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第一章数学是什么
对于“数学是什么”的问题，人类经历了一个漫长而艰难的探究过程。本章将从历史上数学的诸多定义、数学与各学科的紧密联系（包括数学与哲学、数学与科学、数学与艺术的联系）、数学的品格和价值诸多方面，辅以大量生动的实例，力图阐释到底数学是什么的问题。
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●1.1数学的定义及品格
介绍方延明教授搜集的数学的14种定义；论述不同于实用性的数学知识的数学的文化品格。
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●1.2数学与各学科的联系
通过大量实例论述了数学与哲学、数学与科学、数学与音乐、数学与美术的联系。
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●1.3数学与各学科的联系（绪）
通过大量实例论述了数学与哲学、数学与科学、数学与音乐、数学与美术的联系。
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●1.4数学的价值
通过实例阐明数学是一种语言；数学是一种思维工具；数学方法是衡量科学进展的主要标志；数学的应用贯穿于一切科学部门的深处。 在第一章附录中，介绍了两位中国近现代的数学大师。
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第二章数学概观
在历史发展的长河中，人类积累了丰富的数学知识，其中所蕴含的精神、思想和方法是我们取之不尽、用之不竭的宝贵财富。本章主要介绍数学科学所包含的内容，数学史分期中的四个时期的大致概况，数学科学的特点以及数学家的精神几个方面的内容，对数学科学作一概览。
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●2.1数学科学的内容
简介数学科学的基本内容，数学科学的核心领域以及初等数学教育和高等数学教育中的数学课程。
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●2.2数学进展的大致概况
简要介绍了数学史的四个时期的分期年代、数学发展的特点、代表地域和人物等大致情况。
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●2.3数学科学的特点与数学精神
通过具体实例，阐述了数学科学的三大特点——抽象性、精确性、应用的广泛性；阐释了数学家的精神。
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●2.4华罗庚和陈省身
本节通过讲述数学家的故事，传达数学家的数学精神。
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第三章数学思想与方法选讲
数学的思想是对数学知识和方法的本质认识，是数学的灵魂；数学方法是数学的行为，数学思想与方法密不可分。在中学的数学学习中，我们已经了解和使用过许多数学思想与方法。本章主要选讲在高等数学中常用的6类数学思想与方法，其中的实例多取自高等数学的内容。
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●3.1公理化方法
介绍公理化方法的定义、产生、发展、意义、作用，以及公理系统的构造与相容性证明的问题。
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●3.2类比法
阐述类比法的概念，通过一些实例说明类比法在数学中的应用。
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●3.3归纳法与数学归纳法
介绍归纳法与数学归纳法的界定和特点，并通过几个经典实例，说明二者在数学研究中的作用。阐述数学构造法的概念与它在数学中的作用、地位，并对构造算法、图形、概念、反例等列举了经典的例子。
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●3.4化归法
介绍化归法的概念、特征，通过一些实例阐释两种常用的化归法——特殊化与一般化，关系映射反演方法。 介绍数学模型方法的界定、数学模型建立的步骤、数学模型的重要作用，以及哥尼斯堡七桥问题和蒲丰投针试验两个经典的数学模型。
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●3.5数学家介绍
本节通过讲述数学家的故事，传达数学家的数学精神。
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第四章数学分支介绍
经过几千年的发展，数学科学的内容日益丰富，至今已经发展成为拥有100多个学科分支的庞大体系。本章选取代数学、几何学、分析学三大数学核心领域，以及概率论与数理统计、运筹学两个数学科学的主要学科，阐述了这五个数学分支的产生与发展的历史、研究的内容、作用和意义等。
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●4.1代数学
介绍代数学的产生与发展，代数学的华彩篇章，伽罗瓦的群论以及代数学的范畴。在附录中，介绍了几位代数学家。
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●4.2几何学
概述几何学的发展历史，介绍几何学的范畴、爱尔兰根纲领与几何基础的研究。在附录中，介绍几位几何学家。
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●4.3概率论与数理统计
阐述函数概念的演变，微积分及其发展的道路，分析学的分支。在附录中，介绍几位分析学家。
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●4.4概率论与数理统计
分别介绍概率论、数理统计的发展简史，其中的重要概念和思想，以及数理统计的现实意义与应用。在附录中，介绍了几位对概率论做出卓越贡献的数学家。
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●4.5运筹学
阐述运筹学的起源与发展，性质和特点；介绍运筹学的内容和一些实例。在附录中，介绍了两位对运筹学做出重要贡献的数学家，以及几个中国古代的运筹案例。
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第五章数学悖论与历史上的三次数学危机
数学危机是在一定的数学理论体系内无法解决的重大数学矛盾，在数学的发展史上，经历过三次大的数学危机，而这些危机都是通过悖论的形式反映出来的。本章介绍悖论的界定与实例，三次数学危机的产生与解决，三次危机与无穷的联系，以及由数学基础研究产生的三大数学学派。
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●5.1何谓悖论
阐述悖论的界定，例举三个著名而有趣的悖论；阐述数学悖论的界定及解释悖论产生的原因。
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●5.2第一次数学危机
介绍毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机的产生与解决。
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●5.3第二次数学危机
介绍贝克莱悖论与第二次数学危机的产生与解决。
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●5.4第三次数学危机
介绍罗素悖论与第三次数学危机的产生与解决。
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●5.5数学的三大学派
介绍对数学基础持不同观点的数学史上的三大数学学派：逻辑主义学派、直觉主义学派、形式主义学派。
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第六章 数学美学
数学往往被人们认为是枯燥乏味的，与美学无缘的一门学科。事实上，数学中处处存在着美，而数学美的表现形式也是多种多样的。本章探讨了数学美的概念和特征，数学美的产生和发展过程，数学美的诸多内容以及数学美的地位和作用。
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●6.1数学与美学
介绍数学美的概念、数学美的一般特征，阐释数学与美学的联系。
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●6.2数学美的分类
通过大量实例，介绍数学美的四个基本方面：简洁美、对称美、和谐美与奇异美，并阐述了数学美在科学研究中的地位和作用。
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第七章世界数学中心与数学国际
本章介绍世界数学中心的变迁路线，包括简介世界数学中心所在的地域、时期以及代表人物的大致概况。因为数学发展需要国际交流与合作，所以本章还介绍与之相关的国际数学组织、国际数学家大会、国际数学大奖、国际数学竞赛的内容。
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●7.1世界数学中心及其变迁
介绍世界数学中心变迁的大致路线，及所在区域、时间和代表人物的情况。
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●7.2国际数学组织与活动
介绍国际数学联盟的发起、组成与作用；介绍国际数学家大会的起源、发展和影响等。
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●7.3国际数学奖
介绍具有不同特点的7种国际数学大奖。
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●7.4国际数学竞赛
介绍国际中学生奥林匹克数学竞赛与国际大学生数学建模竞赛的历史、规则、竞赛题目等基本情况。
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●7.5附录 著名的数学学派
介绍著名的几个数学学派。
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第八章 数学的新进展之一---分形与混沌
分形几何学与混沌动力学是20世纪数学的新进展之一，它们都是学科交叉的结晶，不仅大大加深了人们对自然界的认识，而且挑战了人们传统的世界观。本章将从实际问题出发，引出两大学科的产生和发展的历史，阐述某些基本的概念、分形与混沌的应用和哲学思考等。
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●8.1分形几何学
从海岸线的长度问题谈起，介绍柯克曲线与其他的几何分形，以及分数维数与分形几何的概念。
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●8.2混沌动力学
通过洛仑兹的天气预报引出混沌的概念，简介混沌动力学的产生与发展。
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●8.3分形与混沌的应用与价值
列举分形与混沌的几个应用实例，并对分形与混沌给出一些哲学层面的思考。
