课程简介
线性代数是现代数学的基础之一，在物理、计算机图形学、工程、经济学等自然科学和社会科学各领域具有广泛和深刻的应用，同时线性代数是高等学校理工科各专业的一门重要基础课。本课程做为清华大学非数学理工科各专业学生重要的必修课程，介绍求解线性方程组、矩阵理论、向量空间和线性变换等线性代数的基本概念和基本理论，强调线性代数的理论与应用的结合。线性代数（1）围绕求解线性方程组，介绍高斯消元法、矩阵的性质运算和分解、向量空间、正交投影与最小二乘法、行列式的性质与计算、特征值特征向量与矩阵对角化、实对称矩阵的性质等基本知识点及其应用。通过本课程的学习，培养学生的数学逻辑思维和抽象思维能力，使学生具备线性代数的基本理论知识，熟练掌握求解线性方程组和矩阵运算、矩阵分解的基本方法，掌握英文数学术语和表达规范，为后继的学习和提高奠定数学基础。
课程大纲
总引言
课前引言
第一讲 向量及其运算
1.1 引言
1.2 n维向量空间中的点
1.3 向量
1.4 向量空间的定义
1.5 向量空间的线性组合
1.6 向量的点积、长度
1.7 向量的夹角
1.8 两个不等式
第二讲 矩阵与线性方程组
2.1 矩阵与向量的乘积
2.2 可逆矩阵
2.3 线性方程组的行图和列图
第三讲 高斯消元法
3.1 Gauss消元法（上）
3.1 Gauss消元法（下）
3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
第四讲 矩阵的运算
4.1 矩阵
4.2 矩阵的加法和数乘
4.3 矩阵的乘法
4.4 矩阵的乘法的性质
4.5 矩阵的方幂
4.6 关于矩阵乘法的引入
4.7 分块矩阵
4.8 矩阵的转置
第五讲 矩阵的逆
5.1 可逆矩阵的定义
5.2 矩阵可逆的性质
5.3 初等矩阵的逆
5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
5.5 矩阵可逆与主元个数
5.6 下三角矩阵的逆
5.7 分块矩阵的消元和逆
第六讲 LU分解
6.1 LU分解
6.2 用LU分解解线性方程组
6.3 消元法的计算量
6.4 LU分解的存在性和唯一性
6.5 对称矩阵的LDL^T分解
6.6 置换矩阵
6.7 PA=LU分解
第七讲 向量空间
7.1 引言
7.2 向量空间和子空间
7.3 列空间和零空间
7.4 阶梯形
第八讲 求解齐次线性方程组
8.1 引言
8.2 基础解系
8.3 简化行阶梯形的列变换
第九讲 求解非齐次线性方程组
9.1 复习
9.2 求特解
9.3 解的一般性讨论
第十讲 线性无关、基与维数
10.1 引言
10.2 n维空间的坐标系
10.3 无关性、基与维数
10.4 无关性、基与维数的性质
10.5 关于秩的不等式
第十一讲 四个基本子空间的基和维数
11.1 四个基本子空间的基
11.2 维数公式
11.3 例题
第十二讲 四个基本子空间的正交关系
12.1 引言
12.2 四个子空间的正交性
12.3 正交补
12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
第十三讲 正交投影
13.1 引言
13.2 点在直线和平面上的投影
13.3 一般情形
第十四讲 最小二乘法
14.1 复习
14.2 最小二乘法
14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
第十五讲 Gram-Schmidt正交化
15.1 引言
15.2 正交向量组和正交矩阵
15.3 Gram-Schmidt正交化过程
15.4 QR分解
第十六讲 行列式的基本性质
16.1 引言
16.2 二阶行列式的几何含义
16.3 一般行列式的定义
16.4 行列式和初等变换
第十七讲 行列式的计算
17.1 行列式计算公式与展开定理
17.2 典型例题
第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义
18.1 引言
18.2.1 求逆矩阵公式
18.2.2 线性方程组的公式解
18.3 计算有向长度、面积和体积
18.4 和QR分解的联系
第十九讲 特征值与特征向量
19.1 引言和定义
19.2 例
19.3 特征值的性质
第二十讲 矩阵的对角化
20.1 矩阵可对角化的条件
20.2 特征值的代数重数和几何重数
20.3 矩阵可对角化的应用
20.4 同时对角化
20.5 小结
第二十一讲 特征值在微分方程中的应用
21.1 引言
21.2 A可对角化的情形
21.3 矩阵的指数函数
21.4 二阶常系数线性微分方程
21.5 微分方程的稳定性
第二十二讲 实对称矩阵
22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
22.2 实对称阵正交相似于对角阵
22.3 实对称阵特征值与主元的关系
22.4 小结
结束语
总结和预告
期末考试
课件
课前引言
第一讲 向量及其运算
1.1 引言
1.2 n维向量空间中的点
1.3 向量
1.4 向量空间的定义
1.5 向量空间的线性组合
1.6 向量的点积、长度
1.7 向量的夹角
1.8 两个不等式
第二讲 矩阵与线性方程组
2.1 矩阵与向量的乘积
2.2 可逆矩阵
2.3 线性方程组的行图和列图
第三讲 高斯消元法
3.1 Gauss消元法（上）
3.1 Gauss消元法（下）
3.2 消元法的矩阵表示 3.2.1 消去矩阵
3.2 消元法的矩阵表示 3.2.2 置换阵
3.2 消元法的矩阵表示 3.2.3 初等行(列)变换和初等矩阵
第四讲 矩阵的运算
4.1 矩阵
4.2 矩阵的加法和数乘
4.3 矩阵的乘法
4.4 矩阵的乘法的性质
4.5 矩阵的方幂
4.6 关于矩阵乘法的引入
4.7 分块矩阵
4.8 矩阵的转置
第五讲 矩阵的逆
5.1 可逆矩阵的定义
5.2 矩阵可逆的性质
5.3 初等矩阵的逆
5.4 Gauss-Jordan消元法求A的逆
5.5 矩阵可逆与主元个数
5.6 下三角矩阵的逆
5.7 分块矩阵的消元和逆
第六讲 LU分解
6.1 LU分解
6.2 用LU分解解线性方程组
6.3 消元法的计算量
6.4 LU分解的存在性和唯一性
6.5 对称矩阵的LDL^T分解
6.6 置换矩阵
6.7 PA=LU分解
第七讲 向量空间
7.1 引言
7.2 向量空间和子空间
7.3 列空间和零空间
7.4 阶梯形
第八讲 求解齐次线性方程组
8.1 引言
8.2 基础解系
8.3 简化行阶梯形的列变换
第九讲 求解非齐次线性方程组
9.1 复习
9.2 求特解
9.3 解的一般性讨论
第十讲 线性无关、基与维数
10.1 引言
10.2 n维空间的坐标系
10.3 无关性、基与维数
10.4 无关性、基与维数的性质
10.5 关于秩的不等式
第十一讲 四个基本子空间的基和维数
11.1 四个基本子空间的基
11.2 维数公式
11.3 例题
第十二讲 四个基本子空间的正交关系
12.1 引言
12.2 四个子空间的正交性
12.3 正交补
12.4 Ax=b在行空间中的唯一性
第十三讲 正交投影
13.1 引言
13.2 点在直线和平面上的投影
13.3 一般情形
第十四讲 最小二乘法
14.1 复习
14.2 最小二乘法
14.3 最小二乘法的应用：曲线拟合
第十五讲 Gram-Schmidt正交化
15.1 引言
15.2 正交向量组和正交矩阵
15.3 Gram-Schmidt正交化过程
15.4 QR分解
第十六讲 行列式的基本性质
16.1 引言
16.2 二阶行列式的几何含义
16.3 一般行列式的定义
16.4 行列式和初等变换
第十七讲 行列式的计算
17.1 行列式计算公式与展开定理
17.2 典型例题
第十八讲 Cramer法则及行列式的几何意义
18.1 引言
18.2.1 求逆矩阵公式
18.2.2 线性方程组的公式解
18.3 计算有向长度、面积和体积
18.4 和QR分解的联系
第十九讲 特征值与特征向量
19.1 引言和定义
19.2 例
19.3 特征值的性质
第二十讲 矩阵的对角化
20.1 矩阵可对角化的条件
20.2 特征值的代数重数和几何重数
20.3 矩阵可对角化的应用
20.4 同时对角化
20.5 小结
第二十一讲 特征值在微分方程中的应用
21.1 引言
21.2 A可对角化的情形
21.3 矩阵的指数函数
21.4 二阶常系数线性微分方程
21.5 微分方程的稳定性
第二十二讲 实对称矩阵
22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量
22.2 实对称阵正交相似于对角阵
22.3 实对称阵特征值与主元的关系
22.4 小结
结束语
总结和预告
期末考试
课件