课程简介
随着人工智能越来越多地应用到各个领域，很多与人工智能交叉的专业或方向（例如智能建造、智能交通、智能医疗等）陆续产生，人工智能的数学基础是相关专业的必修课程。
人工智能的数学基础非常广泛，除微积分、线性代数、概率统计三门最基础的课程外，还有很多数学课程与之相关，例如离散数学、数值代数、微分方程、积分变换、现代几何学、随机过程、运筹学等。由于不同的学科对人工智能有不同的需求，线下开课受到很多困难制约。开设统一的数学课程，涉及内容过于庞大，超出课时限制；对不同专业开设不同的数学课程，品种过多，不易操作；同时与人工智能相关的数学基础又跨越了多个数学二级学科，很难有教师可以兼通各方面的内容。开设模块化的线上课程，为解决上述困难提供了有力途径。
本课程由数值分析、最优化方法、组合数学、积分变换、几何学基础、 矩阵理论基础、微分方程等多个模块构成，希望能适应不同学科、专业背景的学习者的需要。本课程的教学团队包括同济大学数学科学学院多个二级学科专业的教师，每个模块由不同的教师主讲、答疑，做到各司其职、各尽所长。学生可在多个模块中，灵活选择3个模块学习，并通过考核获取学分。
本课程的每个模块约为17学时左右，选取各自课程中与人工智能相关的部分，重在数学基础，有更深需求的学生，可参考列出的相关文献。
课程大纲
矩阵理论基础
矩阵及其基本运算
矩阵函数
矩阵分解
矩阵的广义逆
数值分析
1 实验数据的处理
1.1 插值方法
1.1.1 拉格朗日插值方法
1.1.2 牛顿插值方法
1.1.3 埃尔米特插值方法
1.1.4 三次样条插值
1.2 逼近方法
1.2.1 权函数、内积、正交多项式
1.2.2 最佳一致逼近
1.2.3 最佳平方逼近
1.2.4最小二乘方法
2 数值代数
2.1 线性代数方程组的直接解法
2.1.1高斯消元法
2.1.2带主元选择策略的高斯消元法
2.1.3 矩阵的三角分解：LU分解、乔列斯基分解
2.1.4 矩阵的QR分解
2.1.5 矩阵的奇异值分解
2.2 线性代数方程组的迭代解法
2.2.1矩阵范数和条件数
2.2.2基本迭代法
2.2.3 迭代法的收敛性
2.3非线性方程的数值求根
2.3.1二分法
2.3.2迭代法的收敛性及收敛速度
2.3.3牛顿迭代法、割线法
2.4特征值问题
2.4.1乘幂法
2.4.2 QR方法
3 数值微积分
3.1数值积分与数值微分
3.1.1数值求积的基本思想
3.1.2牛顿-柯特斯求积公式
3.1.3高斯求积公式
3.1.4基于插值的数值微分
3.2常微分方程初值问题的数值求解
3.2.1欧拉方法
3.2.2龙格--库塔方法
3.2.3 单步法的稳定性、收敛性
3.2.4 线性多步法
最优化方法
1 线性规划理论
1.1 线性规划的基本理论
1.1.1 线性规划的图解法
1.1.2 线性规划的基本性质
1.1.3 单纯形表方法
1.1.4 大M法和两阶段法
1.2 线性规划的对偶理论
1.2.1 对偶理论
1.2.2 对偶单纯性表
1.2.3 灵敏度分析
2 非线性规划理论
2.1 整数规划理论
2.1.1分支定界方法
2.1.2割平面方法
2.2 非线性规划的最优性条件
2.3非线性规划的线搜索方法
2.3.1线搜索策略
2.3.2最速下降法、牛顿法
2.3.3共轭梯度方法
2.3.4 拟牛顿方法
2.4特征值问题
2.4.1乘幂法
2.4.2 QR方法
3 约束规划理论
3.1非线性规划的基本理论
3.1.1 Farkas引理及KKT条件
3.1.2 约束规范
3.2 约束规范
3.2.1约束规划的罚函数方法（内点罚函数、外罚函数及乘子罚函数）
3.2.2约束规划问题的SQP方法（QP问题解法、SQP方法）
3.2.3其他约束优化算法简介
组合数学
绪论：组合数学简介和应用举例
排列组合：基本计算原理和多重集的排列组合
鸽巢原理：鸽巢原理的应用和Ramsey定理简介(*)
二项式系数：二项式系数、二项式定理及组合恒等式的证明
容斥原理：容斥原理的应用与莫比乌斯反演（*）
递推关系：常系数线性递推关系的求解
生成函数：生成函数与指数型生成函数的定义，性质和应用
特殊计数序列：斐波拉契数列、Catalan数和Stirling数
Polya计数：群简介，Burside定理和Polya计数公式
积分变换
1 复数及其基本运算
2. Fourier变换
3. Laplace变换
4. Dirac-Delta函数
几何学基础
1. 基本概念
等价关系
集合、映射与基数
拓扑与拓扑空间
群
商集合
2. 基本群与同调群
闭道路、同伦与基本群
基本群的计算方法
同调群
同调群的计算
3 曲线与曲面
等距变换、仿射变换和共形变换
曲线
曲面
流形和李群
微分方程基础
1. 微分方程的基本概念
2. 可求通解的一阶常微分方程
变量可分离型、线性方程、恰当方程、积分因子和初等变换
3. 存在唯一性定理
Picard序列和Picard定理
Euler序列和Peano定理
4. 一阶常微分方程组
一般理论
常系数线性常微分方程组
5. 幂级数方法
6. 边值问题
7. 稳定性
矩阵及其基本运算
矩阵函数
矩阵分解
矩阵的广义逆
数值分析
1 实验数据的处理
1.1 插值方法
1.1.1 拉格朗日插值方法
1.1.2 牛顿插值方法
1.1.3 埃尔米特插值方法
1.1.4 三次样条插值
1.2 逼近方法
1.2.1 权函数、内积、正交多项式
1.2.2 最佳一致逼近
1.2.3 最佳平方逼近
1.2.4最小二乘方法
2 数值代数
2.1 线性代数方程组的直接解法
2.1.1高斯消元法
2.1.2带主元选择策略的高斯消元法
2.1.3 矩阵的三角分解：LU分解、乔列斯基分解
2.1.4 矩阵的QR分解
2.1.5 矩阵的奇异值分解
2.2 线性代数方程组的迭代解法
2.2.1矩阵范数和条件数
2.2.2基本迭代法
2.2.3 迭代法的收敛性
2.3非线性方程的数值求根
2.3.1二分法
2.3.2迭代法的收敛性及收敛速度
2.3.3牛顿迭代法、割线法
2.4特征值问题
2.4.1乘幂法
2.4.2 QR方法
3 数值微积分
3.1数值积分与数值微分
3.1.1数值求积的基本思想
3.1.2牛顿-柯特斯求积公式
3.1.3高斯求积公式
3.1.4基于插值的数值微分
3.2常微分方程初值问题的数值求解
3.2.1欧拉方法
3.2.2龙格--库塔方法
3.2.3 单步法的稳定性、收敛性
3.2.4 线性多步法
最优化方法
1 线性规划理论
1.1 线性规划的基本理论
1.1.1 线性规划的图解法
1.1.2 线性规划的基本性质
1.1.3 单纯形表方法
1.1.4 大M法和两阶段法
1.2 线性规划的对偶理论
1.2.1 对偶理论
1.2.2 对偶单纯性表
1.2.3 灵敏度分析
2 非线性规划理论
2.1 整数规划理论
2.1.1分支定界方法
2.1.2割平面方法
2.2 非线性规划的最优性条件
2.3非线性规划的线搜索方法
2.3.1线搜索策略
2.3.2最速下降法、牛顿法
2.3.3共轭梯度方法
2.3.4 拟牛顿方法
2.4特征值问题
2.4.1乘幂法
2.4.2 QR方法
3 约束规划理论
3.1非线性规划的基本理论
3.1.1 Farkas引理及KKT条件
3.1.2 约束规范
3.2 约束规范
3.2.1约束规划的罚函数方法（内点罚函数、外罚函数及乘子罚函数）
3.2.2约束规划问题的SQP方法（QP问题解法、SQP方法）
3.2.3其他约束优化算法简介
组合数学
绪论：组合数学简介和应用举例
排列组合：基本计算原理和多重集的排列组合
鸽巢原理：鸽巢原理的应用和Ramsey定理简介(*)
二项式系数：二项式系数、二项式定理及组合恒等式的证明
容斥原理：容斥原理的应用与莫比乌斯反演（*）
递推关系：常系数线性递推关系的求解
生成函数：生成函数与指数型生成函数的定义，性质和应用
特殊计数序列：斐波拉契数列、Catalan数和Stirling数
Polya计数：群简介，Burside定理和Polya计数公式
积分变换
1 复数及其基本运算
2. Fourier变换
3. Laplace变换
4. Dirac-Delta函数
几何学基础
1. 基本概念
等价关系
集合、映射与基数
拓扑与拓扑空间
群
商集合
2. 基本群与同调群
闭道路、同伦与基本群
基本群的计算方法
同调群
同调群的计算
3 曲线与曲面
等距变换、仿射变换和共形变换
曲线
曲面
流形和李群
微分方程基础
1. 微分方程的基本概念
2. 可求通解的一阶常微分方程
变量可分离型、线性方程、恰当方程、积分因子和初等变换
3. 存在唯一性定理
Picard序列和Picard定理
Euler序列和Peano定理
4. 一阶常微分方程组
一般理论
常系数线性常微分方程组
5. 幂级数方法
6. 边值问题
7. 稳定性