课程简介
“线性代数与空间解析几何”是大学理、工、医、农、经、管类的公共基础数学课程。在当今科技飞速发展，特别是计算机科学及其应用日新月异的时代，数据处理、科学计算是各学科领域中无法回避的问题，本课程的主要任务就是展现科学计算中最普遍也是最基础的方法——线性运算及关系中的一般性方法。
本课程的内容包括：矩阵与线性方程组，行列式，几何空间、n维向量空间、特征值与特征向量、二次型。其特点是将代数与几何融为一体，代数为几何问题的解决提供方法，代数又在几何空间的基础上得到延伸与扩展，课程的重心仍在“线性代数”上。
本课程分六章，为方便广大学习者，我们将每章内容分成了若干小片段，一个片段讲解1~2个知识点，便于学习者理解掌握。针对每一章节的教学内容都配有一定量的练习题，每章结束都有一套单元检测题供学习者作为平时成绩考核之用。
本课程的教学目标是使学习者掌握本课程的主要知识，理解基本概念和基本理论，学会分析问题解决问题的基本方法；了解各部分知识的结构及知识的内在联系；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地进行计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题；培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、空间想象能力、创造性思维能力和自学能力，为后续课程的学习奠定必要的数学基础。
课程大纲
矩阵及其运算
第一章矩阵及其运算学习指南
1-1.1 矩阵的概念
1-1.2 矩阵的线性运算
1-1.3 矩阵乘法的定义
1-1.4 矩阵乘法的运算规律
1-1.5 方阵的幂与多项式
1-1.6 矩阵的转置
1-1.7 对称矩阵与反对称矩阵
练习题1-1
本周典型例题选讲——矩阵高次幂的运算
本周典型例题选讲——矩阵的运算
矩阵的初等变换与逆矩阵
1-2.1 线性方程组与同解变换
1-2.2 矩阵的初等变换与高斯消元法
1-2.3 矩阵等价
1-2.4 初等矩阵
练习题1-2
1-3.1 逆矩阵的概念
1-3.2 逆矩阵的性质
1-3.3 矩阵可逆的充要条件
1-3.4 用初等变换求逆矩阵
练习题1-3
本周典型例题选讲——含参数方程组的求解
本周典型例题选讲——逆矩阵计算
分块矩阵、行列式的定义
1-4.1 分块矩阵的概念
1-4.2 分块矩阵的运算
练习题1-4
第一章习题课一
第一章习题课二
第一章典型例题
第一章单元检测题
第二章行列式学习指南
2-1.1 一阶、二阶和三阶行列式
2-1.2 n阶行列式的定义
2-1.3 用定义计算简单的行列式
2-1练习题
本周典型例题选讲——对称矩阵的性质
本周典型例题选讲——矩阵运算综合性题目
行列式的性质及拉普拉斯定理
2-2.1 行列式的性质1—性质3
2-2.2 行列式的性质4、性质5（1）
2-2.2 行列式的性质4、性质5（2）
2-2.3 行列式的计算
2-2.4 方阵乘积的行列式
2-2.5 几个补充例题
练习题2-2
2-3.1 k阶子式、余子式、代数余子式
2-3.2 拉普拉斯定理
练习题2-3
本周典型例题选讲——行列式的计算
本周典型例题选讲——拉普拉斯展开定理应用
克莱默法则及矩阵的秩
2-4.1 逆矩阵的一个简明表达式
2-4.2 克拉默法则
练习题2-4
2-5.1 矩阵秩的概念
2-5.2 基本结论与性质
2-5.3 矩阵秩的计算
2-5.4 矩阵的标准形（分解）
2-5.5 三个证明例子
练习题2-5
第二章习题课一
第二章习题课二
第二章典型例题
第二章单元检测题
本周典型例题选讲——范德蒙德行列式的应用
本周典型例题选讲——行列式的计算
空间直角坐标系、向量及向量的内积
第三章几何空间学习指南
3-1.1 空间直角坐标系
3-1.2 向量及其线性运算
3-1.3 向量在轴上的投影
3-1.4 向量线性运算的几何意义
3-1.5 向量的方向余弦
3-1.6 第一节内容小结
练习题3-1
3-2.1 内积的概念与性质
3-2.2 内积的坐标形式
本周典型例题选讲——内积的概念
本周典型例题选讲——投影的计算
向量的外积、混合积及平面
3-2.3 外积的概念与性质
3-2.4 外积的坐标形式
3-2.5 混合积的概念与性质
3-2.6 混合积的几何意义
3-2.7 第二节内容小结
练习题3-2
3-3.1 平面方程1
3-3.2 平面方程2
3-3.3 平面与平面的位置关系
3-3.4 第三节内容小结
练习题3-3
本周典型例题选讲——混合积的定义与几何意义
本周典型例题选讲——平面方程的确定
空间直线
3-4.1 直线方程1
3-4.2 直线方程2
3-4.3 直线与直线的位置关系
3-4.4 直线与平面的位置关系
3-4.5 第四节内容小结
练习题3-4
第三章 习题课（1）
第三章 习题课（2）
第三章典型例题
第三章单元检测题
本周典型例题选讲——直线的位置关系
本周典型例题选讲——直线与平面的交点
n维向量空间与向量组的线性相关性
第四章n维向量空间学习指南
4-1.1 n维向量空间的概念
4-1.2 n维向量空间的子空间
练习题4-1
4-2.1 向量组的线性组合
4-2.2 向量组之间的线性表出
4-2.3 线性相关性的概念
4-2.4 线性相关性的判定
4-2.5 线性相关基本定理
练习题4-2
本周典型例题选讲——线性相关性的判定
本周典型例题选讲——线性相关性的概念
向量组的秩、最大无关组及线性方程组的解
4-3.1 向量组的秩与最大无关组的概念
4-3.2 矩阵的列秩和行秩
4-3.3 向量组之间的线性表出和秩
4-3.4 最大无关组的性质和等价叙述
4-3.5 n维向量空间的基、维数与坐标
练习题4-3
4-4.1 齐次方程组解的性质和基础解系
4-4.2 齐次方程组求解实例
4-4.3 非齐次方程组解的性质
4-4.4 非齐次方程组求解实例
练习题4-4
本周典型例题选讲——最大无关组的判定
本周典型例题选讲——齐次线性方程组的通解
特征值与特征向量
第四章习题课1
第四章习题课2
第四章习题课3、4
第四章习题课5
第四章习题课6
第四章习题课7
第四章典型例题
第四章单元检测题
第五章特征值与特征向量学习指南
5-1.1 特征值与特征向量的定义
5-1.2 特征子空间
5-1.3 特征值与特征向量的判定
5-1.4 特征值与特征向量的计算
5-1.5 特征多项式
本周典型例题选讲——特征值与特征向量的概念
本周典型例题选讲——特征值与特征向量的性质
特征多项式及矩阵的相似对角化
5-1.6 f(A)等的特征多项式
5-1.7 思考与小结
练习题5-1
5-2.1 引例
5-2.2 相似的定义与性质
5-2.3 相似对角化的判定（1）
5-2.4 相似对角化的判定（2）
5-2.5 矩阵方幂的计算
5-2.6 内容小结
练习题5-2
本周典型例题选讲——相似矩阵的概念及性质
本周典型例题选讲——矩阵方幂的计算
n维向量空间的正交性及实对称矩阵的相似对角化
5-3.1 内积
5-3.2 cauchy-schwarz不等式
5-3.3 正交向量组与标准正交基
5-3.4 Gram-Schmidt正交化方法
5-3.5 正交矩阵
练习题5-3
5-4.1 共轭矩阵
5-4.2 实对称矩阵的特征值与特征向量
5-4.3 实对称矩阵的相似对角化
5-4.4 综合例题
练习题5-4
本周典型例题选讲——正交矩阵的判定
本周典型例题选讲——实对称矩阵的特征值与特征向量
二次型及其标准形、正定二次型的概念
第五章习题课1
第五章习题课2
第五章习题课3
第五章典型例题
第五章单元检测题
第六章二次型与二次曲面学习指南
6-1.1 二次型及其矩阵表示
6-1.2 矩阵的合同
6-1.3 用配方法化二次型为标准形
6-1.4 用正交变换化二次型为标准形
6-1.5 内容小结
练习题6-1
6-2.1 正定二次型的概念
本周典型例题选讲——二次型标准形的相关计算
本周典型例题选讲——正交变换法化二次型为标准形
正定二次型的性质、曲面与空间曲线
6-2.2 正定二次型的性质（1）
6-2.3 正定二次型的性质（2）
6-2.4 二次型的其它类型
6-2.5 内容小结
练习题6-2
6-3.1 曲面方程（1）
6-3.2 曲面方程（2）
6-3.3 曲面方程（3）
6-3.4 空间曲线（1）
6-3.5 空间曲线（2）
6-3.6 内容小结
练习题6-3
本周典型例题选讲——正定矩阵的判定
本周典型例题选讲——空间曲线的投影
空间曲线及二次曲面
6-4.1 二次曲面的标准方程与图形（1）
6-4.2 二次曲面的标准方程与图形（2）
6-4.3 化二次曲面为标准方程
6-4.4 内容小结
练习题6-4
第六章习题课1
第六章习题课2
第六章习题课3
第六章典型例题
第六章单元检测题
本周典型例题选讲——旋转曲面方程的确定
本周典型例题选讲——正定矩阵的判定
第一章矩阵及其运算学习指南
1-1.1 矩阵的概念
1-1.2 矩阵的线性运算
1-1.3 矩阵乘法的定义
1-1.4 矩阵乘法的运算规律
1-1.5 方阵的幂与多项式
1-1.6 矩阵的转置
1-1.7 对称矩阵与反对称矩阵
练习题1-1
本周典型例题选讲——矩阵高次幂的运算
本周典型例题选讲——矩阵的运算
矩阵的初等变换与逆矩阵
1-2.1 线性方程组与同解变换
1-2.2 矩阵的初等变换与高斯消元法
1-2.3 矩阵等价
1-2.4 初等矩阵
练习题1-2
1-3.1 逆矩阵的概念
1-3.2 逆矩阵的性质
1-3.3 矩阵可逆的充要条件
1-3.4 用初等变换求逆矩阵
练习题1-3
本周典型例题选讲——含参数方程组的求解
本周典型例题选讲——逆矩阵计算
分块矩阵、行列式的定义
1-4.1 分块矩阵的概念
1-4.2 分块矩阵的运算
练习题1-4
第一章习题课一
第一章习题课二
第一章典型例题
第一章单元检测题
第二章行列式学习指南
2-1.1 一阶、二阶和三阶行列式
2-1.2 n阶行列式的定义
2-1.3 用定义计算简单的行列式
2-1练习题
本周典型例题选讲——对称矩阵的性质
本周典型例题选讲——矩阵运算综合性题目
行列式的性质及拉普拉斯定理
2-2.1 行列式的性质1—性质3
2-2.2 行列式的性质4、性质5（1）
2-2.2 行列式的性质4、性质5（2）
2-2.3 行列式的计算
2-2.4 方阵乘积的行列式
2-2.5 几个补充例题
练习题2-2
2-3.1 k阶子式、余子式、代数余子式
2-3.2 拉普拉斯定理
练习题2-3
本周典型例题选讲——行列式的计算
本周典型例题选讲——拉普拉斯展开定理应用
克莱默法则及矩阵的秩
2-4.1 逆矩阵的一个简明表达式
2-4.2 克拉默法则
练习题2-4
2-5.1 矩阵秩的概念
2-5.2 基本结论与性质
2-5.3 矩阵秩的计算
2-5.4 矩阵的标准形（分解）
2-5.5 三个证明例子
练习题2-5
第二章习题课一
第二章习题课二
第二章典型例题
第二章单元检测题
本周典型例题选讲——范德蒙德行列式的应用
本周典型例题选讲——行列式的计算
空间直角坐标系、向量及向量的内积
第三章几何空间学习指南
3-1.1 空间直角坐标系
3-1.2 向量及其线性运算
3-1.3 向量在轴上的投影
3-1.4 向量线性运算的几何意义
3-1.5 向量的方向余弦
3-1.6 第一节内容小结
练习题3-1
3-2.1 内积的概念与性质
3-2.2 内积的坐标形式
本周典型例题选讲——内积的概念
本周典型例题选讲——投影的计算
向量的外积、混合积及平面
3-2.3 外积的概念与性质
3-2.4 外积的坐标形式
3-2.5 混合积的概念与性质
3-2.6 混合积的几何意义
3-2.7 第二节内容小结
练习题3-2
3-3.1 平面方程1
3-3.2 平面方程2
3-3.3 平面与平面的位置关系
3-3.4 第三节内容小结
练习题3-3
本周典型例题选讲——混合积的定义与几何意义
本周典型例题选讲——平面方程的确定
空间直线
3-4.1 直线方程1
3-4.2 直线方程2
3-4.3 直线与直线的位置关系
3-4.4 直线与平面的位置关系
3-4.5 第四节内容小结
练习题3-4
第三章 习题课（1）
第三章 习题课（2）
第三章典型例题
第三章单元检测题
本周典型例题选讲——直线的位置关系
本周典型例题选讲——直线与平面的交点
n维向量空间与向量组的线性相关性
第四章n维向量空间学习指南
4-1.1 n维向量空间的概念
4-1.2 n维向量空间的子空间
练习题4-1
4-2.1 向量组的线性组合
4-2.2 向量组之间的线性表出
4-2.3 线性相关性的概念
4-2.4 线性相关性的判定
4-2.5 线性相关基本定理
练习题4-2
本周典型例题选讲——线性相关性的判定
本周典型例题选讲——线性相关性的概念
向量组的秩、最大无关组及线性方程组的解
4-3.1 向量组的秩与最大无关组的概念
4-3.2 矩阵的列秩和行秩
4-3.3 向量组之间的线性表出和秩
4-3.4 最大无关组的性质和等价叙述
4-3.5 n维向量空间的基、维数与坐标
练习题4-3
4-4.1 齐次方程组解的性质和基础解系
4-4.2 齐次方程组求解实例
4-4.3 非齐次方程组解的性质
4-4.4 非齐次方程组求解实例
练习题4-4
本周典型例题选讲——最大无关组的判定
本周典型例题选讲——齐次线性方程组的通解
特征值与特征向量
第四章习题课1
第四章习题课2
第四章习题课3、4
第四章习题课5
第四章习题课6
第四章习题课7
第四章典型例题
第四章单元检测题
第五章特征值与特征向量学习指南
5-1.1 特征值与特征向量的定义
5-1.2 特征子空间
5-1.3 特征值与特征向量的判定
5-1.4 特征值与特征向量的计算
5-1.5 特征多项式
本周典型例题选讲——特征值与特征向量的概念
本周典型例题选讲——特征值与特征向量的性质
特征多项式及矩阵的相似对角化
5-1.6 f(A)等的特征多项式
5-1.7 思考与小结
练习题5-1
5-2.1 引例
5-2.2 相似的定义与性质
5-2.3 相似对角化的判定（1）
5-2.4 相似对角化的判定（2）
5-2.5 矩阵方幂的计算
5-2.6 内容小结
练习题5-2
本周典型例题选讲——相似矩阵的概念及性质
本周典型例题选讲——矩阵方幂的计算
n维向量空间的正交性及实对称矩阵的相似对角化
5-3.1 内积
5-3.2 cauchy-schwarz不等式
5-3.3 正交向量组与标准正交基
5-3.4 Gram-Schmidt正交化方法
5-3.5 正交矩阵
练习题5-3
5-4.1 共轭矩阵
5-4.2 实对称矩阵的特征值与特征向量
5-4.3 实对称矩阵的相似对角化
5-4.4 综合例题
练习题5-4
本周典型例题选讲——正交矩阵的判定
本周典型例题选讲——实对称矩阵的特征值与特征向量
二次型及其标准形、正定二次型的概念
第五章习题课1
第五章习题课2
第五章习题课3
第五章典型例题
第五章单元检测题
第六章二次型与二次曲面学习指南
6-1.1 二次型及其矩阵表示
6-1.2 矩阵的合同
6-1.3 用配方法化二次型为标准形
6-1.4 用正交变换化二次型为标准形
6-1.5 内容小结
练习题6-1
6-2.1 正定二次型的概念
本周典型例题选讲——二次型标准形的相关计算
本周典型例题选讲——正交变换法化二次型为标准形
正定二次型的性质、曲面与空间曲线
6-2.2 正定二次型的性质（1）
6-2.3 正定二次型的性质（2）
6-2.4 二次型的其它类型
6-2.5 内容小结
练习题6-2
6-3.1 曲面方程（1）
6-3.2 曲面方程（2）
6-3.3 曲面方程（3）
6-3.4 空间曲线（1）
6-3.5 空间曲线（2）
6-3.6 内容小结
练习题6-3
本周典型例题选讲——正定矩阵的判定
本周典型例题选讲——空间曲线的投影
空间曲线及二次曲面
6-4.1 二次曲面的标准方程与图形（1）
6-4.2 二次曲面的标准方程与图形（2）
6-4.3 化二次曲面为标准方程
6-4.4 内容小结
练习题6-4
第六章习题课1
第六章习题课2
第六章习题课3
第六章典型例题
第六章单元检测题
本周典型例题选讲——旋转曲面方程的确定
本周典型例题选讲——正定矩阵的判定
