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第一章行列式
行列式是线性代数中基本概念之一。它不仅是解线性方程组的重要工具，而且在矩阵理论、二次型的讨论中起着重要作用。本章主要介绍行列式的概念、性质、计算以及利用行列式解线性方程组。
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●1.1二阶与三阶行列式
本节将基于线性方程组的求解方法给出二阶与三阶行列式的概念及计算方法。
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●1.2n阶行列式定义
本节将给出逆序数的概念，并在分析二阶及三阶行列式的特点的基础上，推广得出n阶行列式的概念。
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●1.3行列式的性质
行列式的性质是行列式研究及应用的基础，本节将基于n阶行列式的定义给出行列式的相关性质及推论。
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●1.4行列式按行（列）展开
行列式按行（列）展开是行列式降阶的重要方法，本节将给出余子式、代数余子式及行列式按行（列）展开定理性质的相关内容。
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●1.5行列式计算
四阶以上的行列式没有对角线法则，定义计算比较复杂，本节重点给出两种比较简便的行列式计算方法：三角法和降阶法。
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●1.6克拉默（Cramer）法则
克莱默法则是求解高阶线性方程组的重要方法之一，本节将给出克莱默法则的相关定理，并给出线性方程组有解的判定方法。
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第二章矩阵
矩阵是线性代数的研究对象和重要工具，许多理论问题和实际问题都可以用矩阵表示，并通过矩阵的研究得以解决。尤其在计算机技术迅速发展的今天，矩阵化数据处理已经成了最具有生命力的技术之一。
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●2.1矩阵及其运算
理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的加、减、乘法运算，会某些特殊方阵的简单幂运算.理解矩阵的转置、矩阵的行列式的概念及性质，掌握其运算。
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●2.2逆矩阵
理解逆矩阵概念，重点掌握矩阵可逆的条件及可逆矩阵的性质。
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●2.3分块矩阵
了解分块矩阵及其运算，重点掌握分块对角阵及其性质。
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●2.4矩阵的初等变换与矩阵的秩
掌握矩阵的初等变换，熟练地用初等变换将矩阵化为阶梯矩阵和最简矩阵；理解矩阵秩的概念并掌握其求法，了解矩阵秩的性质。
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●2.5初等矩阵
理解初等变换与初等矩阵的关系；熟练掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵及解矩阵方程AX=B的方法。
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第三章向量与向量空间
在自然界中，我们常会遇到这样一类量，它们既有大小又有方向。 例如：力、力矩、速度等，这类量称为向量。 在平面解析几何中，向量用有向线段来表示。在几何空间中引入坐标系，有向线段即向量可用三元有序数组来表示，这样几何问题可转化为代数问题来研究。 但在许多实际问题中，只用几何向量是不够的。如在研究人造卫星在太空运行的状态时，我们不仅要知道它的几何轨迹，还希望知道在某个时刻它所在的位置及它的表面温度、压力等物理参数。因此有必要拓广向量的概念，引入由n元数组构成的n维向量，并抽象出向量空间的概念。
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●3.1几何向量及其线性运算
掌握几何向量的相关概念，理解向量与标量的区别，会用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法及减法运算，掌握几何向量的数乘运算及线性运算律。
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●3.2空间直角坐标系
掌握几何向量在空间直角坐标系下的表示方法，理解向量的模及方向余弦；会用坐标进行向量的线性运算。
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●3.3n维向量及其线性运算
掌握n维向量的概念，理解向量与矩阵的关系，掌握n维向量的线性运算及运算律。
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●3.4向量组的线性相关性
理解线性相关、线性无关的定义及线性相关性的几何背景，掌握线性相关性的基本性质，并会判定向量组的线性相关性。
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●3.5向量组的秩
理解最大线性无关组和向量组秩的概念，掌握向量组的最大无关组的相关性质。 掌握三秩相等定理，理解三秩相等定理的探究过程，并掌握求向量组的最大无关组和秩的方法。
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●3.6向量空间的概念
理解向量空间及基底、维数和坐标的概念，会判断一个集合是否能构成向量空间，并会求生成子空间的基底、维数及一个向量在一组基下的坐标。
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第四章欧氏空间
到目前为止，我们只研究了向量空间中向量的线性关系，如向量的线性运算、线性相关性.那么向量空间中的向量是否有如几何向量的长度、夹角等概念，若有是如何定义的呢？在向量空间中，我们是用向量的内积来定义这些概念的.本章主要通过向量的知识研究欧氏几何问题。
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●4.1向量的内积 欧氏空间 标准正交基 正交矩阵
（1）理解几何向量内积、n维向量内积、向量的夹角公式；掌握两向量垂直（正交）的充要条件。 （2）理解标准正交基的概念；会运用施密特正交化方法将线性无关向量组化为标准正交向量组。 （3）理解正交矩阵的概念和性质。
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●4.2空间中向量的外积
理解几何向量外积的模及方向的定义；掌握外积的坐标表示式及两向量平行的充要条件。
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●4.3空间中的平面与直线
（1）理解平面的法向量的概念，会求平面方程； （2）理解直线的方向向量的概念，会求直线方程； （3）理解两平面、两直线、平面与直线的位置关系，并掌握判定方法。
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●4.4空间曲面及其方程
理解球面、柱面、旋转曲面的概念与特点；会求旋转曲面的方程。
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●4.5空间曲线及其方程
理解空间曲线的一般式方程； 记住螺旋线的参数方程及其特征； 掌握两曲面的交线或封闭曲面在坐标面上的投影的求法。
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●4.6二次曲面
了解二次曲面(椭球面、抛物面、双曲面、锥面)的基本特征； 掌握二次曲面的标准方程。
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第五章线性方程组
本章将系统地讨论线性方程组的理论，主要讨论三个问题： (1)方程组何时有解？ (2)在有解的情况下，解的结构如何? (3)如何求解具体的线性方程组？ 本章学习可以加深对行列式和矩阵及向量和向量空间知识的认识。
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●5.1线性方程组有解的充要条件
掌握线性方程组有解的充要条件。
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●5.2齐次线性方程组解的结构和解法
理解齐次线性方程组解空间及基础解系的概念及有非零解的充要条件； 掌握用初等变换求解齐次方程组通解的方法。
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●5.3非齐次线性方程组解的结构和解法
掌握非齐次线性方程组解的结构及有无穷多解、唯一解、无解的充要条件； 掌握用初等变换求解非齐次方程组通解的方法。
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●5.4线性方程组的应用
了解线性方程组在几何中的应用；会利用线性方程组的理论讨论空间几何问题。
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第六章特征值、特征向量及相似矩阵
在实际应用中,一个相当重要的问题是对于给定的n阶方阵A，是否存在Rn中的非零向量x，使得Ax与x平行?即是否存在非零向量x与使得Ax= x成立？若存在，如何找x及? 这类问题在数量经济分析及与振荡有关的各个学科中，如电子、机械、生态学、核物理等有着广泛应用。 这类问题不仅有很强的应用背景,在数学中如方阵的对角化理论及微分方程组的求解问题等也要用到它. 为此在代数上引入了非常重要的理论——特征值理论。
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●6.1特征值与特征向量的概念
理解特征值与特征向量的相关概念，会求方阵的特征值与特征向量。
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●6.2特征值与特征向量的性质
掌握特征值与特征向量的相关性质，理解同一方阵对应于不同特征值的特征向量的线性相关性，会应用性质求抽象方阵的行列式等。
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●6.3相似矩阵的定义与性质
掌握矩阵相似的概念，理解矩阵相似与等价的关系，掌握两个矩阵相似的相关性质，并会灵活应用性质，理解方阵可以相似对角化的概念。
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●6.4方阵可对角化的条件
掌握方阵可对角化的条件，理解该定理的探究过程，掌握求相似变换矩阵的方法，并会应用方阵的相似对角化解决复杂矩阵的运算等。
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●6.5实对称矩阵的正交相似对角化
理解实对称矩阵特征值与特征向量的性质，掌握实对称矩阵正交相似对角化的方法。
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第七章二次型
二次型的研究起源于解析几何中化二次曲线与二次曲面的方程为标准形式，它的理论已广泛应用到自然科学与工程技术之中。本章首先揭示将二次型化成标准形等同于求与之对应的是对称矩阵的合同标准形，然后介绍用正交变换化二次型为标准形，再在惯性定理的基础上讨论二次型与实对称矩阵的正定性。
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●7.1二次型及其矩阵
本节将给出二次型及其标准形的基本概念，揭示二次型与实对称矩阵的一一对应关系，并介二次型标准形及规范型的定义。
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●7.2化二次型为标准形
正交变换具有很好的性质，本节将在实对称矩阵正交相似对角化方法的基础上给出用正交变换化二次型为标准形的方法。
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●7.3惯性定理与正定二次型
本节将讨论二次型标准形的特征，给出惯性定理的相关概念及合同矩阵的概念；介绍正定二次型的定义及判定方法。