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第一章集合论
介绍集合论相关的基本知识，包括集合运算、函数、关系、笛卡儿积、可数集和不可数集等。
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●1.1基本概念
介绍集合的概念与记号，以及集合的交、并、差远算。
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●1.2函数
介绍函数的相关概念，包括复合、一一对应、函数的逆、像与原像。
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●1.3关系
介绍关系的相关概念，包括等价关系、等价类、集合的分拆等，还将介绍序关系。
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●1.4笛卡儿积
介绍一般情形的笛卡儿积，包括有限个集合的笛卡儿积和可数个集合的笛卡儿积。
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●1.5可数集与不可数集
介绍可数集的概念和性质，以及不可数集的例子。
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第二章拓扑空间
介绍拓扑空间相关的概念和性质，包括拓扑基、序拓扑、积拓扑、子空间拓扑、闭集与聚点、连续函数、度量拓扑和商拓扑等。
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●2.1拓扑空间
介绍拓扑空间的定义。
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●2.2拓扑的基
介绍拓扑基的概念和性质，以及拓扑子基的概念。
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●2.3序拓扑
介绍序拓扑的概念。
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●2.4积拓扑
介绍两个空间的积拓扑和一般情形的积拓扑的概念和性质。
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●2.5子空间拓扑
介绍子空间拓扑的概念和性质。
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●2.6闭集与聚点
介绍闭集、集合的闭包、聚点和Hausdorff空间的概念与性质。
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●2.7连续函数
介绍连续函数的概念与性质、同胚的概念，以及构造连续函数的方法。
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●2.8一般情形的积拓扑
介绍一般情形的笛卡儿积空间中的箱拓扑与积拓扑，并进行比较。
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●2.9度量拓扑
介绍度量拓扑和度量空间的相关概念、常见的度量空间，以及度量空间的性质。
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第三章连通性与紧致性
介绍拓扑空间的连通性与紧致性的概念和性质，包括连通性、道路连通性、紧致性、列紧性、序列紧致性和局部紧致性等。
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●3.1连通空间
介绍连通空间的概念与性质。
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●3.2实直线上的连通子空间
介绍实直线上的连通子空间，以及道路连通空间。
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●3.3紧致空间
介绍紧致空间的概念与性质。
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●3.4实直线上的紧致子空间
介绍实直线上的紧致子空间和极值定理。
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●3.5列紧性与序列紧致性
介绍列紧空间与序列紧致空间的概念与性质。
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第四章可数性公理与分离性公理
介绍拓扑空间的可数性公理与分离性公理，包括第一可数空间、第二可数空间、Hausdorff空间、正则空间和正规空间等，还将介绍Urysohn度量化定理与Tietze扩张定理。
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●4.1可数性公理
介绍第一可数空间和第二可数空间的概念与性质。
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●4.2正则空间和正规空间
介绍正则空间和正规空间的概念与性质，以及常见的正规空间。
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●4.3Urysohn引理
介绍Urysohn引理和Urysohn度量化定理，以及它们的证明。
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●4.4Tietze扩张定理
介绍Tietze扩张定理和它的证明。