第一章初等积分法

本章内容讲述了微分方程和解，变量可分离方程及可化为变量可分离的方程，一阶线性微分方程，全微分方程及积分因子，一阶隐式微分方程，可降阶的高阶方程。要求掌握微分方程和解的概念，以及各种方程的基本求解方法。

●1.1微分方程和解

本节内容讲述了常微分方程、微分方程的阶及线性微分方程等相关概念,n 阶微分方程的一般形式, 微分方程的解、通解、特解等相关概念, 微分方程的初值问题，初等积分法的思想。要求掌握常微分方程等的概念，熟练判断常微分方程的阶数，线性及非线性，掌握微分方程的解的概念，会验证微分方程的解，掌握微分方程的初值问题的求解方法，了解初等积分法的思想。

●1.2变量可分离方程

本节内容讲述了变量可分离方程的形式，显式变量可分离方程的解法，分离变量法的基本思想，微分形式变量可分离方程的解法。 要求掌握如何用分离变量法求解微分形式的变量可分离方程，掌握显式变量可分离方程的求解方法。

●1.3齐次方程

本节内容讲述了齐次方程的形式及判断方法，齐次方程的解法，第二类可化为变量可分离方程的形式及其解法。掌握齐次方程的形式及如何判断一个方程是齐次方程，掌握如何作变量代换把齐次方程化为变量可分离方程，如何作变量代换求解第二类可化为变量可分离的方程。

●1.4一阶线性微分方程

本节内容讲述了线性方程的形式及解法，一阶线性非齐次方程初值问题的求解方法，伯努利方程和黎卡提方程的形式及解法。掌握一阶线性方程的形式及一阶线性非齐次方程的解法——常数变易法，掌握一阶线性非齐次方程初值问题的求解方法及应用，掌握如何通过变量代换把伯努利方程转化为线性方程，如何通过变量代换把黎卡提方程转化为伯努利方程，再进一步求解。

●1.5全微分方程及积分因子

本节讲述了全微分方程的形式及原函数的概念，积分因子的概念及与全微分方程的关系，如何求解非恰当微分方程的积分因子。掌握全微分方程的形式及特点，了解求解全微分方程的关键就是求原函数的问题，掌握全微分方程判定的充要条件及原函数的求法，理解求解非恰当方程的关键是求积分因子,掌握积分因子的概念及两种特殊形式积分因子的求法。

●1.6一阶隐式微分方程

本节讲述了“参数法”求解微分方程的思想以及两种隐式方程的解法。掌握如何利用“参数法”求解这两类隐式方程。

●1.7几种可降阶的方程

本节讲述了三类可降阶的高阶方程的解法，掌握如何用降阶法求解高阶方程，对于每种类型的方程，掌握如何作变量代换，如何求解。

第二章基本定理

本章内容讲述了常微分方程的几何解释、初值问题解的存在唯一性、解的延展、奇解与包络以及解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性。要求掌握线素场的含义、应用及欧拉折线，存在唯一性定理与延展定理的证明及应用，奇解存在性的判定与求法，解对初值的连续依赖性定理和可微性定理。

●2.1常微分方程的几何解释

本节内容讲述了线素场、欧拉折线及初值问题的解存在性的佩亚诺定理。要求理解线素场的含义及积分曲线与线素场的关系；知道欧拉折线的求法；理解佩亚诺定理的内容。

●2.2解的存在唯一性定理

本节内容讲述了常微分方程初值问题解的存在唯一性定理。要求掌握存在唯一性定理的内容，熟悉证明定理的步骤、方法，会应用定理判断常微分方程解的存在唯一性。

●2.3解的延展

本节内容讲述了常微分方程初值问题解的延展。要求掌握延展解与不可延展解的含义，不可延展解的存在性以及不可延展解的性质；会验证不可延展解存在的条件、不可延展解的性质的应用。

●2.4奇解和包络

本节内容讲述了奇解和包络的含义，两者之间的关系，方程不存在奇解的判定，奇解的求法。要求掌握奇解和包络的概念，理解它们的联系，会求方程的奇解。

●2.5解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性

本节内容讲述了解对初值的连续依赖性的定义，解对初值的连续依赖性定理和解对初值的可微性定理。要求理解解对初值连续依赖性的含义，掌握这些定理的内容和应用。

第三章一阶线性微分方程组

本章的主要内容是（1） 一阶线性微分方程组的解的存在唯一性定理；（2） 一阶线性齐次微分方程组的通解结构；（3）一阶线性非齐次微分方程组的通解结构；（4） 一阶常系数线性微分方程组的求解方法.要求（1）理解一阶线性微分方程组的有关概念、解的存在唯一性定理及其证明；（2）理解并掌握一阶线性齐次微分方程组解的结构，掌握一阶线性齐次微分方程组的解与系数之间的关系，即刘维尔公式；（3）理解并掌握一阶线性非齐次微分方程组的通解结构,掌握一阶线性非齐次微分方程组的常数变易法；（4）熟练掌握一阶常系数线性微分方程组的解法；(5)理解指数矩阵的概念、指数矩阵的性质及标准基本解矩阵的表示，会求矩阵的指数矩阵.

●3.1一阶微分方程组

本节内容讲述了一阶微分方程组的相关概念及其向量表示、向量范数与矩阵范数的定义及性质、微分方程组解的存在唯一性定理以及高阶微分方程与一阶微分方程组的关系.要求理解一阶微分方程组的相关概念；掌握一阶微分方程组的向量表示； 掌握向量范数与矩阵范数的定义及性质；理解一阶微分方程组解的存在唯一性定理以及掌握高阶微分方程与一阶微分方程组的关系.

●3.2一阶线性微分方程组的一般概念

本节内容讲述了一阶线性微分方程组的相关概念及其表示、一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理. 要求理解一阶线性微分方程组的相关概念、向量表示及其解的存在唯一性定理.

●3.3一阶线性齐次方程组的一般理论

本节内容讲述了一阶线性齐次微分方程组解的性质、向量函数组线性相关与线性无关的定义、向量函数组线性相关性的判定、向量解组线性相关性的判定、一阶线性齐次微分方程组的通解结构及刘维尔公式.要求理解一阶线性齐次微分方程组的解的叠加原理及向量函数组线性相关性的概念；理解向量函数组与向量解组线性相关性的判定准则；掌握一阶线性齐次微分方程组的通解结构；掌握一阶线性齐次微分方程组的解与系数之间的关系，即刘维尔公式.

●3.4一阶线性非齐次方程组的一般理论

本节内容讲述了一阶线性非齐次微分方程组的通解结构及一阶线性非齐次微分方程组的常数变易法.要求掌握一阶线性非齐次微分方程组的通解结构；理解并掌握一阶线性非齐次微分方程组的拉格朗日常数变易法.

●3.5常系数线性微分方程组的解法

本节内容讲述了一阶常系数线性齐次微分方程组的解法，分为两种情形：矩阵A的特征根均为单根的情形和矩阵A的特征根有重根的情形；一阶常系数线性非齐次微分方程组的解法.要求掌握矩阵A的特征根均为单根的情形和矩阵A的特征根有重根的情形时一阶常系数线性微分方程组的求解方法;掌握一阶常系数线性非齐次微分方程组的常数变易法.

●3.6指数矩阵简介

本节内容讲述了指数矩阵的概念与性质，标准基本解矩阵的表示及指数矩阵的求法.要求理解指数矩阵的概念、指数矩阵的性质及标准基本解矩阵的表示，会求矩阵的指数矩阵.

第四章n阶线性微分方程

本章内容讲述了n阶线性微分方程的一般理论及求解方法.要求理解n阶线性的基本定理和通解结构；掌握n阶常系数线性方程的待定系数法，求解非其次方程的待定系数法和常数变异法；知道幂级数求解定理及其应用；能够利用拉普拉斯变换求解常系数方程的初值问题.

●4.1n阶线性微分方程的一般理论

本节主要讲述了n阶线性微分方程的一般理论，分类及通解结构；要求了解n阶常微分方程的一般形式，分类；理解n阶微分方程与一阶微分方程组的关系；了解高阶方程的存在唯一性定理及高阶方程的分类；掌握函数组线性相关（无关）的条件；n阶线性齐次微分方程n个解线性关系与朗斯基行列式之间的关系及n阶微分方程解的结构，通解基本定理和刘维尔公式；掌握n阶线性非齐次微分方程解的性质，通解结构及n阶非齐次常微分方程特解的常数变易法.

●4.2n阶常系数线性齐次方程解法

本节主要介绍了n阶常系数线性齐次方程的待定系数法.要求掌握n阶常系数线性齐次方程的待定指数函数解法及特征根都是单根时方程的通解结构；了解复值函数的定义及相关性质；掌握n阶齐次方程有单复根时方程通解的结构及求法；掌握n阶常系数齐次方程特征根有实（复）重根根的求解方法及通解结构.

●4.3n阶常系数线性非齐次方程解法

本节主要介绍了n阶常系数线性齐次方程的常数变易法和待定系数法.掌握第一类型高阶常系数线性非齐次方程的求解方法；理解叠加原理；掌握第二类型高阶常系数线性非齐次方程的求解方法.

●4.4拉普拉斯变换

本节主要讲述了拉普拉斯变换的定义和性质以及如何利用拉普拉斯变换求解初值问题.要求理解拉普拉斯变换的定义及性质;掌握用拉普拉斯变换求解初值问题.

●4.5幂级数解法大意

本节讲述了幂级数求解定理及其应用.要求掌握幂级数求解方程的方法，理解幂级数解法的基本理论，会利用幂级数解法的基本理论求解方程.

第五章定性和稳定性理论简介

本章为定性和稳定性理论，其共同的特点是在不求出微分方程解的情况下，直接根据微分方程本身的结构和特点，来研究解的性质。本章内容讲述了李雅普诺夫意义下的稳定性概念，李雅普诺夫第二方法，平面自治系统的基本概念以及平面定性理论简介。要求掌握李雅普诺夫意义下的稳定性与渐近稳定性的基本概念；掌握如何利用李雅普诺夫第二方法去判定系统的稳定性；了解平面自治系统的基本概念；掌握线性系统初等奇点附近的轨线分布情况。

●5.1稳定性概念

本节内容讲述了常微分方程李雅普诺夫意义下的稳定性概念与渐近稳定性概念。要求掌握零解的稳定性以及渐近稳定性的基本概念；了解一般解的稳定性与渐近稳定性的概念；掌握如何利用李雅普诺夫意义下的稳定性定义去证明微分方程解的稳定性、渐近稳定性以及不稳定性。

●5.2李雅普诺夫第二方法

本节内容介绍了李雅普诺夫第二方法。讲述了李雅普诺夫函数、李雅普诺夫第二方法稳定性判定定理、渐近稳定性判定定理以及不稳定性判定定理。要求掌握李雅普诺夫函数的基本概念；掌握如何利用李雅普诺夫第二方法去判定系统的稳定性、渐近稳定性以及不稳定性。

●5.3平面自治系统的基本概念

本节内容讲述了平面自治系统的基本概念以及两个基本性质。要求掌握平面自治系统相平面、相轨线的基本概念；了解相轨线与积分曲线的联系和区别；掌握平面自治系统的两个基本性质：积分曲线的平移不变性和轨线的唯一性；掌握常点、奇点与闭轨的基本概念。

●5.4平面定性理论简介

本节内容讲述了平面线性系统以及平面非线性自治系统的初等奇点附近的轨线分布情况、极限环的概念与稳定性以及极限环的存在性和不存在性。要求掌握系数矩阵为标准型的平面线性系统和一般的平面常系数线性系统的初等奇点附近的轨线分布情形；了解平面非线性自治系统初等奇点附近的轨线分布；掌握极限环的概念以及极限环的稳定性；了解极限环的存在性和不存在性。

第六章附录

本章简单介绍常微分方程的发展历史，通过学习要求了解常微分方程的发展历史。

●6.1常微分方程发展简史（一）

本节内容讲述了19世纪前的常微分方程发展简史。要求了解19世纪前的常微分方程发展历史。

●6.2常微分方程发展简史（二）

本节内容讲述了19世纪后的常微分方程发展简史。要求了解19世纪后的常微分方程发展历史。