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第一章统计量与抽样分布
抽样得到的数据是杂乱无章的，通过样本构造适当的统计量，由样本性质去推断关于总体的性质。系统介绍统计量的概念，以正态分布为基础导出常用的几个重要分布，并给出一些常用样本统计量的抽样分布。
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●1.1总体与样本
样本由总体是数理统计的基本研究对象，认识样本和总体。
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●1.2统计量与估计量
不含任何未知参数的样本函数称为统计量；用于估计未知参数的统计量为估计量。
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●1.3抽样分布
统计量的概率分布为抽样分布，包括精确分布、渐近分布和近似分布。样本均值服从正态分布，方差与卡方分布有关。
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●1.4次序统计量
样本观测值按照大小顺序排列得到有序样本，为次序统计量。
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●1.5充分统计量
把原来为数众多且杂乱无章的数据转换为一个或少数几个统计量，达到简化数据、便于收集的目的，并且去粗取精，不损失重要信息。这样的统计量为充分统计量。
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●1.6常用概率分布
小结常用概率分布族，伽马分布族、贝塔分布族和指数型分布族。
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第二章点估计
参数估计有两种形式：点估计与区间估计。他们各有各的用处，互为补充，这里先讨论点估计的问题。点估计方法在实际中有广泛的应用。本章将择其常用的基本方法和有关理论作一些讨论。
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●2.1矩估计与相合性
矩估计的基本思想是“替代”,具体是：用样本矩(即矩统计量)估计总体矩;用样本矩的函数估计总体矩的相应函数。这里的矩可以是各阶原点矩,也可以是各阶中心矩。这一思想是英国统计学家皮尔逊在1900年提出的。该思想合理，方法简单，使用方便，只要总体矩存在的场合都可使用。该思想后人称为矩法，所得估计称为矩估计。
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●2.2最大似然估计
最大似然法是在已知总体分布场合下一种常用的参数估计方法，它最初是由德国数学家高斯在1821年提出，然而这个方法常归功于英国统计学家费希尔，因为后者在1922年重新发掘了这个方法，并研究了这一方法所得最大似然估计的一些优良性质，这一节将研究这个方法及其所得的估计。
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●2.3最大似然估计的渐近正态性
渐近正态性与相合性一样是某些估计的大样本性质。相合性是对估计的一种较低要求,它只要求估计序列将随样本量n的增加以越来越大的概率接近被估参数,但没有告诉人们，对相对大的n,误差将以什么速度收敛于标准正态分布，而渐近正态性的讨论正补充了这一点,它是在相合性基础上讨论收敛速度问题。
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●2.4最小方差无偏估计
在本节将给出这两个判断估计优劣的标准。注意，一个标准只能刻画出估计的一个侧面。要使一个估计在多个侧面都很好是罕见的，根据实际情况选用一个或两个标准对估计提出要求是适当的。譬如，在大样本场合常希望估计量具有渐近正态性；在小样本场合常希望估计量具有无偏性和有效性，最好能是最小方差无偏估计。
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●2.5一致最小方差无偏估计
可估参数的无偏估计可能只有一个，也可能有多个。在只有一个的场合就没有选择的余地；在有多个无偏估计的场合，常用其方差作为进一步选择的指标，这就引出如下一致最小方差无偏估计的概念。
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●2.6完备性及其应用
在统计中有多处要用到完备性。这里将应用完备性来寻求可估参数的一致最小方差无偏估计。
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●2.7C-R不等式
瑞典统计学家克拉梅(H. Cramer)和印度统计学家劳(C. R. Rao)分别在1945年和1946年对单参数正则分布族证明了一个重要不等式，后人称为Cramer-Rao不等式，简称C-R不等式。这个不等式给出了可估参数的无偏估计的方差下界。
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●2.8贝叶斯公式的密度函数
统计学中有两个主要学派：频率学派(又称经典学派）和贝叶斯学派，它们之间有共同点，又有不同点。为了说明它们之间的异同点，从统计推断中使用的三种信息说起。
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●2.9共轭先验分布
先验分布的确定在贝叶斯统计推断中是关键的一步，它会影响最后的贝叶斯统计推断结果。先验分布确定的原则有二：一是要根据先验信息（经验和历史资料)；二是要使用方便，即在数学上处理方便。在具体操作时，可首先假定先验分布来自于数学上易于处理的一个分布族，然后再依据已有的先验信息从该分布族中挑选一个作为未知参数的先验分布。
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●2.10贝叶斯估计
后验分布综合了总体分布、样本和先验分布中有关参数的信息，如今要寻求参数的估计，只需从后验分布合理提取信息即可。如何提取呢?常用的方法就是用后验均方误差准则。
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●2.11后验分布的计算
在贝叶斯统计中先验分布的确定起着关键作用，后验分布及其后验量（后验期望、后验方差等）的计算在完成贝叶斯推断中起着重要作用。这里将介绍利用分布的核简化后验分布计算的通用方法。
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第三章区间估计
本章主要介绍了置信区间的相关概念以及枢轴量法构造置信区间、正态总体参数的置信区间、大样本置信区间以及贝叶斯区间估计。
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●3.1置信区间概念
置信区间的相关概念包括：区间估计、置信度（置信系数）、置信区间、同等置信区间以及单侧置信限。
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●3.2枢轴量法
用枢轴量法构造精确置信区间
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●3.3单个正态总体均值和方差的置信区间
单个正态总体均值的置信区间（包括总体方差已知和未知的两种情况）以及正态总体方差的置信区间
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●3.4两个正态总体均值差和方差比的置信区间
两个正态总体均值差的置信区间以及两个正态总体方差比的置信区间
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●3.5大样本置信区间
介绍精确置信区间以及近似置信区间的概念以及两种近似置信区间的构造方法（基于MLE的近似置信区间和基于中心极限定理的置信区间）
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●3.6贝叶斯区间估计
贝叶斯可信区间的概念以及最大后验密度可信区间的定义和求法
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第四章假设检验
假设检验是统计推断的核心内容之一，从建立假设，寻找检验统计量，构造拒绝域（或计算P值），直到最后做出判断等各个步骤都体现了统计思想。本章主要对单正态总体参数、两正态总体的均值差以及方差比进行检验，并给出了有关比率的推断问题。
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●4.1假设检验的概念与步骤
了解假设检验的概念与基本步骤，理解假设检验中犯两类错误的概率的含义以及相互关系，掌握势函数的概念与计算，学会用P值法进行检验。
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●4.2正态均值的检验
当总体方差已知或未知时，对单正态总体的均值进行检验。
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●4.3两正态均值差的推断
对两正态总体方差已知、未知但相等以及未知不相等的不同情况，对两正态总体的均值差进行检验。
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●4.4正态方差的推断
单正态总体方差的假设检验以及两正态总体方差比的假设检验。
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●4.5比率的推断
比率p的假设检验的概念，以及小样本与大样本下比率p的推断，两个比率差的大样本检验。
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第五章分布的检验
学习分布的假设检验，掌握卡方拟合优度的思想，对总体分成有限类，但分布中不含未知参数；总体分成有限类，分布中含有未知参数；连续分布的拟合检验；两个多项分布的等同性检验以及列联表中的独立性检验等不同情况下对总体的分布进行卡方拟合优度检验。
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●5.1卡方拟合优度检验
卡方拟合优度检验的思想方法以及总体分成有限类，但分布中不含未知参数的假设检验。
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●5.2含有未知参数的拟合优度检验
Fisher定理以及总体分成有限类，但分布中含有未知参数的假设检验。
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●5.3连续分布的检验
连续分布的拟合优度检验，通过离散化，转化成总体分为有限类的情况。
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●5.4两个多项分布的等同性检验
两个多项分布的等同性检验或分布的齐性检验。
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●5.5列联表中的独立性检验
二维列联表以及列联表中的独立性检验问题。
