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这些现象你知道为什么吗？这些问题的解答体现了复变函数与积分变换课程的实用性与专业性。复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕A.L.Cauchy（柯西），K.Weierstrass（魏尔斯特拉斯）和B.Riemann（黎曼）三人的工作进行的。积分变换则起源于19世纪末，是英国著名的无线电工程师海维赛在求解电工学、物理学领域内的线性微分方程的过程中逐步形成的符号法，后来演变成今天的积分变换。复变函数与积分变换作为数学中既经典又充满活力的一个数学分支，在数学的发展历史中发挥了重要的作用。

本课程内容主要包括：

（1）变量为复数的解析函数的相关理论（包括解析函数、复积分、级数与留数理论与应用）；

（2）傅里叶变换和拉普拉斯变换。

通过本课程的学习，你将获得如下知识：

     1.掌握如复数、辐角、复变函数、复变函数的极限等基本概念，能够对复数进行各种表示，掌握复数的幂、方根、复初等函数的计算，会判断函数的可导性与解析性；充分了解复变函数的背景思想及数学思想，弄清与高等数学的共同点、不同点。

     2.能够利用复变函数柯西-古萨定理、复合闭路定理、柯西基本定理和柯西基本公式等理论，求解复变函数的积分，使学生进一步了解析函数的无穷可微性性质，进一步培养学生的运算能力；

     3.能够把解析函数表示成幂级数，会求收敛半径，并会求洛朗展开，培养学生的综合运用所学知识去分析解决实际问题的应用；

     4.能够判断孤立奇点类型，掌握留数的求法，利用留数定理计算函数沿闭曲线的积分和计算实函数的定积分；

     5.能够利用傅立叶变换的概念和性质求一些简单函数的傅氏变换，掌握单位脉冲函数的概念和性质，知道傅氏变换的物理意义-频谱；

     6.能够了解拉氏变换与傅氏变换的区别，知道拉氏存在定理，利用拉普拉斯变换的概念和性质，卷积求常见函数的拉氏变换。会求拉氏逆变换，掌握用拉氏变换求解常系数微分方程。

本课程适合具有高等数学基础的理工科各专业的学生，以及热爱数学的学生！

       复变函数与积分变换是由复变函数、积分变换两门课整合而成。复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕A.L.Cauchy（柯西），K.Weierstrass（魏尔斯特拉斯）和B.Riemann（黎曼）三人的工作进行的。它与电子技术，自动控制等课程有密切的联系，是解决诸如电磁学、热学、振动学、弹性理论、频谱分析的有力工具。

一、教学内容

     1. 变量为复数的解析函数的相关理论。

     2. 傅里叶变换和拉普拉斯变换。

二、课程的主要特点

      本门课程的特点是概念多、基础性、理论性强，与《高等数学》课程的学习联系密切。复变函数的许多基本概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，但复变函数却有本质上的深化，尤其在方法和技巧上，更有显著不同，因此要求学生具有较好的高等数学基础知识。

三、教学方法

     启发式教学为主，结合案例教学、问题式教学、对比式教学。

四、预备知识

     高等数学（微积分）

五、证书要求

    本课程需要全过程综合考评：观看讲课视频及其他课程资源、完成每章单元测试题和单元作业互评题、参与课程讨论、参加期末考试。
    课程学习成绩由二部分构成：
   （1）单元测验：每章学习结束后有一次单元测验，题型为单项选择题和判断题，每次测试题10道，每题10分。每人每周有3次机会可以尝试，有效成绩为三次提交的最高分数。所有单元测验分数占课程成绩的50%。
   （2）期末考试：课程结束后，学生可以参加课程的最后考试，成绩占50%。
     注意：作业互评与最终成绩的关系：未参与作业互评的学生将给与所得总分数的50%，未完成作业互评的学生将给与所得总分数的80%，全部完成作业互评的将给与总成绩的100%。
     完成课程学习并考核合格(>=60分)的可获得合格证书，成绩优秀(>85分)的可获得优秀证书。

六、课程教学目标

      1.掌握如复数、辐角、复变函数、复变函数的极限等基本概念，能够对复数进行各种表示，掌握复数的幂、方根、复初等函数的计算，会判断函数的可导性与解析性；充分了解复变函数的背景思想及数学思想，弄清与高等数学的共同点、不同点。

      2.能够利用复变函数柯西-古萨定理、复合闭路定理、柯西基本定理和柯西基本公式等理论，求解复变函数的积分，使学生进一步了解析函数的无穷可微性性质，进一步培养学生的运算能力；

      3.能够把解析函数表示成幂级数，会求收敛半径，并会求洛朗展开，培养学生的综合运用所学知识去分析解决实际问题的应用；

      4.能够判断孤立奇点类型，掌握留数的求法，利用留数定理计算函数沿闭曲线的积分；

      5.能够利用傅立叶变换的概念和性质求一些简单函数的傅氏变换，掌握单位脉冲函数的概念和性质，知道傅氏变换的物理意义-频谱；

      6.能够了解拉氏变换与傅氏变换的区别，知道拉氏存在定理，利用拉普拉斯变换的概念和性质，卷积求常见函数的拉氏变换。会求拉氏逆变换，掌握用拉氏变换求解常系数微分方程。

七、参考教材：

     1.赵辉 孟桂芝 钟凤远，复变函数与积分变换，北京大学出版社，2020年

     2.西安交通大学，复变函数，高等教育出版社，2005年

     3.钟玉泉编，复变函数论，高等教育出版社，2004年

     4.张元林，积分变换，高等教育出版社，2012年