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数学分析
数学分析
1000+ 人选课
更新日期：2025/05/13
开课平台学银在线
开课高校长春师范大学
开课教师刘仁云、罗英语、赵虹、赵红发、曲婧佳、杨颖、唐慧、南广仁
学科专业理学数学类
开课时间2025/02/19 - 2025/07/19
课程周期22 周
开课状态开课中
每周学时-
课程简介

《数学分析》是分析学中最古老、最基本的分支。其创建于17世纪，直到19世纪后半叶才发展成一门理论体系完整、内容丰富的数学学科；是大学数学专业的重要专业基础课程。数学分析是以极限为工具来研究函数的一门课程，以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，是进一步学习复变函数论、微分方程、概率论、实变函数论与泛函分析等课程的阶梯。

通过对此课程对课程的学习和系统的训练，使学生积累从事进一步学习数学所需要的数学知识，使学生掌握数学的基本思想和方法，提高学生的数学修养，提高学生分析问题与解决问题的能力。


课程大纲

绪论

  • 1.1 课程大纲
  • 1.2 《数学分析》课程的学习方法与要求
  • 1.3 **课外阅读-数学是一种文化

第一章 实数集与函数

  • 2.1 1.1实数
  • 2.2 1.2 数集●确界原理
  • 2.3 1.3函数概念
  • 2.4 1.4具有某些特性的函数
  • 2.5 1.5习题课
  • 2.6 **课外阅读-函数概念的演变史
  • 2.7 课外阅读-成就卓越的中国古代数学

第二章 数列极限

  • 3.1 2.1数列极限概念
  • 3.2 2.2收敛数列的性质
  • 3.3 2.3数列极限存在的条件
  • 3.4 2.4习题课
  • 3.5 **课外阅读-极限理论的发展史

第三章 函数极限

  • 4.1 3.1函数极限概念
  • 4.2 3.2函数极限的性质
  • 4.3 3.3函数极限存在的条件
  • 4.4 3.4两个重要极限
  • 4.5 3.5无穷小量与无穷大量
  • 4.6 3.6习题课
  • 4.7 课外阅读- 无穷大符号

第四章 函数的连续性

  • 5.1 4.1连续性概念
  • 5.2 4.2连续函数的性质
  • 5.3 4.3初等函数的连续性
  • 5.4 4.4习题课
  • 5.5 课外阅读-指数函数、对数函数的历史

第五章 导数和微分

  • 6.1 5.1导数的概念
  • 6.2 5.2求导法则
  • 6.3 5.3参变量函数的导数
  • 6.4 5.4高阶导数
  • 6.5 5.5微分
  • 6.6 5.6习题课
  • 6.7 课外阅读-魏尔特拉斯函数

第六章 微分中值定理及其应用

  • 7.1 6.1拉格朗日定理和函数的单调性
  • 7.2 6.2柯西中值定理和不定式极限
  • 7.3 6.3泰勒公式
  • 7.4 6.4函数的极值与最大（小）值
  • 7.5 6.5函数的凸性与拐点
  • 7.6 6.6函数图像的讨论
  • 7.7 6.7习题课
  • 7.8 课外阅读-心形线的爱情故事

第七章 实数的完备性

  • 8.1 7.1关于实数集完备性的基本定理
  • 8.2 7.2习题课
  • 8.3 **课外阅读-三次数学危机

第八章 不定积分

  • 9.1 8.1不定积分概念与基本积分公式
  • 9.2 8.2换元积分法与分部积分法
  • 9.3 8.3有理函数和可化为有理函数的不定积分
  • 9.4 8.4习题课
  • 9.5 8.5章节测试
  • 9.6 课外阅读：不能“积出”的不定积分

第九章 定积分

  • 10.1 9.1 定积分概念
  • 10.2 9.2 牛顿-莱布尼兹公式（略）
  • 10.3 9.3 可积条件
  • 10.4 9.4 定积分的性质
  • 10.5 9.5 章节测验
  • 10.6 **课外阅读--分部积分与泰勒公式

第十章 定积分的应用

  • 11.1 10.1 微元法及平面图形的面积
  • 11.2 10.2 由平行截面面积求体积及定积分在物理中的应用
  • 11.3 10.3 章节测验

第十一章 反常积分

  • 12.1 11.1 无穷限反常积分
  • 12.2 11.2 瑕积分
  • 12.3 11.3 无穷限反常积分的性质
  • 12.4 11.4 非负函数的无穷积分收敛判别法
  • 12.5 11.5 无穷积分比较原则的推论
  • 12.6 11.6 一般无穷积分收敛判别法
  • 12.7 11.7 瑕积分的性质
  • 12.8 11.8 非负函数的瑕积分收敛判别法
  • 12.9 11.9 瑕积分比较原则的推论
  • 12.10 11.10 一般瑕积分的收敛判别法
  • 12.11 11.11 习题课
  • 12.12 11.12 章节测验
  • 12.13 应该知道的数学知识（2）

第十二章 数项级数

  • 13.1 12.1级数的收敛性
  • 13.2 12.2正项级数
  • 13.3 12.3一般项级数
  • 13.4 **课外阅读-非欧几何学

第十三章 函数列与函数项级数

  • 14.1 13.1一致收敛性
  • 14.2 13.2一致收敛函数列与函数项级数的性质
  • 14.3 **课外阅读-计算机与计算数学

第十四章 幂级数

  • 15.1 14.1 幂级数与幂级数的性质
  • 15.2 14.2函数的幂级数展开
  • 15.3 **课外阅读-来自物理的问题

第十五章 傅里叶级数

  • 16.1 15.1傅里叶级数
  • 16.2 15.2以2l为周期的函数的展开式
  • 16.3 15.3收敛定理的证明
  • 16.4 **课外阅读-魔法波形傅里叶级数

第十六章 多元函数的极限与连续

  • 17.1 16.1平面点击与多元函数
  • 17.2 16.2二元函数的极限
  • 17.3 16.3二元函数的连续性
  • 17.4 16.4 章节测试
  • 17.5 **课外阅读--一元到多元，量变到质变

第十七章 多元函数微分学

  • 18.1 17.1可微性
  • 18.2 17.2复合函数微分法
  • 18.3 17.3方向导数与梯度
  • 18.4 17.4泰勒公式与极值问题
  • 18.5 17.5 章节测试
  • 18.6 **课外阅读-生活中的梯度

第十八章 隐函数定理及应用

  • 19.1 18.1隐函数
  • 19.2 18.2隐函数组
  • 19.3 18.3几何应用
  • 19.4 18.4条件极值
  • 19.5 18.5 章节测试
  • 19.6 **课外阅读-数学家拉格朗日

第十九章 含参量积分

  • 20.1 19.1含参量正常积分
  • 20.2 19.2含参量反常积分
  • 20.3 19.3欧拉积分
  • 20.4 19.4 章节测试
  • 20.5 **课外阅读--诗中的数学意境
  • 20.6 课外阅读--欧拉

第二十章 曲线积分

  • 21.1 20.1第一型曲线积分
  • 21.2 20.2第二型曲线积分
  • 21.3 20.3 章节测试
  • 21.4 **课外阅读--历史上伟大的数学家
  • 21.5 **课外阅读--第二型曲线积分一题多解举例

第二十一章 重积分

  • 22.1 21.1二重积分的概念
  • 22.2 21.2直角坐标系下二重积分的计算
  • 22.3 21.3格林公式，曲线积分与路线的无关性
  • 22.4 21.4二重积分的変量変换
  • 22.5 21.5三重积分
  • 22.6 21.6重积分的应用
  • 22.7 21.7 章节测试
  • 22.8 **课外阅读--数学的实验

第二十二章 曲面积分

  • 23.1 22.1第一型曲面积分
  • 23.2 22.2第二型曲面积分
  • 23.3 22.3高斯公式与斯托克斯公式
  • 23.4 22.4 章节测试
  • 23.5 **课外阅读-21世纪数学迈向何方
  • 23.6 课外阅读-高斯