与参变量函数求导法则

前面所讨论的形如y=f(x)的函数称为显函数，除了显函数外，函数还可以表示成隐函数，或者由参数方程确定。本节首先讨论隐函数的求导问题，其次介绍对数求导法，最后讨论参变量函数的求导。

●2.4微分及其运算

本节通过引例导出微分的定义，分析函数可微与可导的关系，给出微分计算公式及对应法则。

●2.5高阶导数

本节主要介绍了高阶导数的概念及求解函数高阶导数的计算方法。

第三章微分中值定理与导数的应用

导数作为函数的变化率，刻画了函数的变化形态，因此是研究函数的一个有力工具，在科技和经济等领域中得到广泛的应用。本章以微分学的基本定理——微分中值定理为基础，应用导数解决诸如函数不定式的极限，判断函数的单调性和凹凸性，求函数的极值、最大（小）值等问题。

●3.1微分中值定理

本节将介绍3个微分中值定理，它们揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系，因而称为微分中值定理。这些定理有明显的直观几何解释，且相互之间有着内在的联系。

●3.2洛必达法则与不定式的极限

在前面的章节，我们曾讨论过两个无穷小之比的极限问题，这类极限有的存在，有的不存在，称为型不定式。类似地，两个无穷大之比的极限称为型不定式。本节利用微分中值定理建立计算不定式极限的罗必达法则。

●3.3函数的单调性与函数的极值

对于函数的单调性，前面章节已经有过一些认识。本节将利用函数的导数的符号来刻画函数的动态性质——函数的单调性与极值。

●3.4函数的极值与最值

本节将利用函数的二阶导数的符号来刻画函数的另一个动态性质——函数的凹凸性，这对函数的定性研究与作图十分重要。同时，极值与本节最值的研究形成了最优化理论，被广泛应用于科技、社会与经济等领域。

第四章不定积分

在微分学中，曾经讨论过求一个已知函数的导数（或微分）的问题，但在实际问题中常常遇到另一类问题，即已知一个问题的导数或微分，而需要求出函数本身，这是一个与求导数或微分相反的过程，也就是逆运算过程，是积分学需要解决的基本问题之一，本章先给出原函数与不定积分的概念，并介绍它们的性质，然后讨论求不定积分的方法.

●4.1不定积分的概念与性质

本节从原函数的概念切入，引出不定积分的概念，然后讨论不定积分的几何意义和性质.

●4.2基本积分公式

理解和熟记不定积分的基本公式是掌握积分方法的重要环节,本节介绍13个不定积分基本公式和推导,并举例介绍了直接积分法.

●4.3换元积分法

用直接积分法求出的积分非常有限,因为大量的被积分函数,例如复合函数和无理函数构成的不定积分,其结果都比较复杂.而无法用直接积分法求出原函数.本节主要讨论换元积分法,换元积分法包括第一换元积分法和第二换元积分法,第一换元积分法又叫凑微分法,积分方法灵活,不易掌握,所以列举了较多的例题进行讲解,第二换元法规律性较强,相对容易掌握，但是需要有较好的基础.

●4.4分部积分法

对于被积函数为两种不同类型的基本初等函数乘积的不定积分,通常采用分部积分法,分部积分法主要是运用分部积分公式进行积分的一种方法.

第五章定积分

定积分是积分学中一个重要概念，它是从大量的实际问题中抽象出来的．定积分的有关理论是从17世纪开始出现和发展起来的，人们对几何与力学中某些问题的研究是导致定积分理论出现的主要背景．积分在自然科学、工程技术、经济管理中有着广泛的应用。本章我们先从几何问题出发引进定积分的定义，然后讨论定积分的性质及计算方法，最后介绍定积分的应用．

●5.1定积分的概念

定积分主要的思想是极限思想，以曲边梯形的面积、变速直线运动的路程为引入点，讲解定积分的概念。重点强调分割近似计算求和求极限的思维，同时介绍定积分的几何意义。

●5.2定积分的性质

本节着重介绍了定积分的线性性、区间可加性、定积分的不等式性，包括绝对值不等式和估值不等式，特别是定积分中值定理以及它的应用。

●5.3微积分基本公式

前面介绍了定积分的定义和性质，但并未给出一个有效的计算方法．即使被积函数很简单，如果利用定义计算其定积分也是十分麻烦的．因此必须寻求计算定积分的新方法．在此我们将建立定积分和不定积分之间的关系，这个关系为定积分的计算提供了一个有效的方法，也就是微积分基本公式，包括积分上限函数，也称为变上限积分的讲解就是本节的重点。

●5.4换元积分法和分部积分法

由牛顿-莱布尼兹公式知道，计算定积分的有效、简便的方法是把它转化为求被积函数的原函数在区间上的增量，本节就是在一定条件下，利用不定积分的换元积分公式及牛顿莱布尼兹公式来计算定积分；利用不定积分的分部积分公式及牛顿莱布尼兹公式，也可得出定积分的分部积分公式．

●5.5定积分的应用

定积分的应用十分广泛，本节中，我们将运用前面学过的定积分理论来分析和解决一些实际问题．包括定积分在几何中的应用和在经济学中的应用．更重要的是介绍把所求的量归结为某个定积分的分析方法－微元法．基于此，我们可以将一些实际问题中有关量的计算问题归结为定积分的计算．例如，曲边梯形面积的计算问题既是如此，其归结过程概括地说就是“分割作近似，求和取极限”，也就是将整体化成局部之和，利用整体上变化的量局部近似不变这一辩证关系，局部以“不变”代表“变”，这就是我们利用定积分解决实际问题的基本思想．